Пространство-время ОТО

[Munin]

epros в сообщении #1393276 писал(а):

Ключевой вопрос: Преобразуется ли "первая координата" при преобразовании координат?

Это не вопрос. Это намеренное запутывание. А поскольку это происходит в разделе "Помогите решить / разобраться (Ф)" - то это ещё и вредительство.

Как вам тут указали, когда происходит, например, преобразование координат $(x,y)\to(r,\varphi),$ то ни у кого вопросов не возникает, что такое функции $x,y,r,\varphi.$ И вполне корректно говорить об их градиентах как 1-формах.

epros в сообщении #1393353 писал(а):

Это Ваша обязанность - выражаться так, чтобы Вас по-возможности правильно поняли.

Так все здесь друг друга понимают. Кроме вас.

[realeugene]

epros в сообщении #1393353 писал(а):

Ещё как полезен. Он позволяет сразу выбрать конкретную координату из списка при любом выборе системы координат.

Гы. Выбирайте: $(x^0, x^1, x^2, x^3)$.

[epros]

Munin в сообщении #1393356 писал(а):

epros в сообщении #1393276 писал(а):

Ключевой вопрос: Преобразуется ли "первая координата" при преобразовании координат?

Это не вопрос. Это намеренное запутывание. А поскольку это происходит в разделе "Помогите решить / разобраться (Ф)" - то это ещё и вредительство.

Как вам тут указали, когда происходит, например, преобразование координат $(x,y)\to(r,\varphi),$ то ни у кого вопросов не возникает, что такое функции $x,y,r,\varphi.$ И вполне корректно говорить об их градиента как 1-формах.

Один из демагогических приёмов - подмена обсуждаемых понятий. sergey zhukov писал о "градиенте координаты", а не о градиенте какой-то конкретной заданной функции. По-моим понятиям, "градиент координаты" - это всегда $(0, \ldots, 1, \ldots, 0)$. Говорить о том, что эта штука преобразуется как ковектор - неправомерно.

То, что мы должны зафиксировать конкретную координату как скалярную функцию, необходимо оговаривать отдельно. Попытка выдать это за вещь саму собой разумеющуюся, как раз и является настоящим вредительством в ПРР.

[Munin]

epros в сообщении #1393373 писал(а):

Один из демагогических приёмов - подмена обсуждаемых понятий.

Угу. Вы его демонстрируете в полной мере.

epros в сообщении #1393373 писал(а):

По-моим понятиям, "градиент координаты" - это всегда $(0, \ldots, 1, \ldots, 0)$.

Это, конечно, неверно. $(0, \ldots, 1, \ldots, 0)$ с единицей на $i$-м месте - это градиент координаты $x^i,$ записанный в базисе $(e_i).$ Ну или что то же самое, $(\tfrac{\partial }{\partial x^i}).$

epros в сообщении #1393373 писал(а):

То, что мы должны зафиксировать конкретную координату как скалярную функцию, необходимо оговаривать отдельно. Попытка выдать это за вещь саму собой разумеющуюся

Для начинающих (как вы или ТС) это, конечно, надо оговаривать. Хотя обычно это само собой разумеется, в чём легко убедиться, заглянув в учебники.

[realeugene]

epros в сообщении #1393373 писал(а):

По-моим понятиям, "градиент координаты" - это всегда $(0, \ldots, 1, \ldots, 0)$.

$\partial r / \partial x = ?$
$\nabla_{x,y}r=?$

[epros]

Munin в сообщении #1393386 писал(а):

Это, конечно, неверно. $(0, \ldots, 1, \ldots, 0)$ с единицей на $i$-м месте - это градиент координаты $x^i,$ записанный в базисе $(e_i).$ Ну или что то же самое, $(\tfrac{\partial }{\partial x^i}).$

И это только подтверждает, что это верно, поскольку никаких других координат не существует. В частности, в системе координат $(r, \varphi)$ нет никаких координат $x$ или $y$.

Вы, конечно, вправе говорить о градиенте функции $x$. Но если Вы хотите именовать её "координатой", то необходимо оговаривать, что она относится к другой СК.

Munin в сообщении #1393386 писал(а):

Хотя обычно это само собой разумеется, в чём легко убедиться, заглянув в учебники.

Вот не надо посылать меня в учебники, заведомо зная, что таких вещей там нет и быть не может. Ибо координата становится скалярной функцией только после того, как она определена в качестве таковой. Никакого закона её преобразования в другую СК "по умолчанию" не существует.

[realeugene]

epros в сообщении #1393399 писал(а):

Ибо координата становится скалярной функцией только после того, как она определена в качестве таковой.

Вы знаете иное определение координаты? Не через скалярную функцию, заданную на области?

[epros]

realeugene в сообщении #1393404 писал(а):

Вы знаете иное определение координаты? Не через скалярную функцию, заданную на области?

Я знаю, что если закон преобразования величины не был определён, то она и не преобразуется. Т.е. функция $x$ не определена в координатах $(r, \varphi)$ пока мы явно не скажем, что она - скаляр.

[realeugene]

epros в сообщении #1393406 писал(а):

Т.е. функция $x$ не определена в координатах $(r, \varphi)$ пока мы явно не скажем, что она - скаляр.

Она - функция от точки многообразия и определена для области, покрываемой своей картой, по определению.

[Guvertod]

Господа, если уж говорить формально, то приведите какое-нибудь определение криволинейной СК на многообразии из учебника по дифгему.

Ну и градиента.

[realeugene]

Мищенко, Фоменко. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М., Физматлит, 2004, стр. 9
Функции $x^1(P),\ldots,x^n(P)$ будем называть координатами точки $P$ относительно координатного отображения $f:C\to A$.
Это ещё не на многообразии, но уже функциии.

[epros]

realeugene в сообщении #1393407 писал(а):

Она - функция от точки многообразия и определена для области, покрываемой своей картой, по определению.

Она, конечно, функция от точки многообразия. Но пока мы не отождествим эту точку с точкой, описываемой другими координатами, мы не сможем убедиться в том, что эта функция имеет какой-то смысл и в этих координатах.

[Munin]

epros в сообщении #1393411 писал(а):

Но пока мы не отождествим эту точку с точкой, описываемой другими координатами

То есть, с самой собой. Невероятно сложно. Необходимо всегда явно проговаривать.

[Guvertod]

epros
Есть 2 набора функций, имеющих значения в данной точке. Требуется дополнительно сказать, что это одна и та же точка?

[Geen]

realeugene в сообщении #1393407 писал(а):

Она - функция от точки многообразия и определена для области, покрываемой своей картой, по определению.

Строго говоря - нет. Задан гомеоморфизм в область в $R^n$ (как часть карты). И для получения нужной функции нужно эту область в $R^n$ как-то спроецировать. И из композиции потом и получить "функцию на точках многообразия".
А другие "координаты" это другая карта, в которой гомеоморфизм, вообще говоря, в совсем другое $R^n$ - а там вообще ничто никуда не проецируется.