Пространство-время ОТО

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1395188 писал(а):

Мне еще всегда казалось, что поэтому именно стенки конуса должны соответствовать тому, что у Ньютона составляло "сейчас".

В каком-то смысле так и есть. Конус прошлого - это то, что "мы сейчас видим". Конус будущего - это то, "что (у)видит нас в момент сейчас". Или "то, на что мы сейчас влияем". В ОТО эти понятия превращаются в горизонт событий и горизонт частицы.

sergey zhukov в сообщении #1395188 писал(а):

Так 1-форма - это просто поверхности уровня координат?

Не совсем, это частный случай.

Вообще, 1-форма в разных точках может быть задана "несогласованно", так что не существует такой скалярной функции (а скалярная функция - это 0-форма), от которой эта 1-форма будет "поверхностями уровня".

Такой переход от 0-формы к её "поверхностям уровня" 1-форме обозначается буковкой $d$ (иногда пафосно пишут $\mathrm{d}$). Но эту же буковку можно применять к любым $k$-формам, по более сложным правилам, и она даёт $(k+1)$-форму, в частности, для $1\xrightarrow{d}2$-форм это ротор. И дальше вводится такая схема понятий:

Если 1-форма произвольна, то в общем случае не существует 0-формы, от которой она будет "поверхностями уровня": $\not\exists\,\varphi\colon\quad \omega=d\varphi.$

Если 1-форма удовлетворяет условию $d\omega=0,$ то такая форма называется замкнутой, и это условие необходимое, но не достаточное для существования такой 0-формы.

И наконец, если такая 0-форма существует, то соответствующая 1-форма называется точной. Тогда выполняется $\omega=d\varphi.$

Таким образом, $\omega=d\varphi\quad\Rightarrow\quad d\omega=0,$ что также записывают в виде $d^2=dd=0$ (это более общее утверждение, на самом деле). На словах: любая точная форма является замкнутой, но какая-то замкнутая не обязательно является точной, и какая-то произвольная совсем не обязательно является замкнутой.

В частном случае "топологически тривиального" пространства, такого как евклидово плоское пространство или пространство Минковского, замкнутые формы являются точными, но стоит выколоть даже одну точку, как это будет уже не так. То есть, тут надо следить за применимостью фактов и теорем. (Полные формулировки есть в учебниках.)

sergey zhukov в сообщении #1395188 писал(а):

Любые неоднородные и анизотропные сплошные среды описываются тензорами. Можно ли тензор считать просто математической характеристикой анизотропии и неоднородности?

Существуют и однородные изотропные тензоры.

sergey zhukov в сообщении #1395188 писал(а):

так сказать, полупроводниковая теплопроводная среда

Анизотропная теплопроводность не имеет ничего общего с "полупроводимостью" тепла. Тензорная теплопроводность всё равно симметрична "вперёд" и "назад", а анизотропия означает, что "вдоль" тепло может лучше проходить, чем "поперёк".

-- 25.05.2019 15:24:49 --

Для arseniiv:

(Оффтоп)

Разницу между замкнутыми и точными формами можно детально описать. Это фактор-(группа, кольцо) замкнутых форм по точным, и оно называется когомологиями (соответствующей размерности). Например, если мы рассматриваем плоскость с выколотой точкой $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\},$ и 1-формы на ней, то когомологии будут в точности интегралами $\oint\omega$ по контуру, охватывающему выколотую точку. Таким образом, когомологии однозначно связаны с топологией пространства (с его гомологиями). Подобные топологические препятствия - это ровно те препятствия, которые не дают применять обобщённую теорему Стокса (её всё ещё можно применить, если окружить препятствие "встречным контуром"). Кроме того, произвольную форму можно разбить на слагаемые, одно из которых будет точным (разложение Ходжа, обобщение разложения Гельмгольца на сумму градиента и ротора).

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1395188 писал(а):

Значит, точке начала координат евклидова пространства соответствует конус псевдоевклидова пространства? Я всегда считал, что конусу соответствует плоскость $t=0$ евклидова пространства.

Ненене. Пространство-время ньютоновской механики — не евклидово. «Уплощением конуса» вы построите «граничное» между евклидовым и минковским пространство-время, где можно измерять интервалы времени между событиями, но нельзя измерять расстояний. Это можно понимать как часть галилеевского пространства-времени, куда надо будет ещё добавить квадратичную форму на каждое пространственное сечение, чтобы измерять расстояния между одновременными событиями.

