что такое минор матрицы. Физический смысл

[svv]

(Оффтоп)

Вот, присмотрел себе неплохой минорчик.

[gevaraweb]

По идее, минор - это антоним к слову мажор. Мажор матрицы - определитель, полученный добавлением строк (столбцов к матрице). Только не помню, какие можно добавлять.

[Igrickiy(senior)]

gevaraweb в сообщении #1385263 писал(а):

Только не помню, какие можно добавлять.

Не сочтите за оффтоп!
По секрету: желательно из большой терции.

[vpb]

iifat в сообщении #1385019 писал(а):

Дык, наверное, у вас есть секретный пример такого определения?

Есть, конечно. Скажем, определение умножения матриц. Можно, конечно, определять чисто формально, а можно и со смыслом: произведение матриц, соответствующих двум линейным отображениям, есть матрица их композиции. Отсюда тотчас формула для произведения. А минор в этом смысле дальше от того, что можно непосредственно представить (самый простой способ представить его себе геометрически --- тот, про который svv писал, имхо). То есть тут лучше его считать чем-то чисто формальным. Но в общем, что такое "сермяжный смысл", это тоже вопрос мнения.

[nya]

Slav-27 всё уже написал максимально геометрично, если $B$ положительна, то все $Gr_n$ положительны так как это квадраты объемов параллелепипедов вычисленных относительно $B$. Наоборот вам нужна следующая очень простая лемма $B(w,w)>0 \wedge B(v,v) < 0 \to B(ort_w v, ort_w v) < 0$ где $ort_w v = v - wB(v,w)/B(w,w)$. Пусть критерий Сильвестра доказан для $dim \leq n-1$, положим $dim V = n$ и $W = span \{e_1,...,e_{n-1}\}$ предположим так же что $Gr_1, ..., Gr_{n-1}, Gr_n > 0$ и что у нас есть некоторый $v : B(v,v) < 0$, тогда по критеию Сильвестра для $dim = n-1$ имеем $ v \notin W$. Утверждается что $e_1,...,e_{n-1},v$ имеет отрицательный квадрат объема, действительно, проекция $w:=pr_W v$ имеет положительный квадрат (так как критерий Сильвестра $Gr_1, ..., Gr_{n-1} > 0 \leftrightarrow \forall w \in W B(w,w)>0)$ поэтому по лемме имеем $B(ort_w v, ort_w v) = B(ort_W v, ort_W v) < 0$ и так как $Gr_n(e_1,...,e_{n-1},v) = Gr_n(e_1,...,e_{n-1}) B(ort_W v, ort_W v)$ то и $Gr_n(e_1,...,e_{n-1},v) < 0$. Однако так как $Gr_n$ при смене базиса умножается на положительное число то и $Gr_n(e_1,...,e_n)=Gr_n<0$, противоречие. Более общую форму со сменами знаков расписывать лень, всё ровно точно такое же.

[bazelboday]

Всем большое спасибо за ответы, извините что не сразу написал! Основной ваш посыл понял, что миноры возникают скорее как следствие, или некоторый объект, введенный для удобства, и по видимому, в доказательстве Сильвестра нужно обращать внимание на совсем другие вещи.

[vpb]

Имхо, очень хорошее (разве что излишне лаконичное, как всё у Винберга) доказательство критерия Сильвестра есть в учебнике Винберга, издание 2011 г, гл.5, параграф 4, стр.214--216 особенно.

[Walker_XXI]

Ну и ещё пара слов про [физический] смысл математических объектов.

Физический (или какой-то иной прикладной) смысл математические объекты и формулы приобретают только в применении к решению конкретной физической (или иной) задачи. Да, многие математические понятия возникли в процессе моделирования конкретных явлений, и в рамках этих моделей имеют чёткий "глубинный (а также сермяжный, посконный, домотканый и кондовый)" смысл. Но iifat совершенно прав в том, что чистая математика абстрагируется от этих конкретных задач и смыслов, и изучает объекты сами по себе. Причём в процессе этого изучения чисто формально вводятся новые объекты, которые в рамках исходной модели (прикладной задачи) могут вообще не иметь никакого очевидного смысла. Но, действительно, порой отсылка к конкретным прикладным задачам существенно облегчает принятие и понимание математических абстракций.

(Оффтоп)

Однако в своём абстрагировании iifat заходит слишком далеко, отказывая физике в праве придавать смысл величинам, которыми она оперирует:

iifat в сообщении #1385034 писал(а):

Скорость — вполне себе определённое физическое понятие. Та скорость, о которой вы говорите ниже есть нечто, имхо, совершенно нефизическое, так что такой «физический смысл» только мешает пониманию как физики, так и математики, не?

Не. Во-первых, в физике есть не только скорость движения материальной точки, но и много других скоростей - фактически любая производная по времени от какой-либо физической величины, если она возникает в осмысленной физической формуле. Во-вторых, как писал выше, отсылка к прикладным задачам часто облегчает понимание.

