fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение31.05.2019, 16:32 
Заслуженный участник


18/01/15
3320
iakovk в сообщении #1396910 писал(а):
В какой книжке?

В теле темы есть ссылка на учебник и т.д.

-- 31.05.2019, 15:36 --

nnosipov в сообщении #1396828 писал(а):
Что касается учебника, точнее, его 14-й главы: гремучая смесь геометрии чисел и теории групп. Как по мне, для 1-курсников это перебор. Решение задач типа той, что здесь обсуждается (см., например, упр. 14.5 на стр. 306-307) --- это самое последнее, что должно заботить читателя. Очевидно, что одно понятие кристаллографической группы требует большей культуры, чем решение всех подобных упражнений, вместе взятых.

Сейчас, по моему, вообще на мехмате студентов гораздо большему учат, чем в мое время. Или, во всяком случае, программа сильно изменилась. Точнее не знаю. Как у них всё в головы влазит, даже у некоторых ???

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение31.05.2019, 16:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Кстати, в упр. 14.5 на стр. 306-307 требуется еще найти параметры итоговых движений. Поскольку теперь это уже не важно, я напишу (как пример) ответ для отображения $T_a \circ R^A_\alpha \circ T_b$: это поворот $R_\alpha^B$ с центром в точке
$$
B=A+\frac{a+\lambda b}{1-\lambda}, \quad \lambda=e^{i\alpha}.
$$
Разглядывая эту формулу, можно понять, как геометрически построить точку $B$, зная точку $A$ и векторы $a$, $b$ (вполне возможно, что синтетический путь решения --- "методами черчения" --- даст более элегантное построение).
iakovk в сообщении #1396902 писал(а):
Точно так же может быть доказано общее утверждение:
композиция поворотов и переносов в любом количестве является поворотом или переносом в зависимости в сего лишь от одного обстоятельства: суммы углов всех поворотов. Если эта сумма является целым кратным $2\pi$, то перенос, иначе поворот.
Я бы даже написал: "композиция поворотов и переносов в любом количестве и любом порядке". С точки зрения алгебры (т.е. манипулирования формулами любого вида) это просто очевидное утверждение.

-- Пт май 31, 2019 20:41:02 --

vpb в сообщении #1396911 писал(а):
Сейчас, по моему, вообще на мехмате студентов гораздо большему учат, чем в мое время.
У меня схожие ощущения. И это хорошо, налицо все-таки прогресс. Должен сказать ТС спасибо за возможность ознакомиться с интересным и новым для меня учебником.

Если бы кто-нибудь из теперешних студентов мехмата рассказал подробнее об этом экспериментальном курсе, было бы интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение31.05.2019, 16:46 
Заслуженный участник


18/01/15
3320
nnosipov в сообщении #1396913 писал(а):
И это хорошо, налицо все-таки прогресс

Но головы-то не резиновые ... Сложный вопрос, неоднозначный, в общем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение31.05.2019, 16:49 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
vpb в сообщении #1396916 писал(а):
Но головы-то не резиновые ...
Еще бы. Вот поэтому и интересны детали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение31.05.2019, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
iakovk в сообщении #1396910 писал(а):
В какой книжке?

    sotu в сообщении #1396421 писал(а):
    Задача по курсу наглядной геометрии и топологии, основной учебник Курс наглядной геометрии и топологии, (Ошемков А.А. и др.).


-- 31.05.2019 17:16:56 --

vpb в сообщении #1396911 писал(а):
Сейчас, по моему, вообще на мехмате студентов гораздо большему учат, чем в мое время. Или, во всяком случае, программа сильно изменилась. Точнее не знаю. Как у них всё в головы влазит, даже у некоторых ???

Есть такой отрывок, он не относится к мехмату (более того, подчёркнуто не относится, на момент написания 2015), но может быть, как-то откликается:

    (Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение31.05.2019, 19:01 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #1396908 писал(а):
Кстати, а вы не думали, как это рассуждение переносится, скажем, на 3 измерения?
Всё вроде бы прекрасно обобщается на произвольную размерность, и из ограничений на выбор отражений отн. гиперплоскостей в разложении можно получать ясные условия, когда перенос или поворот (или композиция поворотов в ортогональных плоскостях) не получится. Условия, если я не ошибаюсь, такие простые и очевидные получаются:
• гиперплоскости в разложении параллельного переноса должны быть ортогональны его инвариантным прямым, ну то есть вектору переноса;
• гиперплоскости в разложении поворота (одинарного) должны иметь пересечение, ортогональное плоскости поворота.