В евклидовом же пространстве-времени ничего такого бы не было. Там можно ускоряясь начать двигаться с бесконечной по отношению к некоторой ИСО скоростью, а также вспять во времени. Там абсолютного времени нет ровно так же как и в релятивистской физике.

[sergey zhukov]

Вот хорошая задача, на примере которой можно, как мне кажется, можно лучше понять пространство-время СТО.

Велосипедное колесо катится без проскальзывания по плоской поверхности со скоростью на оси $U$. Протектор колеса оставляет четкий след на поверхности, число зубцов протектора по всему периметру колеса равно 100. Как объяснить, что с точки зрения неподвижного наблюдателя чем больше скорость качения колеса $U\to1$ ($c=1$), тем ниже его угловая скорость вплоть до нулевой (замедление времени движущегося объекта)? Угловая скорость колеса понимается, как длина 100 отпечатков зубцов протектора, деленная на скорость колеса.

Пусть колесо катится по оси $x$. Рассмотрим колесо в плоскости $x^/,y^/$ в штрихованной системе наблюдателя на оси колеса (наблюдатель не вращается). При вращении колеса спицы заметают в пространстве-времени $x^/,y^/,t^/$ фигуру типа геликоида, образующей которого является сразу несколько прямых (спиц колеса). Неподвижный наблюдатель из не штрихованной системы должен использовать преобразования Лоренца:

$$x=\gamma(x^/+Ut^/)$$

$$t=\gamma(t^/+Ux^/)$$

$$y=y^/$$

Здесь я внесу немного отсебятины, но надеюсь, не смертельной. Два первых уравнения можно условно назвать отвечающими на вопросы, соответственно, "где?" и "что?" Т.е. где и какие события (одновременно) увидит не штрихованный наблюдатель из тех, что имеются в штрихованной системе. Преобразования Галилея тоже отвечали на эти вопросы так: Что? - то же самое, что и в штрихованной. Где? - параллельный сдвиг на $Ut$.
Преобразования Лоренца дают такой ответ. Что? - косой срез геликоида ( в нашем случае) плоскостью $t^/+Ux^/=\operatorname{const}$. Это дает нам события, которые для неподвижного наблюдателя образуют единовременную картину. Где? - перенос каждого события из этого среза в направлении скорости на $Ut^/$. Теперь это уже не параллельный перенос всей картины событий, т.к. $t^/$ по плоскости среза не постоянно:

Косое сечение геликоида дает характерную картинку искривленных спиц колеса, сконцентрированных в верхней точке катящегося колеса. А перемещение событий на $Ut$ сжимает всю картинку.
Замедление угловой скорости колеса с увеличением его поступательной скорости достигается, видимо, тем, что в нижней части обод колеса растягивается, а в верхней - сжимается. Спицы очень быстро проходят нижнюю часть колеса и очень долго - верхнюю. В нашем эксперименте длина отпечатков зубцов протектора на следе колеса по мере увеличения его скорости будет, видимо, все больше и больше, узор протектора будет все больше растягиваться в направлении скорости, что и приводит к снижению угловой скорости колеса. Остается непонятным только, почему с точкой обода колеса, соприкасающейся к плоскостью, происходит какое-то растяжение с точки зрения неподвижного наблюдателя. Ведь она тоже неподвижна?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1395517 писал(а):

Как объяснить, что с точки зрения неподвижного наблюдателя чем больше скорость качения колеса $U\to1$ ($c=1$), тем ниже его угловая скорость вплоть до нулевой (замедление времени движущегося объекта)?

А с чего вы взяли, что это вообще так?

sergey zhukov в сообщении #1395517 писал(а):

Угловая скорость колеса понимается, как длина 100 отпечатков зубцов протектора, деленная на скорость колеса.

Вообще-то определение угловой скорости другое. Там скорость в числителе.

Штрихи в формулах пишутся обычным символом апострофа: $x',y',t'.$

В общем, всё переделать.

-- 26.05.2019 22:50:39 --

На картинке у вас колесо крутится со сверхсветовой скоростью.

[sergey zhukov]

Да, ошибка. Думал про частоту, а написал про период. Я хотел сказать, что колесо делает один оборот на длине следа $X$, соответствующего полной развертке обода. Время, за которое колесо проходит этот путь для неподвижного наблюдателя равно $\frac{X}{U}$. Значит, частота оборотов колеса в системе неподвижного наблюдателя равна $\frac{U}{X}$.

Да, геликоид закручен слишком сильно. Я подумал, что это не заметят. А сам заметил, когда уже все нарисовал. Ну, это не принципиально. В сечении колесо досветовое нарисовано.

