Пространство-время ОТО

[wrest]

warlock66613 в сообщении #1393077 писал(а):

epros в сообщении #1393071

писал(а):
Попробую ответить проще, чем arseniiv. Попробую ответить ещё проще.

Попробую ответить ещё проще.
Ковариантный -- это тот который увеличивается вместе с увеличением масштаба базиса. Контравариантный - наоборот.
Например, как известно, удав имеет длину 38 в попугайном базисе, длину 5 в базисе мартышек и длину 2 в базисе слонят. При переходе из попугаев к мартышкам, длина удава выраженная в мартышках уменьшается, хотя масштаб координат (длина новых базисных векторов - мартышек) увеличивается (мартышка больше, длиннее попугая). Это контравариантный случай.
Теперь представим, что температура удава например линейно увеличивается от хвоста к голове, и придумаем величину, которую назовем "скорость роста температуры удава" -- производную температуры удава вдоль удава. В этом случае, на длине удава в одну мартышку, температура удава изменится больше, чем на длине удава в одного попугая. Соответственно, скорость роста температуры удава - ковариантный случай, когда при росте масштаба координат (базиса) растет и величина.

[epros]

Munin в сообщении #1393115 писал(а):

epros в сообщении #1393111 писал(а):

Нельзя превратить вектор (направленный отрезок) в ковектор посредством альтернативного способа определения его координат.

Чего нельзя, того нельзя, и того warlock66613 и не делает. Вы вновь блистаете умением читать не то, что написано, а то, что возникает у вас в голове.

Увы, там на картинках и в тексте я вижу именно два способа определения координат, один из которых - альтернативный. И я не понимаю, как Вы увидели что-то другое.

Munin в сообщении #1393115 писал(а):

Разумеется, на чертеже warlock66613 и скалярное произведение есть, и ортогональность есть, и проектирование есть, и метрика есть. И в этом случае вектор и ковектор - не два разных объекта, а один и тот же объект, поскольку задан изоморфизм.

Может быть изоморфизм где-то в природе и есть, но только не на этих картинках, где вектор изображён направленным отрезком. Хотелось бы мне посмотреть, каким образом вычисление координат конца направленного отрезка посредством ортогональных проекций на оси заставит эти координаты увеличиваться при укрупнении масштаба (как у ковектора)

[Munin]

epros в сообщении #1393130 писал(а):

И я не понимаю, как Вы увидели что-то другое.

Ну не понимаете и не понимаете. Это с вами часто бывает.

epros в сообщении #1393130 писал(а):

Может быть изоморфизм где-то в природе и есть, но только не на этих картинках

И на этих есть. Для того, чтобы показать, что это плоскость со стандартной евклидовой метрикой, рисунки нарисованы "на клетчатой бумаге".

[epros]

Munin в сообщении #1393161 писал(а):

epros в сообщении #1393130 писал(а):

И я не понимаю, как Вы увидели что-то другое.

Ну не понимаете и не понимаете. Это с вами часто бывает.

Собственно, конструктивного ответа я и не ожидал.

Munin в сообщении #1393161 писал(а):

epros в сообщении #1393130 писал(а):

Может быть изоморфизм где-то в природе и есть, но только не на этих картинках

И на этих есть. Для того, чтобы показать, что это плоскость со стандартной евклидовой метрикой, рисунки нарисованы "на клетчатой бумаге".

То, что там имеется метрическое пространство, не вызывает сомнений. Проблема в том, что ортогональное проектирование вектора $a^i$ на оси вовсе не породит компонент $a_i = g_{i j} a^j$ - соответствующего ковектора.

[sergey zhukov]

Может быть, дело обстоит так?



О метрике точечной массы:

Координаты конечно сферические. Точечная масса на мой взгляд тождественна сингулярности, т.к. никаких других точечных масс в ОТО нет, как я понимаю. Наблюдатель тут введен для того, что я пока не понимаю, как смотреть на ситуацию и описывать ее как-то иначе. Взгляд из бесконечности - это мне как-то понятнее. Я еще не умею правильно определять понятие "расстояние", поэтому привел тут пример того, как я это понимаю: $l/2\pi$. Конечно, это окружность, обмер которой происходит с малой скоростью.

Да, расстояние - это не $r$. Это

$$\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}$$

Запись уравнения метрики в виде

$$dt^2_\infty=\frac{dt^2_0}{1-\frac{r_s}{r}}+\frac{dr^2}{(1-\frac{r_s}{r})^2}$$

сделана потому, что так я понимаю СТО. В классической механике если мои часы переместились на секунду во времени, то и все остальные часы вокруг меня переместились на секунду во времени. Их перемещение в пространстве при этом может быть произвольным. Правило такое: все перемещаются одинаково во времени, а перемещение в пространстве совершено отдельно, с перемещением во времени не связано и может быть любым. В СТО другое правило - все перемещаются одинаково не во времени, а в пространстве-времени. Каждый наблюдатель с собственной точки зрения не имеет никакого перемещения в пространстве, все его пространственно-временное перемещение всегда чисто временное. А сторонние часы имеют относительно него перемещение еще и в пространстве, поэтому их пространственно-временное перемещение будет смешанным. Следовательно, для любого наблюдателя квадрат его перемещения во времени равен сумме квадратов перемещения сторонних часов в пространстве и во времени.

