Пространство-время ОТО

[arseniiv]

wrest
Там, если так можно сказать, «плоскость, ускоряющаяся одновременно в обе стороны», но важно это только если мы рассматриваем оба полупространства. Если только одно, то мы взяли только одну область $D_1$ и ничего не мешает рассматривать её как множество событий, случающихся по одну сторону от этой равноускоренной плоскости в плоском пространстве-времени. Someone об этом кстати пишет к концу поста.

wrest в сообщении #1394388 писал(а):

то полёт тела брошенного под углом к плоскости, будет таким же точно как в вашем посте, на который вы сослались?

Можно заметить, что релятивистские поправки к траектории брошенного тела возникнут и для случая с равноускоренной плоскостью, потому что 3-ускорение, как известно, в этом случае непостоянно, и в ИСО, мгновенно сопутствующей некогда этой плоскости, оно будет всё меньше и меньше в моменты времени дальше от нулевого, и тело пролетит дальше, чем в нерелятивистском постоянном гравитационном поле, как и на графике Someone, если я правильно понял фокус вопроса.

[epros]

Geen в сообщении #1394396 писал(а):

Вот, кстати, ерунда у меня получается - нулевая плотность и отрицательное давление (хотя со знаком давления может быть напутал).

Плотность - правильно, нулевая. А вот давление всё же должно получиться положительным (в направлениях $y$ и $z$, естественно).

[wrest]

arseniiv в сообщении #1394397 писал(а):

Можно заметить, что релятивистские поправки к траектории брошенного тела возникнут и для случая с равноускоренной плоскостью, потому что 3-ускорение, как известно, в этом случае непостоянно, и в ИСО, мгновенно сопутствующей некогда этой плоскости, оно будет всё меньше и меньше в моменты времени дальше от нулевого, и тело пролетит дальше, чем в нерелятивистском постоянном гравитационном поле, как и на графике Someone, если я правильно понял фокус вопроса.

Супер! То есть принцип эквивалентности ("лифт Эйнштейна") остается в силе. В этом и был мой вопрос.

[Geen]

epros в сообщении #1394399 писал(а):

Geen в сообщении #1394396 писал(а):

Вот, кстати, ерунда у меня получается - нулевая плотность и отрицательное давление (хотя со знаком давления может быть напутал).

Плотность - правильно, нулевая. А вот давление всё же должно получиться положительным (в направлениях $y$ и $z$, естественно).

Вполне возможно. Несколько позднее буду аккуратно разбираться (а то я обнаружил, что у меня не было написано как выбирать направление вектора нормали).

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1394318 писал(а):

SergeyGubanov, да погодите вы немного! Дайте тугодумцам вроде меня шанс. Шанс дорешать задачу.

Да я бы вобще не понял в чём задача если б не спросил. Оказывается речь идёт о пространстве Минковского в котором ускоренно движется воображаемая, то есть нематериальная поверхность:

$$ x(t) = \frac{1}{a} \sqrt{1 + a^2 \, t^2} $$

У воображаемой (нематериальной) поверхности тензор энергии импульса нулевой. Тензор Римана везде нулевой.

Если б там двигалась (по такому закону) материальная поверхность (например, ускоряемая ракетными двигателями), то тензор энергии импульса был бы ненулевой, но тогда и тензор Римана тоже был бы ненулевой - не было бы пространства Минковского.

[arseniiv]

SergeyGubanov в сообщении #1394407 писал(а):

Оказывается речь идёт о пространстве Минковского в котором ускоренно движется воображаемая, то есть нематериальная поверхность

Ну не совсем просто, там два куска пространства Минковского склеиваются и результат уже не будет пространством Минковского в целом.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #1394407 писал(а):

Оказывается речь идёт о пространстве Минковского в котором ускоренно движется воображаемая, то есть нематериальная поверхность

Интересно, в какую сторону она так ускоряется, что тела ускоренно падают на неё с обеих сторон?

[Guvertod]

SergeyGubanov
В электростатике однородное во всем пространстве поле не подразумевает никаких зарядов (или "сингулярностей"), а вот если взять одну часть с одним полем и другую часть с противоположным, то на их границе будет заряженная пластина. Тут нечто подобное, можно сказать.

[schekn]

Geen в сообщении #1394396 писал(а):

от, кстати, ерунда у меня получается - нулевая плотность и отрицательное давление (хотя со знаком давления может быть напутал).

