Пространство-время ОТО

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1394674 писал(а):

1) Запишите перевод риндлеровских координат в декартовы слева и справа.
2) Запишите уравнение геодезической в ваших декартовых координатах в точке сшивки.
3) Сделайте из п. 2 вывод относительно $\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\gamma}$ в точке сшивки.

1) У меня произвольная функция $x_{\pm}(t)$. Риндлеровских координат нет.
2) $\ddot{x} = 0$, $\ddot{y} = 0$, $\ddot{z} = 0$.
3) ${\Gamma^{\mu}}_{\alpha \beta} = 0$.

Guvertod в сообщении #1394672 писал(а):

А что следует из того, что метрика индуцируется одинаковая ?

Если ещё принять во внимание бессмысленные вопросы от другого активного участника, то у меня может самопроизвольно начать формироваться (конечно же безусловно ошибочное и вредное) мнение о том, что я тут чуть ли ни единственный кто понимает в чём дело. Одинаковость индуцируемых метрик является необходимым условием для сшивки. Пусть $x^{\mu}_{-}$ и $x^{\mu}_{+}$ координаты с разных сторон от поверхности, а $g^{-}_{\mu \nu}(x_{-})$ и $g^{+}_{\mu \nu}(x_{+})$ - метрические тензоры соответственно. Они индуцируют на поверхности следующие метрики:

$$ h^{-}_{a b}(y_{-}) = g^{-}_{\mu \nu} (x_{-}) \frac{\partial x^{\mu}_{-}}{\partial y^{a}_{-}} \frac{\partial x^{\nu}_{-}}{\partial y^{b}_{-}}, $$

$$ h^{+}_{a b}(y_{+}) = g^{+}_{\mu \nu} (x_{+}) \frac{\partial x^{\mu}_{+}}{\partial y^{a}_{+}} \frac{\partial x^{\nu}_{+}}{\partial y^{b}_{+}}, $$

здесь $y^{a}_{-}$ и $y^{a}_{+}$ - системы координат на поверхности. Для сшивки необходимо, чтобы метрики $h^{-}_{a b}(y_{-})$ и $h^{+}_{a b}(y_{+})$ были эквивалентны, то есть на поверхности должно существовать (несингулярное) преобразование координат, такое что:

$$ h^{+}_{a b}(y_{+}) = h^{-}_{c d}(y_{-}) \frac{\partial y^{c}_{-}}{\partial y^{a}_{+}} \frac{\partial y^{d}_{-}}{\partial y^{b}_{+}}. $$

Guvertod в сообщении #1394672 писал(а):

Все равно переход от заданных условием задачи координат к прямоугольным даст две несогласованные на границе карты. Вычисления делаются в всепокрывающей СК и приводят к существованию ТЭИ.

Всепокрывающими координатами являются Декартовы координаты в пространстве Минковского:

$$ dt_{-}^2 - dx_{-}^2 - dy_{-}^2 - dz_{-}^2 = \left( 1 - \left(\frac{dx_{-}}{dt}\right)^2 \right) dt_{-}^2 - dy_{-}^2 - dz_{-}^2, $$

$$ dt_{+}^2 - dx_{+}^2 - dy_{+}^2 - dz_{+}^2 = \left( 1 - \left(\frac{dx_{+}}{dt}\right)^2 \right) dt_{+}^2 - dy_{+}^2 - dz_{+}^2, $$

$$ t_{+} = t_{-}, \qquad y_{+} = y_{-}, \qquad z_{+} = z_{-}, \qquad \left(\frac{dx_{+}}{dt}\right)^2 = \left(\frac{dx_{-}}{dt}\right)^2. $$

А ТЭИ нулевой хотя бы просто потому, что его не из чего построить:

$$\frac{ \partial g^{-}_{\mu \nu} }{\partial x^{\alpha}_{-}} = 0, \qquad \frac{ \partial g^{+}_{\mu \nu} }{\partial x^{\alpha}_{+}} = 0.$$

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1394701 писал(а):

1) У меня произвольная функция $x_{\pm}(t)$. Риндлеровских координат нет.

Значит, вы постановку задачи не поняли.

SergeyGubanov в сообщении #1394701 писал(а):

Если ещё принять во внимание бессмысленные вопросы от другого активного участника, то у меня может самопроизвольно начать формироваться (конечно же безусловно ошибочное и вредное) мнение о том, что я тут чуть ли ни единственный кто понимает в чём дело.

Обычно такое мнение сигнализирует о том, что это вы чего-то не понимаете. (У меня такое тоже бывало, и вовремя было исправлено.)

