Тип преобразования плоскости

[arseniiv]

(Munin)

Munin в сообщении #1396624 писал(а):

Ну вот матрицы как-то проще.

Да, матрицы проще хотя бы в том смысле, что число их элементов лишь примерно в два раза больше чем надо, так что даже для приложений трёхмерной графики, наумножав кватернионы, перед применением вращения к кучке из как минимум двух точек уже будет вычислительно оправданным сначала найти соответствующую матрицу вращения, а потом уже пользоваться ей. Но например линейную интерполяцию поворота матрицами уже нормальным образом не осуществить, и численные ошибки при умножении матриц ведут себя хуже, чем при умножении в спинорной группе (если норма стала не единичной, её легко поправить, а если матрица стала неортогональной, не так легко).

Munin в сообщении #1396624 писал(а):

И ещё, что-то мне кажется, что ортогональные матрицы при построении "клиффордщины" используются...

Ну как же, вы же смотрели начало того курса, для построения а. К. достаточно векторного пространства с квадратичной формой. Чтобы умножать элементы на практике, можно конечно применять громадную матрицу структурных констант, но там можно и похитрить и упростить вещи. Ещё можно пользоваться изоморфизмами разных а. К. и их прямых сумм и матриц второго порядка над ними и получать достаточно эффективные и пространственно, и по времени процедуры умножения, где аналогией будет умножение матриц $[\begin{smallmatrix} x & -y \\ y & x \end{smallmatrix}]$ (но когда мы не знаем, что элементы в них повторяются) против умножения комплексных чисел. Если же наивно вложить $C\ell(p,q,F)$ в $\mathrm{GL}(2^{p+q},F)$ (это вложение $\mathbf x\mapsto(\mathbf y\mapsto\mathbf{xy})$, как обычно бывает), то это будет, разумеется, ужасно непрактично, да. Но даже и тут все появляющиеся матрицы не обязательно ортогональные.

[nnosipov]

vpb в сообщении #1396649 писал(а):

Но поскольку, как выяснилось, это студент 1-го курса мехмата МГУ (?) (судя по учебнику), и соответствующее место учебника --- это глава о классификации плоских федоровских групп, то ясно, что тут нужен матричный подход, а с комплексными, наоборот, не уместен.

Однако ... Но это он сам виноват: захотел, чтобы ему поставили диагноз по фотографии, что и было сделано. В любом случае: это что за студент мехмата МГУ, который не знает про комплексные числа?

[vpb]

Про комплексные числа он, несомненно, знает. Но рассказать про федоровские группы через комплексные числа нельзя, вероятно.

[nnosipov]

vpb в сообщении #1396674 писал(а):

Но рассказать про федоровские группы через комплексные числа нельзя, вероятно.

Не надо про федоровские группы, о них в стартовом посте ни слова. Зато какие-то странные рассуждения про неподвижные точки и ориентацию в простейшей ситуации. Казалось бы, копеечное дело для студента мехмата, ан нет.

Знать про комплексные числа (в моем понимании) --- это, в том числе, и понимать геометрический смысл арифметических действий над ними. Этому даже в Урюпинских мехматах до сих пор по инерции учат.

[vpb]

Несомненно учат. Но запись движений в комплексной форме --- отдельный, хоть и очень небольшой, сюжет, тоже требующий учебного времени. И я думаю, что ТС его пока не проходил. В общем, действительно получился диагноз по фотографии.

[iakovk]

sotu в сообщении #1396197 писал(а):

Дана композиция преобразований плоскости
$T_a\circ R^A_\alpha \circ T_b$, где $T_a$ - перенос на вектор $a$, $R^A_\alpha$ - поворот вокруг точки $A$ на угол $\alpha$. Нужно определить, к какому типу относится данное преобразование.

Это поворот. Я в школе проходил материал, позволяющий решить эту задачу устно. Теперь это лженаукой считается, что ли?

[nnosipov]

iakovk в сообщении #1396820 писал(а):

Я в школе проходил материал, позволяющий решить эту задачу устно.

И центр поворота тоже устно нашли? Это, вообще-то, не проблема (и никакая не лженаука, разумеется).

Что касается учебника, точнее, его 14-й главы: гремучая смесь геометрии чисел и теории групп. Как по мне, для 1-курсников это перебор. Решение задач типа той, что здесь обсуждается (см., например, упр. 14.5 на стр. 306-307) --- это самое последнее, что должно заботить читателя. Очевидно, что одно понятие кристаллографической группы требует большей культуры, чем решение всех подобных упражнений, вместе взятых.

[Munin]

А я-то думаю, чё за фёдоровские группы, что-то сильно заумное, наверное...
А это кристаллографические! Так и называли бы их группами Шёнфлиса...

[iakovk]

nnosipov в сообщении #1396828 писал(а):

И центр поворота тоже устно нашли?

