1. Пусть
-- векторное пространство с симметричною билинейною формою
. Она индуцирует симметричную билинейную форму
на
следующим образом:
(Оффтоп)
Можно сказать и иначе. Симметричная билинейная форма
задаёт линейное отображение
, которое вектору
сопоставлят линейный функционал
. С его помощью можно эквивалентно определить
.
Здесь я имею в виду, что элемент
отождествляется с тензором
. В частности,
.
Осторожно! Некоторые выбирют другое отождествление, деля ещё на
, то есть у них получается
.
Определение, приведённое снаружи блока оффтопика, не зависит ни от каких таких отождествлений.
2. Пусть
-- векторы из
. Можно сопоставить им число
. Это число называется
определителем Грама векторов
(от упорядочения оно, очевидно, не зависит).
Если
-- евклидово скалярное произведение, то определитель Грама есть просто квадрат (
-мерного!) объёма параллелепипеда, натянутого на векторы
.
3. Пусть
-- базис
,
-- матрица нашей формы
относительно этого базиса. Выберем набор индексов
. Тогда
равен минору матрицы
, посчитанному по
подматрице, находящейся в строках и столбцах с номерами
.
4. Наконец про критерий Сильвестра. Пусть
-- вещественное векторное пространство с симметричною билинейною формою
; хотим найти сигнатуру её. Выберем базис
и положим
(это как раз и есть
-й главный угловой минор). Несложно доказать, что
, если ограниченная форма
вырождена, и
, если она невырождена и имеет отрицательный индекс инерции
(отрицательный индекс инерции -- это количество минусов в сигнатуре).
Таким образом, если все главные угловые миноры ненулевые, то
и
имееют разные знаки
. Поэтому в этой ситуации отрицательный индекс инерции всей формы
равен числу перемен знака в последовательности
.