Уравнение Эйлера-Лагранжа, да. Это я в общем и имел в виду под максимизацией dt. Просто на мой взгляд численное решение этого уравнения последовательно точка за точкой сводится к выбору угла следующего шага $dr$ по отношению к предыдущему такого, чтобы за два этих шага потратить на путь в сумме максимальное время. Так что это все равно в некотором роде максимизация $dt$, т.е. локальная максимизация каждого временного шага.

У меня есть пара вопросов:

Можно ли считать, что пробная частица очень малой массы в сравнении с сингулярностью движется примерно по геодезическим в невозмущенной метрике Шварцшильда? Допускается и не учитывать вклад в метрику собственной массы пробной частицы и сходит ли ошибка к нулю при устремлении это массы к нулю?

Движется ли свет точно вдоль геодезических линий точной метрики Шварцшильда, или существует какой-то вклад его собственной энергии в искривление пространства-времени, в котором он распространяется?

[epros]

"Градиент координаты" это что? Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции.

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

В СТО другое правило - все перемещаются одинаково не во времени, а в пространстве-времени.

Это как?

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

Следовательно, для любого наблюдателя квадрат его перемещения во времени равен сумме квадратов перемещения сторонних часов в пространстве и во времени.

Не понял, это откуда?

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

Можно ли считать, что пробная частица очень малой массы в сравнении с сингулярностью движется примерно по геодезическим в невозмущенной метрике Шварцшильда?

Малая сферически симметричная - да.

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

Движется ли свет точно вдоль геодезических линий точной метрики Шварцшильда, или существует какой-то вклад его собственной энергии в искривление пространства-времени, в котором он распространяется?

Вклад есть, но при малых плотностях энергии он пренебрежим. Но дело не только в этом. Даже свет малой интенсивности может двигаться не совсем по геодезической из-за наличии у него круговой поляризации (т.е. момента импульса). Впрочем, вряд ли Вам эти тонкости сейчас нужны.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

Точечная масса на мой взгляд тождественна сингулярности

Ваш взгляд ошибочен.

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

сделана потому, что так я понимаю СТО.

Это просто значит, что вы её не понимаете.

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

В СТО другое правило - все перемещаются одинаково не во времени, а в пространстве-времени... Следовательно, для любого наблюдателя квадрат его перемещения во времени равен сумме квадратов перемещения сторонних часов в пространстве и во времени.

Это чушь собачья.

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

Уравнение Эйлера-Лагранжа, да. Это я в общем и имел в виду под максимизацией dt.

Запишите это уравнение, чтобы понять, что это не максимизация $dt$ ни в коем случае.

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

Можно ли считать, что пробная частица очень малой массы в сравнении с сингулярностью движется примерно по геодезическим в невозмущенной метрике Шварцшильда?

Нужно, по определению пробной частицы. И не примерно, а точно.

sergey zhukov в сообщении #1393222 писал(а):

Движется ли свет точно вдоль геодезических линий точной метрики Шварцшильда, или существует какой-то вклад его собственной энергии в искривление пространства-времени, в котором он распространяется?

Вклад, конечно, существует. Однако для света любых вообразимых плотностей этот вклад пренебрежимо мал.

Упражнение: посчитать энергию света, падающего на Землю от Солнца за сутки, и перевести в килограммы.

-- 16.05.2019 00:12:47 --

epros в сообщении #1393243 писал(а):

"Градиент координаты" это что? Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции.

Вы, наверное, не в курсе. Координаты являются скалярными функциями.

[arseniiv]

Да, градиент, а лучше дифференциал, координаты $x^i$ — это вот то самое $dx^i$, из них получается базис, по которому раскладываются обычно другие 1-формы.

warlock66613 в сообщении #1393077 писал(а):

Попробую ответить ещё проще.

Надо тогда объединить оба предложения: 1-формы прекрасно изображаются графически (надо взять две гиперплоскости уровня, например 0 и 1, и нарисовать их; после этого сложение таких «упорядоченных пар гиперплоскостей» и умножение их на скаляр определяются аналогично стрелочкам для векторов, только разве что вместо сложения красивее изображается рисунок ситуации $a + b + c = 0$. Нулевая форма, правда, неизобразима как надо, но в этом она опять же делит свойства с изображением нулевого вектора точкой. Применение формы к вектору — это просто откладывание той единичной «линейки» по нему (сколько влезет, столько и будет). И различие в изображениях уже даст увидеть разницу преобразований, хотя бы даже на примере умножения на скаляр — когда стрелочки растягиваются, пары плоскостей сжимаются.