Нет.

nnosipov в сообщении #1396828 писал(а):

и никакая не лженаука, разумеется

Ну и хорошо.

Просто непонятно, зачем все это обсуждение на 4 страницы. Задача, по-моему, того не стоит.

[vpb]

iakovk в сообщении #1396820 писал(а):

позволяющий решить эту задачу устно

Пожалуйста, напишите сюда свое устное решение, с точки зрения любопытства (ТСу, по моему, уже всё равно...)

[iakovk]

sotu в сообщении #1396197 писал(а):

Дана композиция преобразований плоскости
$T_a\circ R^A_\alpha \circ T_b$, где $T_a$ - перенос на вектор $a$, $R^A_\alpha$ - поворот вокруг точки $A$ на угол $\alpha$. Нужно определить, к какому типу относится данное преобразование.

Теорема
Любой поворот или перенос представляется в виде композиции двух осевых симметрий:
$T=S_1\circ S_2$
где оси симметрий могут быть выбраны достаточно произвольно: $S_1$ либо $S_2$ может быть выбрана произвольно, после этого другая ось определяется однозначно.
"выбрана произвольно" означает:
если у нас поворот, то это может быть произвольная прямая, проходящая через центр поворота;
если перенос, то это может быть произвольная прямая, перпендикулярная направлению переноса.

Пусть теперь имеем преобразование вида
$F=T_a\circ R^A_\alpha$, где $T_a$ - перенос на вектор $a$, $R^A_\alpha$ - поворот вокруг точки $A$ на угол $\alpha$.
Представим его в виде произведения осевых симметрий.
При этом в качестве второго множителя в разложении переноса возьмем прямую (т.е. симметрию отн. ее), проходящую через центр поворота ($A$)
В качестве первого множителя в разложении поворота возьмем ее же.
Тогда в композиции из четырех симметрий мы получим два одинаковых множителя подряд. Они аннулируются. В результате получаем композицию симметрий относительно двух непараллельных прямых, то есть поворот.
Точно так же рассматривается композиция этого поворота с оставшимся переносом. То есть берем в качестве второй оси в разложении этого поворота прямую, перпендикулярную направлению переноса.

Точно так же может быть доказано общее утверждение:
композиция поворотов и переносов в любом количестве является поворотом или переносом в зависимости в сего лишь от одного обстоятельства: суммы углов всех поворотов. Если эта сумма является целым кратным $2\pi$, то перенос, иначе поворот.

[vpb]

Да, понятно, спасибо. Действительно, элементарное решение. Однако, для ТС требовалось решение в том направлении мысли и теми орудиями, как в книжке. Так сказать, в духе аналитической геометрии и линейной алгебры.

-- 31.05.2019, 15:13 --

Собственно, приведем его (примерно то, что авторы учебника ожидали). Переносы --- это преобразования вида $x\mapsto x=a$. А повороты --- вида $x\mapsto Ux+a$, где $U$ --- ортогональная матрица с определителем $+1$. (И наоборот, любое преобразование такого вида --- поворот вокруг некоторого центра). Теперь записываем $R_\alpha^A$ как $x\mapsto Ux+c$ , для подходящего $c$, и потом считаем композицию:

$$(T_a\circ R_\alpha^A\circ T_b) x= (T_a\circ R_\alpha^A) (x+b)= T_a (U(x+b)+c)=U(x+b)+c+a= Ux+ (a+c+Ub)=Ux+d$$

, где $d=a+c+Ub$. Ясно, что это поворот. Фсё.

[Munin]

Я думаю, разобрать это решение для ТС sotu тоже было бы нелишне.

iakovk
Кстати, а вы не думали, как это рассуждение переносится, скажем, на 3 измерения?

[vpb]

Для полноты картины, еще одно рассуждение, вообще без явных вычислений. Поскольку все три сомножителя сохраняют ориентацию, то произведение тоже ее сохраняет. Значит, это перенос или поворот. Допустим, что перенос: $T_a\circ R_\alpha^A \circ T_b= T_c$. Домножая на что надо слева и справа, получаем $R_\alpha^A= T_a^{-1}\circ T_c\circ T_b^{-1}$ . Слева поворот, справа перенос, противоречие (если исходный поворот был неединичный). Значит, таки поворот.

-- 31.05.2019, 15:28 --

Munin в сообщении #1396908 писал(а):

тоже было бы нелишне.

Было бы. Только он, вероятно, уже потерял интерес, ввиду того, что экзамен позади остался.

[iakovk]

vpb в сообщении #1396904 писал(а):

Однако, для ТС требовалось решение в том направлении мысли и теми орудиями, как в книжке.

В какой книжке? В начальном сообщении темы ни о каких книжках ничего не сказано.

Munin в сообщении #1396908 писал(а):

Кстати, а вы не думали, как это рассуждение переносится, скажем, на 3 измерения?

Нет, не думал.