Munin в сообщении #1395526 писал(а):

А с чего вы взяли, что это вообще так?

Честно говоря, я рассуждал так: если колесо, раскрученное до релятивистских скоростей на ободе, поставить в релятивистскую ракету, то частота его оборотов для неподвижного наблюдателя должна замедлиться в соответствии с известной формулой. Если ракету убрать, а колесо заставить катиться по плоскости с той же скоростью ракеты, то ничего не изменится. Значит, замедление должно действовать и там.

-- 27.05.2019, 21:07 --

Да, вот еще вопрос. Псевдометрика Минковского, как я понял из общего определения метрики, тоже должна подчинятся неравенству треугольника. Но это же не так? Если интервал - это собственное время наблюдателя, то кривая в пространстве Минковского между двумя точками всегда короче соответствующей прямой.

[Someone]

sergey zhukov в сообщении #1395749 писал(а):

Псевдометрика Минковского, как я понял из общего определения метрики

Псевдометрика — не метрика в топологическом смысле. Неравенству треугольника она не удовлетворяет. Вообще, тут терминология запутанная и неоднозначная. Поэтому всегда надо выяснять, что именно имеется в виду.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1395749 писал(а):

Псевдометрика Минковского, как я понял из общего определения метрики, тоже должна подчинятся неравенству треугольника.

Она потому и псевдометрика, что не удовлетворяет общему определению метрики.

sergey zhukov в сообщении #1395749 писал(а):

Но это же не так? Если интервал - это собственное время наблюдателя, то кривая в пространстве Минковского между двумя точками всегда короче соответствующей прямой.

Это верно. Для времениподобных отрезков выполняется "обратное" неравенство треугольника.

[sergey zhukov]

Что, если понимать плоское пространство-время так:


Пространство-время можно считать снабженным абсолютными координатами в виде световых лучей (идущих из бесконечности). Масштаб по этим осям - длина волны. Преобразование Лоренца в точке ускорения заключается в сжатии пространства-времени вдоль одного луча и растяжении вдоль другого таким образом, чтобы объем пространства-времени не изменился. При этом можно считать, что мировая линия тела до точки ускорения и после нее лежит в разных пространствах, разделенных операцией растяжения/сжатия (гиперболический поворот). В евклидовой метрике это была бы операция поворота, а в псевдоевклидовой - это по сути чистый сдвиг пространства-времени.

[Munin]

Вам надо научиться не произносить терминов ("чистый сдвиг") там, где они не подходят по смыслу. Сдвигом называется другое. А это - именно гиперболический поворот (раскладывающийся на сжатие и растяжение, тут всё верно).

Эта система координат хорошо известна, но её нельзя называть абсолютной (именно потому, что гиперболический поворот меняет её).

Кроме этих шероховатостей, всё окей.

[arseniiv]

Да, разложение преобразования из $\mathrm{O}(1,1)$ на два сжатия известно и удобно, а вот чистые сдвиги — это преобразования Галилея кстати.

[sergey zhukov]

Разве чистым сдвигом не называется "одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям"? Это написано в любом определении такого сдвига. Я всегда имею ввиду это определение. Может быть, я не совсем ясно говорю, и вы подумали про сдвиг только вдоль одной координаты х? Тогда это конечно преобразование Галилея. Я говорю про комбинацию двух сдвигов сначала вдоль х, а затем вдоль t.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1396362 писал(а):

Разве чистым сдвигом не называется "одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям"?

Видимо, вы что-то перепутали.

Композиция двух сдвигов (не комбинация, а композиция) сдвигом может не являться.

[arseniiv]

Я говорил про сдвиг, который сохраняет некоторый пучок параллельных гиперплоскостей (в каждой из которых по отдельности происходит параллельный перенос). А преобразования Лоренца сохраняют пучок «параллельных» гиперболоидов.

[sergey zhukov]

Метрика Минковского не удовлетворяет ни одному свойству метрики в том смысле, в котором понятие метрики было введено изначально (неравенство треугольника, положительность, между разными точками не может быть нулевое расстояние). С какой точки зрения метрику Минковского вообще полезно рассматривать, как расстояние в пространстве-времени в каком бы то ни было смысле?

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1404627 писал(а):

С какой точки зрения метрику Минковского вообще полезно рассматривать, как расстояние в пространстве-времени в каком бы то ни было смысле?

Когда квадрат интервала положителен, он имеет смысл квадрата собственного времени.