Пространство-время ОТО

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1394492 писал(а):

Итак, я продвигаюсь. На данный момент я достиг следующего. Если действовать впрямую, символы кристоффеля $\Gamma^0_{01}=\Gamma^0_{10}$ оказываются сингулярными ($|x|^{-1}$). Поэтому нужна какая-то регуляризация. Кажется разумным взять регуляризованную метрику в виде

$$g_{00} = (x - o_+)^2 \Theta(x) - (x + o_-)^2 \Theta(-x).$$

Здесь $\Theta(x)$ - это функция Хевисайда (обозначение из предложенной Geen книги), а $o_\pm$ - бесконечно малые положительные (? см. далее) константы. Дальше надо проверять условия согласования - они должны дать связь между $o_+$ и $o_-$. Навскидку кажется, что одно из них должно быть чисто мнимым, что плохо вяжется с положительностью, но может я ошибаюсь - ещё не проверял.

Но Вам же известно, что справа и слева от поверхности находится пространство Минковского. Так вот и используйте справа и слева от поверхности Декартовы координаты со связностями равными нулю. Имеете на это полное право.

Munin в сообщении #1394520 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1394407 писал(а):

Да я бы вобще не понял в чём задача если б не спросил. Оказывается речь идёт о пространстве Минковского в котором ускоренно движется воображаемая, то есть нематериальная поверхность:

$$x(t) = \frac{1}{a} \sqrt{1 + a^2 \, t^2}$$

Вы забыли условие, что по другую сторону поверхности ускорение свободно падающих частиц направлено тоже к ней, а не от неё.

Воображаемое разрезание и воображаемая склейка плоского пространства с плоским пространством на самом деле уже излишнее телодвижение - ведь всё уже и так достаточно круто "работает". С одной стороны эта воображаемая поверхность удивительно гравитирует (пробные частицы на неё падают), а с другой стороны она не менее удивительно антигравитирует (пробные частицы от неё улетают). Но самое удивительное здесь то, что с тем же "успехом" можно использовать любую функцию $x(t)$.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1394533 писал(а):

С одной стороны эта воображаемая поверхность удивительно гравитирует (пробные частицы на неё падают), а с другой стороны она не менее удивительно антигравитирует (пробные частицы от неё улетают).

Именно это и означает, что вы решаете не ту задачу. В поставленной задаче поверхность с обеих сторон гравитирует (пробные частицы на неё падают).

[SergeyGubanov]

Munin, описанный метод построения новых решений уравнений ОТО одинаково хорошо "работает" для любой функции $x(t)$.

При обдумывании этого в голове должен бы уже сработать assert() - что-то где-то пошло не так.

[Guvertod]

SergeyGubanov
Я там проводил аналогию с уравнением Пуассона, а не электродинамикой, ну это ладно.Какие мы формально накладываем условия на метрику, такие и допускаем решения, какие тут могут быть проблемы?
Но в целом ваша реакция понятна, тема интересная в отношении к физическому смыслу. В частности, хотелось быть некую "теорему Биркгофа" для этого случая...

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1394596 писал(а):

описанный метод построения новых решений уравнений ОТО одинаково хорошо "работает" для любой функции $x(t)$.

Ну так примените его для поставленной задачи, а не для вашей ошибочно прочтённой.
Обнаружите, что плоскость перестаёт быть вымышленной.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1394604 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1394596 писал(а):

описанный метод построения новых решений уравнений ОТО одинаково хорошо "работает" для любой функции $x(t)$.

Ну так примените его для поставленной задачи, а не для вашей ошибочно прочтённой.
Обнаружите, что плоскость перестаёт быть вымышленной.

Для любой функции $x(t)$ там ноль.

Не ноль получится только если с разных сторон будет разная кривизна: $R_{\mu \nu \alpha \beta} (x+\varepsilon) \ne R_{\mu \nu \alpha \beta} (x-\varepsilon)$.