Отсюда сразу виден новый случай винтового движения в трёхмерии: когда параллельный перенос идёт на вектор вне плоскости поворота. Это можно свести к случаю, когда вектор ортогонален ей (разложив его). Что там нового (кроме поворотов в нескольких ортогональных плоскостях, что требует в общем случае $2\lfloor\dim A/2\rfloor$, а не двух отражений, разумеется) появляется в произвольной высшей размерности, не думал.

Ещё стоит показать такие вещи:
• Свойство разложимости любого не меняющего ориентацию движения на лишь поворот(ы) (не больше $\lfloor(\dim A)/2\rfloor$ штук, где $A$ наше пространство) и перенос остаётся.
• Некоторые композиции поворотов разложимы на них не единственным образом, а именно такие, где есть хотя бы два поворота на один и тот же угол.

-- Пт май 31, 2019 21:08:15 --

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение31.05.2019, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение31.05.2019, 21:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение01.06.2019, 14:22 
Заслуженный участник


11/03/08
545
Петропавловск, Казахстан
Уже второй день собирался встрять в дискуссию, но как-то не собрался.
Раз уж ТС все равно, замечу, что эта задача является стандартной для курса Геометрии в пединституте. На самом деле, всё в этой теме уже обсудили. Я просто хотел сказать про последовательность теорем в этом разделе. Но, не знаю, надо ли уже, раз ТС студент МГУ (не пединститута)
И тогда задача решается "вручную": при $\alpha \neq  2\pi k$ - это поворот. В противном случае - перенос или тождественное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение01.06.2019, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А как в пединституте это преподают? (Например, приведите какой-нибудь типичный для пединститута учебник.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение01.06.2019, 19:37 
Заслуженный участник


11/03/08
545
Петропавловск, Казахстан
Munin в сообщении #1397081 писал(а):
А как в пединституте это преподают? (Например, приведите какой-нибудь типичный для пединститута учебник.)

Суть такая.
1. Всякое движение плоскости является либо движением 1-го рода (не меняет ориентацию плоскости), либо движением 2-го рода (меняет).
2. Композиция движений 1-го рода, является движением 1-го рода. (Ну, это очевидно).
3. Поворот и перенос - движения первго рода. Симметрия - второго.
4. Более расширенная формулировка теоремы Шаля (она есть в книге Яглома Преобразования плоскости). Всякое движение первого рода, есть перенос, поворот или тождественное. Всякое движение 2-го рода есть симметрия или скользящая симметрия.
Поворот и перенос - это движения первого рода. Значит их копозиция тоже. А, значит, - это перенос, поворот или тождественное.
Поэтому, если просто руками написать формулы переноса, поворота, переноса и подставить их последовательно: первую во вторую, вторую в третью, то получим общую формулу требуемого преобразования. Если теперь найти неподвижные точки, то там получится система линейх уравнений. Если её определитель не равен нулю, то это поворот, а если равен, - то перенос или тождественное.

-- Сб июн 01, 2019 22:41:06 --

Да. Забыл.
основной учебник для пединститутов это:
Атанасян Л. С., Базылев В. Т., Геометрия, часть 1 и 2. Они переиздаются уже давно. У меня есть 1986-го года, но я видел и 2011 года..

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение01.06.2019, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Спасибо за пояснения и литературу!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение01.06.2019, 19:55 
Заслуженный участник


11/03/08
545
Петропавловск, Казахстан
На самом деле, nnosipov дал точную формулу для нахождения центра поворота.

-- Сб июн 01, 2019 23:14:04 --

ЗЫ. по-моему у Яглома аккуратно доказано, что что композиция поворота и переноса. есть поворот (или перенос) и даже объясняется. как построить центр этого поворота.
ЗЗЫ. Но мне кажется, что сейчас задачи на построение - лишняя загрузка мозга и вообще, никому не нужны.... мне это грустно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение01.06.2019, 22:42 
Заслуженный участник


18/01/15
3320
Munin в сообщении #1396918 писал(а):
более того, подчёркнуто не относится, на момент написания 2015

... зато мимоходом охаивается, а если принять во внимание весь текст, из которого этот отрывок извлечен, то охаивается неоднократно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение01.06.2019, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это как бы не главное в этом тексте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group