Тип преобразования плоскости

[vpb]

iakovk в сообщении #1396910 писал(а):

В какой книжке?

В теле темы есть ссылка на учебник и т.д.

-- 31.05.2019, 15:36 --

nnosipov в сообщении #1396828 писал(а):

Что касается учебника, точнее, его 14-й главы: гремучая смесь геометрии чисел и теории групп. Как по мне, для 1-курсников это перебор. Решение задач типа той, что здесь обсуждается (см., например, упр. 14.5 на стр. 306-307) --- это самое последнее, что должно заботить читателя. Очевидно, что одно понятие кристаллографической группы требует большей культуры, чем решение всех подобных упражнений, вместе взятых.

Сейчас, по моему, вообще на мехмате студентов гораздо большему учат, чем в мое время. Или, во всяком случае, программа сильно изменилась. Точнее не знаю. Как у них всё в головы влазит, даже у некоторых ???

[nnosipov]

Кстати, в упр. 14.5 на стр. 306-307 требуется еще найти параметры итоговых движений. Поскольку теперь это уже не важно, я напишу (как пример) ответ для отображения $T_a \circ R^A_\alpha \circ T_b$: это поворот $R_\alpha^B$ с центром в точке

$$ B=A+\frac{a+\lambda b}{1-\lambda}, \quad \lambda=e^{i\alpha}. $$

Разглядывая эту формулу, можно понять, как геометрически построить точку $B$, зная точку $A$ и векторы $a$, $b$ (вполне возможно, что синтетический путь решения --- "методами черчения" --- даст более элегантное построение).

iakovk в сообщении #1396902 писал(а):

Точно так же может быть доказано общее утверждение:
композиция поворотов и переносов в любом количестве является поворотом или переносом в зависимости в сего лишь от одного обстоятельства: суммы углов всех поворотов. Если эта сумма является целым кратным $2\pi$, то перенос, иначе поворот.

Я бы даже написал: "композиция поворотов и переносов в любом количестве и любом порядке". С точки зрения алгебры (т.е. манипулирования формулами любого вида) это просто очевидное утверждение.

-- Пт май 31, 2019 20:41:02 --

vpb в сообщении #1396911 писал(а):

Сейчас, по моему, вообще на мехмате студентов гораздо большему учат, чем в мое время.

У меня схожие ощущения. И это хорошо, налицо все-таки прогресс. Должен сказать ТС спасибо за возможность ознакомиться с интересным и новым для меня учебником.

Если бы кто-нибудь из теперешних студентов мехмата рассказал подробнее об этом экспериментальном курсе, было бы интересно.

[vpb]

nnosipov в сообщении #1396913 писал(а):

И это хорошо, налицо все-таки прогресс

Но головы-то не резиновые ... Сложный вопрос, неоднозначный, в общем.

[nnosipov]

vpb в сообщении #1396916 писал(а):

Но головы-то не резиновые ...

Еще бы. Вот поэтому и интересны детали.

[Munin]

iakovk в сообщении #1396910 писал(а):

В какой книжке?

sotu в сообщении #1396421 писал(а):

Задача по курсу наглядной геометрии и топологии, основной учебник Курс наглядной геометрии и топологии, (Ошемков А.А. и др.).

-- 31.05.2019 17:16:56 --

vpb в сообщении #1396911 писал(а):

Сейчас, по моему, вообще на мехмате студентов гораздо большему учат, чем в мое время. Или, во всяком случае, программа сильно изменилась. Точнее не знаю. Как у них всё в головы влазит, даже у некоторых ???

Есть такой отрывок, он не относится к мехмату (более того, подчёркнуто не относится, на момент написания 2015), но может быть, как-то откликается:

(Оффтоп)

Цитата:
ПРО МАТЕМАТИКУ
    В середине 1980-х мне попался в руки учебник анализа для студентов ПТУ - небольшая книжка в коричневой мягкой обложке (*). Что интересно, он содержал себе, в доступной студентам ПТУ элементарной и вместе с тем математически строгой форме, все содержание курса математического анализа, нужного большинству математиков.