В данном случае при любой функции $x(t)$ имеем $R_{\mu \nu \alpha \beta} (x+\varepsilon) = 0$ и $R_{\mu \nu \alpha \beta} (x-\varepsilon) = 0$, то есть поверхность $x(t) = \operatorname{const}$ нематериальная, воображаемая.

[Guvertod]

:SergeyGubanov
У функции сигнум производная равна нулю с обеих сторон, значит в нуле по-вашему тоже?

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1394611 писал(а):

Не ноль получится только если с разных сторон будет разная кривизна:

Прочтите лекции Э.Пуассона (параграф 3.7)...

[sergey zhukov]

Извиняюсь, что это вроде бы совершенно не в тему теперь получается, но у меня появилась еще пара вопросов:

Верно ли, что горизонт черной дыры появляется по тому же механизму, что и горизонт наблюдаемой вселенной? С точки зрения наблюдателя, неподвижного по отношению к черной дыре или, скажем, в поле реликтового излучения, горизонт в обоих случаях оказывается непроницаем в обе стороны. Его ничто не пересекает как оттуда, так и туда. Если второй наблюдатель падает на черную дыру, то первый можем вычислить, сколько времени по собственным часам второго потребуется, чтобы долететь до горизонта (скажем, $t$). И теперь история второго наблюдателя разделилась для первого на то, что со вторым происходило до момента $t$ по его часам и то, что было с ним позже. Для второго наблюдателя нет никакой причины так делить свою историю, но с точки зрения первого история второго завершилась, когда часы второго показывали $t$. Это последнее событие из жизни второго удаляется для неподвижного наблюдателя в бесконечность по времени. Все события из жизни второго после момента $t$ по его часам для первого перестают существовать. Получается несколько странная ситуация: с точки зрения первого наблюдателя из черной дыры нельзя выбраться в том числе и потому, что в черную дыру сначала невозможно упасть. Событие, происходившее с падающим телом на горизонте, можно увидеть только через бесконечное время. И первый наблюдатель никогда до конца не может быть уверен, что второй действительно пересек горизонт, ведь он не видел этого события и никогда не увидит. Первый вычислил, что второй пересечет горизонт в момент $t$ по собственным часам, если будет падать свободно. Но действительно ли второй падал свободно? Вполне возможно, что он включил реактивные двигатели недалеко от горизонта, затормозил и выбрался обратно. Что с ним было на самом деле и пересек ли он горизонт, можно выяснить только через бесконечное время. Как внешнему наблюдателю понять, что падающее в черную дыру тело точно пересекло горизонт, и теперь его история этого тела для нас ограничена событием пересечения?
Расширение вселенной ведет к тому, что все больше астрономических объектов оказывается за горизонтом, но это не означает, что мы перестаем их наблюдать? Они не исчезают из поля зрения. Это означает лишь, что все наше оставшееся время мы будем наблюдать очень растянутую во времени историю жизни этих тел, последнее событие в которой - пересечение ими горизонта - мы увидим только через бесконечное время. Действительно ли горизонт - это разрыв, который нельзя пересечь в обе стороны?

[Munin]

В целом хорошее изложение.

sergey zhukov в сообщении #1394644 писал(а):

С точки зрения наблюдателя, неподвижного по отношению к черной дыре или, скажем, в поле реликтового излучения, горизонт в обоих случаях оказывается непроницаем в обе стороны. ... Действительно ли горизонт - это разрыв, который нельзя пересечь в обе стороны?

Разумеется, горизонт непроницаем только в одну сторону. По банальной причине: это светоподобная поверхность.
"Непроницаемость в другую сторону" - это ровно то, что видит наблюдатель (остающийся по одну сторону горизонта). Это его иллюзия.

[sergey zhukov]

И еще вот что мне интересно.