Дополнительный признак: окружающие, которые "не понимают, в чём дело", прекрасно понимают друг друга и коммуницируют на основе этого понимания. Например, я хоть и не участвую в вычислениях warlock66613 и Geen, но понимаю их и слежу за ними. А они одинаково (между собой) поняли постановку задачи от epros. Также, судя по репликам, это понимание разделяют Someone и Guvertod (и даже schekn, кто бы мог подумать!). В общем, вы в меньшинстве, барон.

SergeyGubanov в сообщении #1394701 писал(а):

Одинаковость индуцируемых метрик является необходимым условием для сшивки.

Видимо, в этом и проблема. Вы правильно понимаете, как сшивать карты без "материальной поверхности" между ними, и поэтому не можете понять задачу, где как раз необходимо сшить со вставкой такой поверхности. Ваши условия просто от другой задачи, а в этой - должны быть нарушены.

Совсем на пальцах, что вам предлагается:
- склейте из бумаги два конуса: круг некоторого радиуса, из которого вырезан сегмент некоторого угла, и разрез склеен;
- склейте эти два конуса по контуру основания.
Конус аналогичен координатам Риндлера (бывшие декартовы координаты - клетчатая бумага, из которой вырезан конус), то есть на нём есть координаты "угол" и "расстояние от вершины", обладающие понятной симметрией.
Контур основания - линия, инвариантная относительно этой симметрии, так же как $r=\mathrm{const}$ в координатах Риндлера.
И наконец, склейка двух конусов (не сшивка!) подразумевает, что допускается "излом", в некоторых координатах явный (например, в бывших декартовых клеточках), а в некоторых - явный только в производных (например, радиус кривизны поверхности поперёк излома обращается в нуль).

[SergeyGubanov]

Munin, пример с двумя конусами неудачный. Там тоже ТЭИ нулевой.

Чтобы был ненулевой ТЭИ нужно, например, склеить конус и раструб от пионерского горна. На конусе $R^{-}_{\alpha \beta \gamma \delta} = 0$, а на раструбе $R^{+}_{\alpha \beta \gamma \delta} \ne 0$.

[Guvertod]

SergeyGubanov в сообщении #1394701 писал(а):

Одинаковость индуцируемых метрик является необходимым условием для сшивки.

Вы вопрос не поняли? То что это необходимое условие для сшивки решений, я как раз знаю, не стоило утруждаться расписывать.

Только вот из этого логически никак не следует , что вы в вычислениях можете использовать в качестве карты две карты из разных декартовых координат (которые не состыкуются в одну карту, если вы это нормально проверите!), когда непрерывно покрывающей картой по условию задачи являются именно описанные соединенные риндлеровские. Можно выбрать другую всепокрывающую карту( не ясно только, зачем, вычисления можно проделать в любой), только ее нужно явно нормально показать.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1394735 писал(а):

Munin, пример с двумя конусами неудачный. Там тоже ТЭИ нулевой.

Зато там координатные сетки склеены с изломом, и символы Кристоффеля на изломе имеют дельту. Вот рассчитайте два конуса правильно - тогда можно будет перейти к поставленной задаче с двумя Риндлерами.

[Geen]

Ну пусть будет Минковский...
Рассмотрим в декартовых координатах (с метрикой Минковского ($+ ---$)) область $x>f(t)$. Параметризуем границу этой области координатами $t,y,z$. Касательные вектора будут

$${e^i}_\alpha=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1\\\dot{f}\\0\\0\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$$

Индуцированная метрика -

$$g_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}1-\dot{f}^2&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

Ковектор нормали к поверхности (единичный, "направленный наружу")

$$n_i=\begin{pmatrix}\left.\dot{f}\middle/\sqrt{1-\dot{f}^2}\right.&\left.-1\middle/\sqrt{1-\dot{f}^2}\right.&0&0\end{pmatrix}$$

Производная (ковариантная) будет

$$n_{i;j}=\begin{pmatrix}{\left.\ddot{f}\middle/\left(1-\dot{f}^{2}\right)^{3/2}\right.&0&0&0\\-\left.\dot{f}\ddot{f}\middle/\left(1-\dot{f}^{2}\right)^{3/2}\right.&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$

Тензор внешней кривизны (вторая фундаментальная форма) будет

$$K_{\alpha\beta}=n_{i;j}e^i_\alpha e^j_\beta=\begin{pmatrix}\left.\ddot{f}\middle/\sqrt{1-\dot{f}^2}\right.&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

По другую сторону границы мы можем выбрать а) "зеркальные" координаты", б) "продолжение" координат и описывающую границу функцию i) ту же самую, ii) взятую с обратным знаком. В половине из этих случаев мы получим точно такой же тензор внешней кривизны, а в половине - со знаком минус. Соответственно, в половине случаев будет нулевой скачок тензора внешней кривизны, а в других - удвоение выписанного выше.
По формуле Ланцоша будем иметь поверхностный ТЭИ

$$S_{\alpha\beta}=\frac{1}{8\pi}([K_{\alpha\beta}]-g_{\alpha\beta}[K])=\frac{1}{4\pi}\frac{\ddot{f}}{\left(1-\dot{f}^{2}\right)^{3/2}}\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

для случаев а)i) и б)ii). В остальных случаях будет, естественно, 0.

