что такое минор матрицы. Физический смысл

[Munin]

iifat в сообщении #1386849 писал(а):

Повторюсь: я ничего не говорил про то, чем физика оперирует.

Вы не говорили. Вы задали вопрос. Дословно в той формулировке, про которую я вас и спросил. Поэтому я жду пояснений, что вы подразумевали в этом вопросе, который задали именно вы.

[vpb]

Вспомнил два высказывания, которые дословно не помню. Арнольд сказал, мол, "математика -- это часть физики". Манин: "математика --- это отрасль лингвистики, в которой одни предложения выводятся из других по определенным синтаксическим правилам". Уж если такие люди так полемически загибали, то чего ожидать от столь "благодатной" темы, как смысл математических понятий ?

[iifat]

Munin в сообщении #1386880 писал(а):

Вы задали вопрос

Да, я задал вопрос. Оперирует ли физика производной. По-моему, не оперирует ни в каком смысле; если кто-нить считает, что таки да, оперирует, мне интересно было б услышать это мнение. Включающее и определение слова «оперирует».

[Munin]

iifat в сообщении #1386912 писал(а):

По-моему, не оперирует ни в каком смысле; если кто-нить считает, что таки да, оперирует, мне интересно было б услышать это мнение.

Да, "оперирует": вычисляет, решает дифференциальные уравнения. В том числе и в школьных задачах. (Я бы не очень называл это словом "оперирует", но в ответ на ваше утверждение, что "не оперирует ни в каком смысле", напрашивается такой ответ. Таким образом, определение слову "оперирует" я давать избегу, а ограничусь пояснением в частном случае.)

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Раз уж моё, как мне казалось, безобидное замечание так бурно обсуждается, надо ответить

iifat в сообщении #1385010 писал(а):

Но никакого физического смысла производная не несёт. Хотя и применяется в физике весьма широко.

Совершенно согласен, сама по себе производная физического смысла не несёт. Но рассматривая те или иные конкретные модели физических явлений, математическое описание процессов, производной можно придать смысл, ассоциировав её с соответствующим параметром модели.

iifat в сообщении #1386761 писал(а):

Но я-то отвечал на идею ввести некую философскую «скорость вообще»! Вот же ж оно, посмотрите:

Mikhail_K в сообщении #1385020 писал(а):

Производная любой величины по времени - мгновенная скорость изменения этой величины

И где ж тут «некая философская "скорость вообще"»? Коль скоро речь идёт о времени, то очевидно, мы имеем дело не с абстрактной математической теорией, а с конкретной матмоделью какого-то процесса. И в рамках этой модели производная некоторой величины по времени именно показывает, как быстро изменяется указанная величина с течением времени. По-русски вместо "как быстро изменяется с течением времени" обычно говорят: "скорость изменения". В других языках, возможно, скорость перемещения и скорость изменения обозначаются разными словами. Введение в рассмотрение подобного параметра скорости (или средней скорости) тем более оправдано, если указанная производная остаётся постоянной или мало меняется на протяжении длительного промежутка времени: процесс описывается линейным уравнением с постоянным коэффициентом. Не согласны? - Приведите пример, когда обсуждаемая интерпретация первой производной по времени будет некорректной.

iifat в сообщении #1386761 писал(а):

А, кстати говоря, физика оперирует производной?

Вполне согласен со списком, представленным Munin. Высказывание "Не путайте только, пожалуйста, со скоростью, которая, кстати говоря, как понимаю, определяется в физике отнюдь не как производная, а как предел отношения пройденного пути ко времени при стремлении времени к нулю" оставлю без комментариев - тут снова согласен с мнением Munin и не вижу смысла развивать тему.

Еще раз повторю свою мысль: абстрактные математические объекты и конструкции сами по себе не имеют физического смысла и прекрасно существуют в отрыве от прикладных проблем, но порой освоить, понять новую область математики, новое абстрактное понятие бывает легче, если вспомнить, как они появились, при решении каких прикладных задач используются. Не утверждаю (и выше не писал), что так всегда, что в любой математической конструкции нужно искать физический или какой иной смысл - часто они красивы и приятны сами по себе, своими интересными свойствами, связями с другими разделами математики... Однако не считаю, что осознание прикладного значения математических конструкций, математической связи между разными физическими величинами (в том числе на уровне аналогий) затрудняет понимание как математики, так и физики. Это я снова насчёт высказывания

iifat в сообщении #1385034 писал(а):

Та скорость, о которой вы говорите ниже есть нечто, имхо, совершенно нефизическое, так что такой «физический смысл» только мешает пониманию как физики, так и математики

[Munin]

Walker_XXI в сообщении #1387098 писал(а):

В других языках, возможно, скорость перемещения и скорость изменения обозначаются разными словами.

Например, в английском языке есть слова speed, velocity, (time) rate. Может, ещё какие-то. Rapidity вообще, которую по-русски переводят "быстрота" :-)

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1387115 писал(а):

Например, в английском языке есть слова speed, velocity, (time) rate. Может, ещё какие-то. Rapidity вообще, которую по-русски переводят "быстрота"

Да, в английском так, про друге языки не знаю, может тоже несколько вариантов.

Забыл ещё на один вопрос ответить:

iifat в сообщении #1386761 писал(а):

И напоследок: а как по вашему, формула $E=mc^2$, как бы к ней ни относиться, выражает физический смысл квадрата? Или числа $2$?

Я писал, что привлечение конкретных моделей и физического смысла не всегда необходимо, а иногда полезно. Тут не тот случай. Про "смысл и суть" чисел довольно интересные рассуждения у Лебега в книге "Об измерении величин". Смысл числа "2" гораздо лучше выражают 2 яблока на столе, чем упомянутая формула (где $c^2$ - "всего лишь" размерный переводной коэффициент между единицами энергии и массы, который в "нормальных" системах единиц равен безразмерной 1), а смысл возведения в квадрат - формула площади квадрата.

[Slav-27]

nya в сообщении #1386176 писал(а):

Более общую форму со сменами знаков расписывать лень, всё ровно точно такое же.

Если мы знаем, что
1. у формы сигнатуры "$t$ плюсов, $s$ минусов" матрица в некотором базисе диагональна и на диагонали $t$ единичек и $s$ минус единичек и
2. положительный индекс инерции $t$ -- это максимальная размерность подпространства, на котором она положительно определена, а отрицательный -- на котором отрицательно, --
то всё мгновенно следует из того, что я писал выше. Ведь при переходе от линейной оболочки $e_1,...,e_{k-1}$ к линейной оболочке $e_1,...,e_{k}$ одно из чисел $t$ и $s$ должно остаться неизменным, а другое -- увеличиться на $1$; если знак $\Delta_k$ сохранился, то увеличилось $t$, а если поменялся, то $s$. (Мы предполагали, что все $\Delta_k\ne 0$.)

-- 13.04.2019, 00:09 --

Если среди миноров $\Delta_k$ есть нулевые, то сигнатура, вообще говоря, не определяется однозначно последовательностью знаков $\Delta_k$. Например, последовательность $0,0,0,-$ может соответствовать сигнатурам $(+++-)$ и $(+---)$.

[vpb]

Это всё превосходно написано в том месте Винберга, которое я указывал на предыдущей странице темы. Или в Кострикине, том 2, гл.1, пар.4. Обобщение на тот случай, когда среди угловых миноров нет двух нулей подряд, обсуждается в теме topic113775.html.