*) Видимо (по последующим ссылкам на литературу), речь о книге
С. И. Шварцбурд, О. С. Ивашев-Мусатов. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для ПТУ.
    Лопиталю, вице-президенту французской Академии, желавшему усвоить примерно тот же материал, потребовался десяток лет и личный учитель в лице Иоганна Бернулли, которому Лопиталь платил 300 фунтов в год за уроки (где-то $30,000 на современные деньги), а ординарному человеку этот материал был совершенно недоступен.
    Сейчас тому же самому можно (и нужно) обучать студентов ПТУ и школьников.
    Объяснить этот поразительный прогресс можно по-разному, начиная с биологических изменений в организме человека под действием горизонтальной эволюции и заканчивая эффектом Флинна, который установил, что IQ жителей большинства стран растет на 2-3 процента каждое десятилетие. Но самое разумное объяснение, оно же самое простое, состоит в изменении математического языка.
    Математика сама по себе - язык, но грамматика и синтаксис этого языка меняется до неузнаваемости каждые 20-50 лет. Мне однажды попалась первая статья Морса, из которой я пытался выяснить доказательство леммы Морса в гиперболической геометрии. Мне это не удалось, и даже не удалось найти в тексте ее формулировку. С таким же успехом статья могла быть написана на китайском. В результате я придумал собственное доказательство, это оказалось сильно проще, чем разбираться в морсовском.
    В математике идут одновременно два процесса: органический рост этого потрясающего строения, которое называется core mathematics, и одновременно - не менее отрясающая перестройка оснований математического языка, постепенно уравнивающая гениев 300-летней давности с современными ПТУшниками.
    Эти два процесса постепенно компенсируют друг друга, иначе здание core mathematics стало бы излишне огромным, негостеприимным, и со временем - необитаемым.
    Это значит, что каждое открытие, каждый сантиметр прогресса в математике переднего края приводит к перестройке математического языка. Прогресс математики -- это не только открытия на переднем крае, это еще и радикальное упрощение доселе нетривиальных концепций core mathematics.
    Преподавать современную математику можно только в постоянной переоценке ценностей, день ото дня отбрасывая все ненужное и устаревшее, и замещая песок и папье-маше в фундаменте здания стеклокерамикой и бакелитом. Иначе мы застрянем в той же точке, что и мехмат.
    Если вдуматься, все содержание математического образования XIX века (и современной России) можно почерпнуть за год из хорошо составленного учебника по матанализу для ПТУ.
    Подозреваю, что через 100 лет то же самое будут говорить и про содержательную часть всех курсов матфака.
http://verbit.ru/Job/HSE/Curriculum/all.txt

[arseniiv]

Munin в сообщении #1396908 писал(а):

Кстати, а вы не думали, как это рассуждение переносится, скажем, на 3 измерения?

Всё вроде бы прекрасно обобщается на произвольную размерность, и из ограничений на выбор отражений отн. гиперплоскостей в разложении можно получать ясные условия, когда перенос или поворот (или композиция поворотов в ортогональных плоскостях) не получится. Условия, если я не ошибаюсь, такие простые и очевидные получаются:
• гиперплоскости в разложении параллельного переноса должны быть ортогональны его инвариантным прямым, ну то есть вектору переноса;
• гиперплоскости в разложении поворота (одинарного) должны иметь пересечение, ортогональное плоскости поворота.

Отсюда сразу виден новый случай винтового движения в трёхмерии: когда параллельный перенос идёт на вектор вне плоскости поворота. Это можно свести к случаю, когда вектор ортогонален ей (разложив его). Что там нового (кроме поворотов в нескольких ортогональных плоскостях, что требует в общем случае $2\lfloor\dim A/2\rfloor$, а не двух отражений, разумеется) появляется в произвольной высшей размерности, не думал.

Ещё стоит показать такие вещи:
• Свойство разложимости любого не меняющего ориентацию движения на лишь поворот(ы) (не больше $\lfloor(\dim A)/2\rfloor$ штук, где $A$ наше пространство) и перенос остаётся.
• Некоторые композиции поворотов разложимы на них не единственным образом, а именно такие, где есть хотя бы два поворота на один и тот же угол.

-- Пт май 31, 2019 21:08:15 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1396918 писал(а):

Есть такой отрывок, он не относится к мехмату (более того, подчёркнуто не относится, на момент написания 2015), но может быть, как-то откликается:

Напомнило мою мечту, чтобы в учебниках по матлогике начали уже использовать повсеместно деревья в качестве термов и формул (и упразднить лемму о единственности чтения, например) и делали какое-то небольшое введение по операциям на таких деревьях, чтобы потом не определять их по несколько раз для разных систем или рукомахательно писать «аналогично»).

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1396932 писал(а):

Напомнило мою мечту, чтобы в учебниках по матлогике начали уже использовать повсеместно деревья в качестве термов и формул (и упразднить лемму о единственности чтения, например) и делали какое-то небольшое введение по операциям на таких деревьях, чтобы потом не определять их по несколько раз для разных систем или рукомахательно писать «аналогично»).

Я тут последнее время несколько учился алгебре, и у меня такое наблюдение: практически во всех алгебраических системах используется ассоциативность, или что-то ей аналогичное (тождество Якоби или правило Лейбница). И у меня возникла такая мысль:

• при наличии ассоциативности, наука о формулах - есть наука о строчках символов, она более-менее "ручная" (tame),
• а при отсутствии ассоциативности, наука о формулах - это наука о (синтаксических) деревьях, и это жутко сложно и никак не упрощаемо.
• (а кстати, при наличии ассоциативности и коммутативности, наука о формулах есть наука о линейных комбинациях, прямых суммах - совсем "хорошая" область, кому-то может быть даже скучная).

Так что, в общем, я деревья не очень одобряю.

