2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 10:55 


08/05/14
7
Добрый день, столкнулся с тем, что определение минора матрицы в интернете и учебниках дается без объяснения его смысла. Мол берете матрицу, вычеркиваете столбцы и ряды и, вуаля, вы получите минор. Может я просто плохо соображаю, но есть ли литература, где подробно дается информация, что это за понятие и как оно взялось. Находил курс на mit от Гильберта Стренга, но он так же не дает объяснения, только приводит определение. Я хотел бы разобраться в этом вопросе, т.к. без понимания что такое минор я не могу разобраться в доказательстве критерия Сильвестра. Заранее большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 11:44 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Вам кажется. В математических определениях вообще нет никакого глубинного (а также сермяжного, посконного, домотканого и кондового) смысла. Они вводятся исключительно для удобства дальнейшего изложения и ни для чего боле. Аналогично и с физическим смыслом. Производная, к примеру, — она и есть производная. Часто говорят, что физический её смысл — скорость, но и это, по-моему, неверно. Скорость есть производная радиус-вектора, да. Но никакого физического смысла производная не несёт. Хотя и применяется в физике весьма широко.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Минор матрицы — это любой определитель, который можно получить из матрицы, вычёркивая из неё некоторое количество строк и столбцов ($\geqslant 0$) так, чтобы оставшаяся матрица была квадратной. Больше никакого сокровенного знания за этим не стоит. Появились они как техническое средство и таковым и служат с тех пор. В некоторых случаях некоторым минорам можно придать некоторый смысл, но его поиски ради поиска, скорее всего, Вам ничем не помогут, а только уведут в сторону от основного вопроса: научиться пользоваться минорами.
Появляются они совершенно естественно из формулы для вычисления определителей. Например, для определителя третьего порядка: $$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{31}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}=$$ $$=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{31}a_{23})-a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{32}a_{13})+a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13})=$$ $$=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{21}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{31}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\ a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}=a_{11}M_{11}-a_{21}M_{21}+a_{31}M_{31}.$$ Что касается критерия Сильвестра, то там диагональные миноры очевидным образом связаны с квадратичными формами, которые получаются из заданной квадратичной формы, если в ней часть переменных заменить нулями.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 11:55 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
С тем, что у математических определений вообще нет никакого сермяжного смысла, я не согласен. Смысл есть весьма часто. Но вот в данном случае действительно лучше всего относиться к минору, как к чисто формальной находке, сделанной великими умами прошлого и оказавшейся очень удобной в разных отношениях. Хотя в каких-то ситуациях минор имеет конкретный геометрический смысл. Но понять доказательство критерия Сильвестра --- не та ситуация.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 12:24 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
vpb в сообщении #1385017 писал(а):
я не согласен
Дык, наверное, у вас есть секретный пример такого определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
iifat в сообщении #1385019 писал(а):
Дык, наверное, у вас есть секретный пример такого определения?
Та же производная - это действительно скорость.
Производная любой величины по времени - мгновенная скорость изменения этой величины.
Производная любой величины по любой другой величине - это скорость (мгновенная), с которой будет изменяться первая величина, если вторую величину изменять с единичной скоростью.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 13:58 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1385020 писал(а):
Производная любой величины по времени - мгновенная скорость изменения этой величины
Пожалуй, это уже оффтоп, но вы действительно полагаете, что в этой фразе таки есть смысл — помимо воспроизведения определения производной на уровне размахивания руками?
Mikhail_K в сообщении #1385020 писал(а):
производная - это действительно скорость
Скорость — вполне себе определённое физическое понятие. Та скорость, о которой вы говорите ниже есть нечто, имхо, совершенно нефизическое, так что такой «физический смысл» только мешает пониманию как физики, так и математики, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1385034 писал(а):
но вы действительно полагаете, что в этой фразе таки есть смысл — помимо воспроизведения определения производной на уровне размахивания руками?
Конечно нет. То что я написал - это именно воспроизведение определения производной на уровне размахивания руками. Но я действительно полагаю, что для понимания многих математических понятий необходимо иметь в голове не только их строгое определение, но и интуитивное, на уровне размахивания руками. На всякий случай уточню: может быть, это необходимо не всем, но многим это необходимо. Поэтому вопрос "а какой у этого понятия интуитивный смысл, как его себе образно представить?" - имеет право на существование (хотя не всегда на него имеется удовлетворительный ответ).