[epros]

Munin в сообщении #1393244 писал(а):

Вы, наверное, не в курсе. Координаты являются скалярными функциями.

В одном смысле. А в другом - не являются.

И различия как раз хорошо демонстрируются на примере того, как преобразуется такая штука, как "градиент первой координаты", скажем, при преобразовании масштаба: $(x',y',z')=2 \times (x,y,z)$.

Ключевой вопрос: Преобразуется ли "первая координата" при преобразовании координат? И мне интересно, sergey zhukov подобрал такой неоднозначный пример случайно или намеренно?

[realeugene]

epros в сообщении #1393276 писал(а):

Преобразуется ли "первая координата" при преобразовании координат?

Первая исходная или первая конечная?

[epros]

realeugene в сообщении #1393331 писал(а):

epros в сообщении #1393276 писал(а):

Преобразуется ли "первая координата" при преобразовании координат?

Первая исходная или первая конечная?

Так в том и вопрос, что это не определено.

"Равно ли некое число двум?" Поскольку "некое число" не определено, я не знаю ответа. Точно так же никто не определил, является ли "первая кордината" заданной скалярной функцией точек пространства или это произвольная функция, выбираемая в зависимости от выбора системы координат.

[realeugene]

epros в сообщении #1393334 писал(а):

Точно так же никто не определил, является ли "первая кордината" заданной скалярной функцией точек пространства или это произвольная функция, выбираемая в зависимости от выбора системы координат.

Так не существует просто "первой координаты". Существует первая координата в списке координат определённого базиса.

[epros]

realeugene в сообщении #1393336 писал(а):

Так не существует просто "первой координаты". Существует первая координата в списке координат определённого базиса.

"Существует" ровно то, что определено. Причём определение может подразумевать конкретный объект или некий обобщённый класс объектов. Когда мы говорим "натуральное число", то можем иметь в виду конкретное число (которое называли ранее) или класс чисел (т.е. любое натуральное число).

Точно так же, когда мы говорим "первая координата", то можем иметь в виду конкретную функцию (для заданной системы координат) или класс функций (т.е. функция определяется выбором системы координат).

[realeugene]

epros в сообщении #1393345 писал(а):

Когда мы говорим "натуральное число", то можем иметь в виду конкретное число (которое называли ранее) или класс чисел (т.е. любое натуральное число).

Не, на самом деле, в первом случае мы говорим "число натуральное", а не "натуральное число".

epros в сообщении #1393345 писал(а):

Точно так же, когда мы говорим "первая координата", то можем иметь в виду конкретную функцию (для заданной системы координат) или класс функций (т.е. функция определяется выбором системы координат).

Нет, подобный класс функций мы иметь в виду не можем. Потому что подобный предикат без указания базиса бесполезен. Предикат "первая" означает позицию в списке в записи координат определённого базиса, и ничего более. По определению, базисные вектора и координаты для любого базиса пронумерованы последовательными натуральными либо целыми неотрицательными числами. Вот первая координата в этом списке и есть "первая координата".

Теперь, вопрос на засыпку. Пусть, у нас преобразование координат плоскости описыватся уравнением $(y',x')=(x,y)$. Какая штрихованная коордитната "первая"?

[epros]

realeugene в сообщении #1393350 писал(а):

epros в сообщении #1393345 писал(а):

Когда мы говорим "натуральное число", то можем иметь в виду конкретное число (которое называли ранее) или класс чисел (т.е. любое натуральное число).

Не, на самом деле, в первом случае мы говорим "число натуральное", а не "натуральное число".

realeugene в сообщении #1393350 писал(а):

epros в сообщении #1393345 писал(а):

Точно так же, когда мы говорим "первая координата", то можем иметь в виду конкретную функцию (для заданной системы координат) или класс функций (т.е. функция определяется выбором системы координат).

Нет, подобный класс функций мы иметь в виду не можем. Потому что подобный предикат без указания базиса бесполезен.

Ещё как полезен. Он позволяет сразу выбрать конкретную координату из списка при любом выборе системы координат.

realeugene в сообщении #1393350 писал(а):

Предикат "первая" означает позицию в списке в записи координат определённого базиса, и ничего более.

Вот именно.

realeugene в сообщении #1393350 писал(а):

Теперь, вопрос на засыпку. Пусть, у нас преобразование координат плоскости описыватся уравнением $(y',x')=(x,y)$. Какая штрихованная коордитната "первая"?

Это Ваша обязанность - выражаться так, чтобы Вас по-возможности правильно поняли. Я бы принял за "первую" ту координату, которая была упомянута первой. Если Вы подразумевали иное, значит неудачно выразились.