[iifat]

(Оффтоп)

Walker_XXI в сообщении #1386748 писал(а):

в физике есть не только скорость движения материальной точки, но и много других скоростей

«Не могу пройти молчанием»: наверняка в физике, которую я не слишком хорошо знаю, есть немало различных скоростей. И каждая из них, разумеется, есть производная от чего-то по времени (а может, и не только по времени). Но я-то отвечал на идею ввести некую философскую «скорость вообще»! Вот же ж оно, посмотрите:

Mikhail_K в сообщении #1385020 писал(а):

Производная любой величины по времени - мгновенная скорость изменения этой величины

Walker_XXI в сообщении #1386748 писал(а):

отказывая физике в праве придавать смысл величинам, которыми она оперирует

А, кстати говоря, физика оперирует производной? Не путайте только, пожалуйста, со скоростью, которая, кстати говоря, как понимаю, определяется в физике отнюдь не как производная, а как предел отношения пройденного пути ко времени при стремлении времени к нулю. Таки да, математики назвали это производной, но это не имеет отношения к физическому смыслу сей последней.
И напоследок: а как по вашему, формула $E=mc^2$, как бы к ней ни относиться, выражает физический смысл квадрата? Или числа $2$?

[Munin]

iifat в сообщении #1386761 писал(а):

А, кстати говоря, физика оперирует производной?

А что такое "оперирует"?

iifat в сообщении #1386761 писал(а):

Не путайте только, пожалуйста, со скоростью, которая, кстати говоря, как понимаю, определяется в физике отнюдь не как производная, а как предел отношения пройденного пути ко времени при стремлении времени к нулю.

Вот тут возникает проблема.

Это производная от пути по времени - есть предел отношения пути ко времени, при стремлении времени к нулю.

А вот что такое скорость в физике - вопрос более сложный. Если мы принимаем все условности, подразумеваемые теорией "классическая механика", то скорость - будет в точности производной пути по времени. (Точнее, есть ещё векторная скорость, средние скорости и т. д.) Но если мы говорим за рамками этих условностей (а в физике это часто требуется) - то понятие скорости может вообще исчезнуть.

Прошу, не надо путаницы между этими тремя понятиями, какую вы изложили.

[iifat]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1386766 писал(а):

А что такое "оперирует"?

Хороший вопрос. Но я-то цитирую

Walker_XXI в сообщении #1386748 писал(а):

которыми она оперирует

Munin в сообщении #1386766 писал(а):

Если мы принимаем все условности, подразумеваемые теорией "классическая механика"

Да. Забыл уточнить насчёт классической (а то и школьной, пока не не напомнили про обобщённую скорость) механики.

Munin в сообщении #1386766 писал(а):

Прошу, не надо путаницы

Ладно. прекращаю дозволенные речи

[Munin]

Walker_XXI слово "оперирует" применял к величинам. Тут всё ясно: величинами физика оперирует. А что значит слово "оперирует" в сочетании "физика оперирует производной"? Например:
- оперирует величиной, которая является производной;
- вычисляет производные от каких-то величин;
- даёт определение производной;
- что-то ещё?
Проясните, пожалуйста.

[arseniiv]

Мне кажется, ещё люди иногда пишут «физический смысл» вместо просто «смысл», ну и конкретнее обычно вещи, определяющиеся через какие-нибудь координаты или подобным образом, но не зависящие от них, можно определить изначально без этого (и необходимости произвольно выбирать базис/систему координат, если мы о координатах). Увидеть такие инвариантные определения — совершенно естественное желание, вот только проблема в том, что их бывает труднее изложить (надо будет вводить ещё какие-то определения) — и примеры потом всё равно понадобятся, чтобы всё уложить в голову.

Кстати это может дать впечатление, что определения, зависящие от координат, образовательно лучше, но на мой взгляд это не так: хотя их может быть быстрее изложить, что-то такое глубинное в понимании не появится, пока человек в каком-то смысле не переоткроет инвариантные определения, притом сворее всего велосипедно.

-- Вт апр 09, 2019 22:59:21 --

(Иначе говоря, эквивалентные определения с человеческой точки зрения неэквивалентны. Правда, в таком виде это грубо очевидно. Но это значит, что нельзя сказать «есть определение — от него и пляши, а всё остальное не математика». То есть идеальный бесконечно умный и быстрый математик-то, разумеется, сам выведет все эквивалентные определения, следствия, примеры и вообще всю теорию, действительно из любого сколь угодно нечеловечески изложенного определения, но реальный? Не.)

-- Вт апр 09, 2019 23:01:59 --

(На всякий случай, это не противопоставляется «shut up and calculate» из физики. Можно видеть, что эти две вещи немного о разных условиях.)

[Munin]

arseniiv в сообщении #1386811 писал(а):

Мне кажется, ещё люди иногда пишут «физический смысл» вместо просто «смысл»

+1. Словосочетание "физический смысл" заучивается прочно, хотя его смысл - часто, увы, нет.

(Под "физическим смыслом" в школе обычно понимается физическая интерпретация тех ответов или промежуточных уравнений, которые получаются при математических выкладках в физических задачах. Ещё иногда встречается "геометрический смысл", например, "геометрический смысл производной и интеграла".)

[iifat]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1386792 писал(а):

Проясните, пожалуйста

Ну ежли вы настаиваете...

iifat в сообщении #1385010 писал(а):

никакого физического смысла производная не несёт

Walker_XXI в сообщении #1386748 писал(а):

Однако в своём абстрагировании iifat заходит слишком далеко, отказывая физике в праве придавать смысл величинам, которыми она оперирует

iifat в сообщении #1386761 писал(а):

А, кстати говоря, физика оперирует производной?

Повторюсь: я ничего не говорил про то, чем физика оперирует. Слово употребил Walker_XXI. И таки да, всё это случилось тут, на двух страничках. Это намёк