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если матрица выражает линейное отображение одного линейного пространства на другое линейное пространство, то минор - это "часть" этого отображения, связанная с подпространством в области отправления и с подпространством в области прибытия.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 19:52 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
1. Пусть $V$ -- векторное пространство с симметричною билинейною формою $B$. Она индуцирует симметричную билинейную форму $\Lambda^k B$ на $\Lambda^k V$ следующим образом: $$\Lambda^k B\,(u_1\wedge ... \wedge u_k,\, v_1\wedge ... \wedge v_k)=\det
\begin{pmatrix}
B(u_1,v_1) & \dots & B(u_1,v_k)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
B(u_k,v_1) & \dots & B(u_k,v_k)\\
\end{pmatrix}.$$

(Оффтоп)

Можно сказать и иначе. Симметричная билинейная форма $B$ задаёт линейное отображение $\widetilde B:V\to V^*$, которое вектору $v$ сопоставлят линейный функционал $B(v,\cdot)$. С его помощью можно эквивалентно определить $\Lambda^k B\,(u_1\wedge ... \wedge u_k,\, v_1\wedge ... \wedge v_k)$ $= \widetilde B(u_1)\wedge...\wedge\widetilde B(u_k)\; (v_1\otimes...\otimes v_k)$ $= \widetilde B(u_1)\otimes...\otimes\widetilde B(u_k)\; (v_1\wedge...\wedge v_k)$.

Здесь я имею в виду, что элемент $\alpha_1\wedge ... \wedge \alpha_k\in\Lambda^kV^*$ отождествляется с тензором $\sum\limits_{\sigma\in S_n}(-1)^\sigma \alpha_{\sigma(1)}\otimes ... \otimes \alpha_{\sigma(n)}\in\bigotimes^kV^*$. В частности, $\alpha\wedge \beta=\alpha\otimes \beta-\beta\otimes \alpha$.

Осторожно! Некоторые выбирют другое отождествление, деля ещё на $k!$, то есть у них получается $\alpha\wedge \beta=\frac12(\alpha\otimes \beta-\beta\otimes \alpha)$.

Определение, приведённое снаружи блока оффтопика, не зависит ни от каких таких отождествлений.

2. Пусть $v_1,...,v_k$ -- векторы из $V$. Можно сопоставить им число $\mathrm{Gr}(v_1,...,v_k):=\Lambda^kB(v_1\wedge...\wedge v_k,v_1\wedge...\wedge v_k)$. Это число называется определителем Грама векторов $v_1,...,v_k$ (от упорядочения оно, очевидно, не зависит).

Если $B$ -- евклидово скалярное произведение, то определитель Грама есть просто квадрат ($k$-мерного!) объёма параллелепипеда, натянутого на векторы $v_1,...,v_k$.

3. Пусть $e_1,...,e_d$ -- базис $V$, $B_e$ -- матрица нашей формы $B$ относительно этого базиса. Выберем набор индексов $i_1<...<i_k$. Тогда $\mathrm{Gr}(e_{i_1},...,e_{i_k})$ равен минору матрицы $B_e$, посчитанному по $k\times k$ подматрице, находящейся в строках и столбцах с номерами $i_1,...,i_k$.

4. Наконец про критерий Сильвестра. Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство с симметричною билинейною формою $B$; хотим найти сигнатуру её. Выберем базис $e_1,...,e_d$ и положим $\Delta_k:=\mathrm{Gr}(e_1,...,e_k)$ (это как раз и есть $k$-й главный угловой минор). Несложно доказать, что $\Delta_k=0$, если ограниченная форма $B\big|_{\langle e_1, ..., e_k \rangle}$ вырождена, и $\text{знак }\Delta_k=(-1)^{s_k}$, если она невырождена и имеет отрицательный индекс инерции $s_k$ (отрицательный индекс инерции -- это количество минусов в сигнатуре).

Таким образом, если все главные угловые миноры ненулевые, то $\Delta_i$ и $\Delta_{i+1}$ имееют разные знаки $\Leftrightarrow$ $s_{i+1}=s_i+1$. Поэтому в этой ситуации отрицательный индекс инерции всей формы $B$ равен числу перемен знака в последовательности $1, \Delta_1,...,\Delta_d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 20:28 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Можно ещё указать на связь минора порядка $p$ с ориентированным $p$-мерным объёмом проекции параллелепипеда, построенного на $p$ векторах (объяснить, каких), на соответствующее подпространство (объяснить, какое).

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение31.03.2019, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Все забыли самое важное: вычеркивание строк и столбцов - это физический труд, то есть работа. Вот он сокровенный физический смысл минора: чем меньше размер минора по сравнению с размером матрицы, тем бОльшая работа по его добыванию из матрицы производится (придется вычеркнуть много строк и столбцов!).
На этом пути можно даже получить точные количественные соотношения, но это уже будет излишним подсказыванием...

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение01.04.2019, 00:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
При малых порядках выгоднее скопировать куда-нибудь только нужные элементы, чем вычёркивать лишние. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение01.04.2019, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

svv в сообщении #1385159 писал(а):
выгоднее скопировать

Уже экономический смысл пошёл, если юристы будут не против. На очереди химический?

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение01.04.2019, 09:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
bot в сообщении #1385197 писал(а):

(Оффтоп)

svv в сообщении #1385159 писал(а):
выгоднее скопировать

Уже экономический смысл пошёл, если юристы будут не против. На очереди химический?

(Оффтоп)

Если из таблицы Менделеева удалить строки и столбцы, то во сне явится химический минор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group