Если речь не идёт только о нотации. Здесь другой коленкор, хорошая нотация полдела откачала, но нотацию нельзя идеалистически придумать совершенной - её надо опробовать, пустить в народ, и потом смотреть на её конкурентную выживаемость; может, отшлифовать. Вот например, Пенроуз придумал что-то, но как-то оно не пошло, громоздко. А Эйнштейн - пошло. Или из обозначений производной, для меня $\partial T/\partial x^i$ слишком громоздко, а $T_{,i}$ - наоборот, слишком малозаметно, нужна какая-то золотая середина типа $\partial_i T.$

В общем, тут совет такой. Напишите сами учебник по матлогике в ваших обозначениях. И выложите его в свободный доступ.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Не, я ещё немного подумал и решил, что то, что мне не нравится, наверно сойдёт на нет в учебниках, использующих достижения теорката для выражения некоторых вещей. Наверно, там множества формул/термов даже будут описаны без конкретизации представления, например как $F$-алгебры. Хмм… george66 может что-то сказать.

Munin в сообщении #1396939 писал(а):

Так что, в общем, я деревья не очень одобряю.

Ну это алгебра, тут ассоциативность и правда клад. Её аналог есть даже в некоторых алгебрах с тернарной операцией, что позволяет её расширить на любое нечётное число аргументов (и один, если есть аналог нейтральности). Я же имел в виду не те строки, которые возникают от ассоциативности. В традиционном изложении формула, ну например, $\forall x\exists y(x+y=0)$, считается строкой из символов `$\forall$', `$x$', `$\exists$', \ldots, `$0$', `$)$'. Такое рассмотрение отвлекает от, если так можно сказать, «настоящего синтаксиса» (на время, пока не будут передоказаны результаты, не имеющие отношения к собственно логике, а именно к такому представлению строками — и хоть это время обычно небольшое, но достаточное). Детали представления можно, между тем, вполне оставлять на наивном уровне как у того же Пирса в TaPL (Pierce, Types and programming languages, интересующая часть — начало главы 3).

[BVR]

Уже второй день собирался встрять в дискуссию, но как-то не собрался.
Раз уж ТС все равно, замечу, что эта задача является стандартной для курса Геометрии в пединституте. На самом деле, всё в этой теме уже обсудили. Я просто хотел сказать про последовательность теорем в этом разделе. Но, не знаю, надо ли уже, раз ТС студент МГУ (не пединститута)
И тогда задача решается "вручную": при $\alpha \neq 2\pi k$ - это поворот. В противном случае - перенос или тождественное.

[Munin]

А как в пединституте это преподают? (Например, приведите какой-нибудь типичный для пединститута учебник.)

[BVR]

Munin в сообщении #1397081 писал(а):

А как в пединституте это преподают? (Например, приведите какой-нибудь типичный для пединститута учебник.)

Суть такая.
1. Всякое движение плоскости является либо движением 1-го рода (не меняет ориентацию плоскости), либо движением 2-го рода (меняет).
2. Композиция движений 1-го рода, является движением 1-го рода. (Ну, это очевидно).
3. Поворот и перенос - движения первго рода. Симметрия - второго.
4. Более расширенная формулировка теоремы Шаля (она есть в книге Яглома Преобразования плоскости). Всякое движение первого рода, есть перенос, поворот или тождественное. Всякое движение 2-го рода есть симметрия или скользящая симметрия.
Поворот и перенос - это движения первого рода. Значит их копозиция тоже. А, значит, - это перенос, поворот или тождественное.
Поэтому, если просто руками написать формулы переноса, поворота, переноса и подставить их последовательно: первую во вторую, вторую в третью, то получим общую формулу требуемого преобразования. Если теперь найти неподвижные точки, то там получится система линейх уравнений. Если её определитель не равен нулю, то это поворот, а если равен, - то перенос или тождественное.

-- Сб июн 01, 2019 22:41:06 --

Да. Забыл.
основной учебник для пединститутов это:
Атанасян Л. С., Базылев В. Т., Геометрия, часть 1 и 2. Они переиздаются уже давно. У меня есть 1986-го года, но я видел и 2011 года..

[Munin]

Спасибо за пояснения и литературу!

[BVR]

На самом деле, nnosipov дал точную формулу для нахождения центра поворота.

-- Сб июн 01, 2019 23:14:04 --

ЗЫ. по-моему у Яглома аккуратно доказано, что что композиция поворота и переноса. есть поворот (или перенос) и даже объясняется. как построить центр этого поворота.
ЗЗЫ. Но мне кажется, что сейчас задачи на построение - лишняя загрузка мозга и вообще, никому не нужны.... мне это грустно...

[vpb]

Munin в сообщении #1396918 писал(а):

более того, подчёркнуто не относится, на момент написания 2015

... зато мимоходом охаивается, а если принять во внимание весь текст, из которого этот отрывок извлечен, то охаивается неоднократно.

[Munin]

Это как бы не главное в этом тексте.