Спин электрона в магнитном поле.

[fps24]

Возникло несколько вопросов относительно поведения электронов в постоянном магнитном поле.

Вопрос 1.

В конце лекции физфака СПбГУ: "Спиновые состояния электрона" - есть задача, где спрашивается, как угол между двумя последовательными измерениями знака спина электрона влияет на вероятность обнаружить оба раза спин с одинаковым знаком.

Меня интересует задача, которую можно сформулировать в следующем виде.

Электрон вылетает из фильтра Штерна-Герлаха в состоянии, соответствующем ориентации спина вдоль положительного направления оси z, и попадает в анализатор, повёрнутый в пространстве вокруг направления движения электрона. Какова вероятность, что измеренный спин будет ориентирован вдоль положительного направления оси z анализатора, если угол между этим направлением и положительным направлением оси z фильтра равен \alpha ?

На мой взгляд, правильный ответ следующий:



Это так?

[Alex-Yu]

fps24 в сообщении #1394977 писал(а):

На мой взгляд, правильный ответ следующий:

А как это получается? В науке безосновательные декларации в духе "на мой взгляд будет так" не проходят.

[fps24]

Alex-Yu в сообщении #1394983 писал(а):

А как это получается? В науке безосновательные декларации в духе "на мой взгляд будет так" не проходят.

Меня интересует, как посчитать вероятность сохранения знака спина электрона, в зависимости от угла между первым и вторым измерениями. Найти формулу в книжках или в сети мне не удалось, сам её я вывести не умею, поэтому и спрашиваю.

[Alex-Yu]

fps24 в сообщении #1394994 писал(а):

сам её я вывести не умею, поэтому и спрашиваю.

Читайте раздел "спин" в любом учебнике квантовой механики. Например, в т. 3 курса Ландау-Лифшица это глава VIII. В частности, поворот спинора рассматривается в параграфе 58 этой главы.

Кстати, в лекциях "Спиновые состояния электрона", ссылку на которые Вы приводили выше, все нужное для ответа на поставленный вопрос тоже есть.

[Munin]

fps24 в сообщении #1394977 писал(а):

Меня интересует задача, которую можно сформулировать в следующем виде.

Электрон вылетает из фильтра Штерна-Герлаха в состоянии, соответствующем ориентации спина вдоль положительного направления оси $z,$ и попадает в анализатор, повёрнутый в пространстве вокруг направления движения электрона. Какова вероятность, что измеренный спин будет ориентирован вдоль положительного направления оси $z$ анализатора, если угол между этим направлением и положительным направлением оси $z$ фильтра равен $\alpha$?

Эта задача подробно изложена в
Фейнмановские лекции по физике, выпуск 8.
И посвящена ей целая глава 4, в сумме 24 страницы.

Рекомендую ФЛФ перед Ландау-Лифшицем, а не после.

fps24 в сообщении #1394994 писал(а):

Найти формулу в книжках или в сети мне не удалось

Это значит, что вы и не начинали искать.

[fps24]

Munin в сообщении #1395028 писал(а):

Эта задача подробно изложена в Фейнмановские лекции по физике, выпуск 8.

Огромное спасибо!

На мой взгляд, фейнмановские лекции - отличный пример того, как нужно обучать физике.

Помимо подробного объяснения, в конце главы есть таблица с формулами амплитуд для поворотов вокруг любой из осей:



Из таблицы видно, что для поворотов вокруг любой из осей, перпендикулярной оси z, на произвольный угол \alpha - амплитуда сохранения знака спина равна $\cos \frac {\alpha} 2$, а значит изначальное предположение было верным и вероятность сохранения знака спина при повороте вокруг оси $y$ на угол $\alpha$ :

$P = \cos^2 \frac {\alpha} 2$

Всё правильно?

[Alex-Yu]

fps24 в сообщении #1395190 писал(а):

Всё правильно?

Да. Но все то же самое есть и в лекции, что Вы цитировали. Раздел 3.5, формула (3.18). Или умножить вектор-столбец на квадратную матрицу это для Вас проблема???

[fps24]

Alex-Yu в сообщении #1395223 писал(а):

Да.

Спасибо!

При формулировке следующих вопросов будет использован инструментарий, предложенный Фейнманом в его лекциях по физике (с небольшими изменениями и дополнениями).

1. Модифицированный прибор Штерна-Герлаха.




2. Фильтр Штерна-Герлаха.




3. Счётчик Штерна-Герлаха.



Счётчик Штерна-Герлаха определяет процентное отношение количества электронов, попавших в каждый из детекторов, к общему количеству электронов на входе в прибор. Датчики выбраны и расположены так, что регистрируют только те электроны, магнитный момент которых в каждый момент времени нахождения электрона в приборе был коллинеарен вектору магнитной индукции.


4. Пролётный счётчик Штерна-Герлаха.