-- 23.05.2019, 15:15 --

Для "равноускоренной плоскости" $f(t)=\frac{1}{a}\sqrt{1+a^2t^2}$ точно такой же результат получается если "зафиксировать" плоскость в нуле и взять "метрику Риндлера" $ds^2=(1+ax)^2dt^2-dx^2-\dots$

[SergeyGubanov]

Geen, спасибо! Я всё это время думал, что речь идёт про обычный четырёхмерный ТЭИ.

[Munin]

А обычный четырёхмерный вообще в $\infty$ уходит же.

[Guvertod]

epros в сообщении #1394155 писал(а):

Ну, множители $\delta(x)$ там обязательно будут.

[Geen]

Munin в сообщении #1394784 писал(а):

А обычный четырёхмерный вообще в $\infty$ уходит же.

Кстати, для обеспечения ускорения 1 g необходимо давление $10^{27} \text{Н/м}$

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #1394783 писал(а):

Я всё это время думал, что речь идёт про обычный четырёхмерный ТЭИ.

Someone в сообщении #1394384 писал(а):

На поверхности склейки образуется так называемый поверхностный слой. И в нём — ненулевой поверхностный тензор энергии-импульса.

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #1394776 писал(а):

По формуле Ланцоша будем иметь поверхностный ТЭИ

$$S_{\alpha\beta}=\frac{1}{8\pi}([K_{\alpha\beta}]-g_{\alpha\beta}[K])=\frac{1}{4\pi}\frac{\ddot{f}}{\left(1-\dot{f}^{2}\right)^{3/2}}\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

Если вдруг не затруднит, не могли бы Вы пересчитать его в четырёхмерный тензор по следующей формуле:

$$ S_{\mu \nu} = g_{\mu \alpha} g_{\nu \beta} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial y^{a}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial y^{b}} h^{a c} h^{b d} S_{c d} $$

В этих обозначениях $g_{\mu \nu}$ - четырёхмерная метрика, $h_{a b}$ - трёхмерная. Хочется понять что там с плотностью энергии будет у четырёхмерного $S_{\mu \nu}$, а Mathematica под рукой сейчас нет.

[sergey zhukov]

По поводу светового конуса.

Правильно ли я понимаю, что линия (в одномерном случае) одновременности конкретного наблюдателя - это линия, на которой в пространстве-времени окажется множество синхронизированных часов, если наблюдатель использует, например, синхронизацию Эйнштейна при помощи световых импульсов?

Любая линия с отклонением от вертикали менее 45 гр. состоит из причинно связанных событий, а любая линия с отклонением более 45 гр. - причинно не связанных. Любая мировая линия должна состоять из причинно связанных событий (появление тела в следующей точке пространства-времени есть следствие того, что оно было в предыдущей точке), поэтому ее отклонение всегда менее 45 гр. Так?

Можно ли считать, что в одномерном случае СТО вместо абсолютных перпендикулярных осей пространства и времени вводит две новые абсолютные перпендикулярные линии - мировые линии лучей света?

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1394859 писал(а):

Можно ли считать, что в одномерном случае СТО вместо абсолютных перпендикулярных осей пространства и времени вводит две новые абсолютные перпендикулярные линии - мировые линии лучей света?

Векторы с координатами $(t, x) = (1, 1)$ и $(1, -1)$ в некоторой ИСО — хоть каждый и изотропен, не ортогональные: $1\cdot1 - 1\cdot(-1) = 2\ne0$. Плюс, ну что значит «вводят»? И неужели есть какие-то «абсолютные оси» у пространства и в галилеевской механике? Нету, только для времени, а базис пространственных сечений мы можем крутить как угодно.

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1394840 писал(а):

Если вдруг не затруднит, не могли бы Вы пересчитать его в четырёхмерный тензор по следующей формуле:

Да, вроде бы, в уме легко пересчитывается - всё то же самое, только добавляются нули "для икса".

-- 24.05.2019, 00:38 --

Кстати, нашёл ещё одну "плоскую" статическую вакуумную метрику (и других, кажется, больше нет):

$$(1+ax)^{-2/3}dt^2-dx^2-(1+ax)^{4/3}(dy^2+dz^2)$$

для неё аналогичный ТЭИ будет

$$S_{\alpha\beta}=\frac{a}{24\pi}\begin{pmatrix}-4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$