Область вне светового конуса является причинно не связанной с событием в его вершине. Можно ли говорить о том, что эта область просто не существует для наблюдателя в вершине конуса, поскольку он никак с этой областью не взаимодействует, т.е. не может ее наблюдать?
Плоскость, события в которой одновременны для любого наблюдателя, всегда лежит в области вне конуса. Можно ли сказать, что понятие плоскости одновременности не имеет смысла, т.к. такая плоскость всегда включает не наблюдаемые события?
Порядок следования событий из области вне конуса для разных наблюдателей может быть разным. Это не значит, что в этой области следствие можно увидеть раньше причины, а значит только, что события, которые можно увидеть и в том и в другом порядке во времени, не являются следствием и причиной, они никак не связаны. Значит ли это, что область вне конуса целиком состоит из причинно не связанных между собой событий или же это просто значит, что на плоскости одновременности любого наблюдателя всегда оказываются именно причинно не связанные между события собой из этой области?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1394654 писал(а):

Можно ли говорить о том, что эта область просто не существует для наблюдателя в вершине конуса, поскольку он никак с этой областью не взаимодействует, т.е. не может ее наблюдать?

Надо понимать, что наблюдатель не стоит в вершине, а постоянно движется по своей мировой линии. Его световой конус тоже движется, и световой конус прошлого "вбирает" в себя то, что раньше было вне него.

sergey zhukov в сообщении #1394654 писал(а):

Плоскость, события в которой одновременны для любого наблюдателя

Нету такой.

sergey zhukov в сообщении #1394654 писал(а):

Порядок следования событий из области вне конуса для разных наблюдателей может быть разным.

И из области внутри конуса - тоже может быть разным. У вас мешанина из разных вещей в голове. Перечитайте заново и преобразования Лоренца, и световые конусы.

sergey zhukov в сообщении #1394654 писал(а):

Значит ли это, что область вне конуса целиком состоит из причинно не связанных между собой событий

Нет, не между собой. А только с тем событием, которое в вершине конуса.

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #1394628 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1394611 писал(а):

Не ноль получится только если с разных сторон будет разная кривизна:

Прочтите лекции Э.Пуассона (параграф 3.7)...

Сингулярная часть тензора кривизны Римана взятая из книги Э. Пуассона:

$$ {A^{\alpha}}_{\beta \gamma \delta} = \varepsilon \left( \left[ {\Gamma^{\alpha}}_{\beta \delta} \right] n_{\gamma} - \left[ {\Gamma^{\alpha}}_{\beta \gamma} \right] n_{\delta} \right) \eqno(3.7.6) $$

равна нулю просто в силу того, что сами связности равны нулю ${\Gamma^{\alpha}}_{\beta \gamma} = 0$. У нас слева и справа пространство Минковского. В пространстве Минковского выбираем Декартовые координаты с нулевой связностью:

$$ g^{-}_{\alpha \beta, \gamma} = 0, \qquad g^{+}_{\alpha \beta, \gamma} = 0. $$

Что касается индуцированных трёхмерных метрик для поверхности $x(t) = \operatorname{const}$ движущейся налево $\frac{dx}{dt} < 0$ и для поверхности движущейся направо $\frac{dx}{dt} > 0$, то они в точности совпадают, так как зависят от квадрата производной $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2$:

$$ dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = \left( 1 - \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 \right) dt^2 - dy^2 - dz^2 $$

Кроче, ложки нет.

[Guvertod]

SergeyGubanov
А что следует из того, что метрика индуцируется одинаковая ? Все равно переход от заданных условием задачи координат к прямоугольным даст две несогласованные на границе карты. Вычисления делаются в всепокрывающей СК и приводят к существованию ТЭИ.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1394668 писал(а):

В пространстве Минковского выбираем Декартовые координаты с нулевой связностью:

Отлично, давайте с этого места.
1) Запишите перевод риндлеровских координат в декартовы слева и справа.
2) Запишите уравнение геодезической в ваших декартовых координатах в точке сшивки.
3) Сделайте из п. 2 вывод относительно $\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\gamma}$ в точке сшивки.