7 лет назад я получил похожее с точностью до знака. То есть чушь полная в качестве ТЭИ, но местные теоретики сказали, что все нормально. Ну что тут сказать...

[SergeyGubanov]

Guvertod в сообщении #1394441 писал(а):

SergeyGubanov
В электростатике однородное во всем пространстве поле не подразумевает никаких зарядов (или "сингулярностей"), а вот если взять одну часть с одним полем и другую часть с противоположным, то на их границе будет заряженная пластина. Тут нечто подобное, можно сказать.

В первом примере есть ненулевая напряжённость электромагнитного поля $F_{\mu \nu} \ne 0$, $T_{\mu \nu} \ne 0$. А во втором примере напряжённость гравитационного поля нулевая $R_{\mu \nu \alpha \beta} = 0$, $G_{\mu \nu} = 0$. Первый случай, так сказать, объективен. А второй случай построен на игре воображения. Доведём его до абсурда, не будем себя ограничивать воображаемой поверхностью вида:

$$ x(t) = \frac{1}{a} \sqrt{1 + a^2 t^2} $$

давайте возьмём что-нибудь повеселее, например, вот такую воображаемую поверхность:

$$ x(t) = x_0 + A \, \sin(\omega t) $$

Ой, смотрите , мы же "построили" удивительнейшее решение уравнений ОТО в котором гравитирующая плоскость обладает таким удивительным гравитационным полем, что пробные частицы над ней дёргаются туда-сюда с частотой $\omega$!!! А какой, интересно , у этого гравитационного поля удивительный псевдо тензор энергии импульса?

Вобщем, боюсь показаться слишком "ортодоксальным", но вроде единственно правильный способ решения всех подобных задач следующий. Сначала надо написать Лагранжиан материи из которой состоит эта самая поверхность. Затем из принципа экстремального действия вывести совместную систему уравнений движения этой самой материи и гравитационного поля. Далее найти частное решение полученной системы уравнений.

[warlock66613]

Итак, я продвигаюсь. На данный момент я достиг следующего. Если действовать впрямую, символы кристоффеля $\Gamma^0_{01}=\Gamma^0_{10}$ оказываются сингулярными ($|x|^{-1}$). Поэтому нужна какая-то регуляризация. Кажется разумным взять регуляризованную метрику в виде

$$g_{00} = (x - o_+)^2 \Theta(x) - (x + o_-)^2 \Theta(-x).$$

Здесь $\Theta(x)$ - это функция Хевисайда (обозначение из предложенной Geen книги), а $o_\pm$ - бесконечно малые положительные (? см. далее) константы. Дальше надо проверять условия согласования - они должны дать связь между $o_+$ и $o_-$. Навскидку кажется, что одно из них должно быть чисто мнимым, что плохо вяжется с положительностью, но может я ошибаюсь - ещё не проверял.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1394492 писал(а):

Итак, я продвигаюсь. На данный момент я достиг следующего. Если действовать впрямую, символы кристоффеля $\Gamma^0_{01}=\Gamma^0_{10}$ оказываются сингулярными ($|x|^{-1}$).

Где-то ошиблись. Там у метрики - излом, у символов Кристоффеля -разрыв первого рода, у тензора кривизны и ТЭИ - сингулярность.

Может Вы забыли, что метрика Риндлера - сдвинутая, таким образом, чтобы в $x=0$ было ускорение свободного падения $g$? Может быть у Вас там оказался горизонт?

[warlock66613]

epros в сообщении #1394496 писал(а):

Может быть у Вас там оказался горизонт?

Точно.

[realeugene]

Geen в сообщении #1394197 писал(а):

Eric Poisson. An advanced course in general relativity.
параграф 3.7

Спасибо, да, это аргумент, что обощённые функции в качестве решения для тонкого слоя корректно применимы в этой задаче.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1394407 писал(а):

Да я бы вобще не понял в чём задача если б не спросил. Оказывается речь идёт о пространстве Минковского в котором ускоренно движется воображаемая, то есть нематериальная поверхность:

$$x(t) = \frac{1}{a} \sqrt{1 + a^2 \, t^2}$$

Вы забыли условие, что по другую сторону поверхности ускорение свободно падающих частиц направлено тоже к ней, а не от неё.