Пролётный счётчик Штерна-Герлаха определяет процентное отношение количества электронов, прошедших по верхнему или нижнему пути в приборе, к общему количеству электронов на входе в прибор. Поглощающая перегородка расположена так, чтобы пучки траекторий для проходящих (и регистрируемых при этом) электронов полностью соответствовали пучкам траекторий электронов, попадающих в верхний или нижний датчик в поглощающем счётчике, описанном в предыдущем пункте.


С таким инструментарием проблем нет?

[Munin]

Что это за "пролётный счётчик"? Откуда вы его взяли?

[fps24]

Вопрос 2.

Проведём два эксперимента.

1. Первый эксперимент.

Возьмём схему эксперимента из описания счётчика Штерна-Герлаха.



Повернём счётчик вокруг оси $y$ на угол $45^o$.



Проверим полученные результаты.

$P_+(\alpha) = \cos^2 \frac {\alpha} 2$ ; $P_+(\frac \pi 4) = 0.85$

$P_-(\alpha) = \sin^2 \frac {\alpha} 2$ ; $P_-(\frac \pi 4) = 0.15$


2. Второй эксперимент.

Возьмём схему эксперимента из описания пролётного счётчика Штерна-Герлаха.



Повернём оба счётчика вокруг оси $y$ на угол $45^o$.



Пропуская электроны по одному, можно убедиться, что все электроны, обнаруженные проходящими по нижнему пути в среднем приборе - попадают в нижний детектор в последнем приборе, а все электроны, обнаруженные проходящими по верхнему пути в среднем приборе - попадают в верхний детектор в последнем приборе.

Всё правильно?

[Munin]

Извольте ответить, что это за "пролётный счётчик", откуда вы его взяли, и как он, подразумевается, должен работать. (Со ссылками на литературу, и своими расчётами.)

[fps24]

Munin в сообщении #1397063 писал(а):

Что это за "пролётный счётчик"? Откуда вы его взяли?

Вывел аналитически.

Ход рассуждений был следующий.

Известно:

1. Пролётные детекторы электронов могут использоваться для различения путей электронов в двухщелевом эксперименте
(Фейнмановские лекции по физике, том 3, глава 37, параграф 6: "Как проследить за электроном").

2. При пропуске электронов по одному - любой пролётный детектор тождественен пролётному счётчику.

Спрашивается:

Возможно ли использование пролётных счётчиков для различения путей электронов в модифицированном приборе Штерна-Герлаха ?

Ответ:

Да.

...

Поскольку ограничения на физическую реализуемость пролётного счётчика Штерна-Герлаха не превышают ограничений для любого другого прибора на основе воображаемого модифицированного прибора Штерна-Герлаха - они могут использоваться в мысленных экспериментах совместно.

При пропуске электронов по одному, в момент обнаружения электрона в верхнем или нижнем пути пролётного счётчика - дальнейший ход эксперимента становится тождественным ходу эксперимента с фильтрующей перегородкой в противоположном пути, превращаясь по сути в классический эксперимент с фильтром и счётчиком:



Всё правильно?

[Munin]

Теперь ясно. Но тогда нет никакого смысла ставить пролётный детектор, а после него - ещё что-то. Если он работает со 100 %-ной эффективностью, то попросту разрушает любое квантовое состояние.

[fps24]

Munin в сообщении #1397154 писал(а):

Теперь ясно. Но тогда нет никакого смысла ставить пролётный детектор, а после него - ещё что-то. Если он работает со 100 %-ной эффективностью, то попросту разрушает любое квантовое состояние.

Конечно!

Но это предварительное обсуждение инструментария, который будет использоваться мною при формулировании дальнейших вопросов - всё равно оказалось для меня весьма полезным.

[fps24]

Следующий эксперимент логически вытекает из предыдущего, поэтому требующих уточнения моментов в нём нет, но он необходим для перехода к дальнейшим частям обсуждения.

Возьмём схему предыдущего эксперимента.




Вернём последний прибор из диагонального положения ( ориентация Z2 ) обратно в вертикальное положение ( ориентация Z1 ).




Теперь мы уже знаем, как этот эксперимент можно разложить на две ортогональные составляющие, дающие итоговый результат в линейной комбинации.

1. Эксперимент для верхнего пути в среднем приборе.




2. Эксперимент для нижнего пути в среднем приборе.




Проверим результаты:

$P_+(\frac \pi 4) = 0.85 \times 0.85 + 0.15 \times 0.15 = 0.75$

$P_-(\frac \pi 4) = 0.85 \times 0.15 + 0.15 \times 0.85 = 0.25$

Заменив везде $0.85$ на $(\cos^2 \frac {\alpha} 2)$, а $0.15$ на $(\sin^2 \frac {\alpha} 2)$ - можно легко вывести обобщённую формулу для расчёта вероятности сохранения/изменения знака спина при двух последовательных поворотах вокруг оси $y$ на одинаковый угол $\alpha$, но с дальнейшим обсуждением это никак не связано.