2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение01.04.2019, 13:21 
Заслуженный участник


23/07/08
7966
Харьков

(Оффтоп)

Вот, присмотрел себе неплохой минорчик.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение01.04.2019, 13:48 


15/11/15
482
По идее, минор - это антоним к слову мажор. Мажор матрицы - определитель, полученный добавлением строк (столбцов к матрице). Только не помню, какие можно добавлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение01.04.2019, 14:01 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
gevaraweb в сообщении #1385263 писал(а):
Только не помню, какие можно добавлять.

Не сочтите за оффтоп!
По секрету: желательно из большой терции.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение02.04.2019, 03:10 
Заслуженный участник


18/01/15
1616
iifat в сообщении #1385019 писал(а):
Дык, наверное, у вас есть секретный пример такого определения?
Есть, конечно. Скажем, определение умножения матриц. Можно, конечно, определять чисто формально, а можно и со смыслом: произведение матриц, соответствующих двум линейным отображениям, есть матрица их композиции. Отсюда тотчас формула для произведения. А минор в этом смысле дальше от того, что можно непосредственно представить (самый простой способ представить его себе геометрически --- тот, про который svv писал, имхо). То есть тут лучше его считать чем-то чисто формальным. Но в общем, что такое "сермяжный смысл", это тоже вопрос мнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение05.04.2019, 18:23 


17/04/18
143
Slav-27 всё уже написал максимально геометрично, если $B$ положительна, то все $Gr_n$ положительны так как это квадраты объемов параллелепипедов вычисленных относительно $B$. Наоборот вам нужна следующая очень простая лемма $B(w,w)>0 \wedge B(v,v) < 0 \to B(ort_w v, ort_w v) < 0$ где $ort_w v = v - wB(v,w)/B(w,w)$. Пусть критерий Сильвестра доказан для $dim \leq n-1$, положим $dim V = n$ и $W = span \{e_1,...,e_{n-1}\}$ предположим так же что $Gr_1, ..., Gr_{n-1}, Gr_n > 0$ и что у нас есть некоторый $v : B(v,v) < 0$, тогда по критеию Сильвестра для $dim = n-1$ имеем $ v \notin W$. Утверждается что $e_1,...,e_{n-1},v$ имеет отрицательный квадрат объема, действительно, проекция $w:=pr_W v$ имеет положительный квадрат (так как критерий Сильвестра $Gr_1, ..., Gr_{n-1} > 0 \leftrightarrow \forall w \in W B(w,w)>0)$ поэтому по лемме имеем $B(ort_w v, ort_w v) = B(ort_W v, ort_W v) < 0$ и так как $Gr_n(e_1,...,e_{n-1},v) = Gr_n(e_1,...,e_{n-1}) B(ort_W v, ort_W v)$ то и $Gr_n(e_1,...,e_{n-1},v) < 0$. Однако так как $Gr_n$ при смене базиса умножается на положительное число то и $Gr_n(e_1,...,e_n)=Gr_n<0$, противоречие. Более общую форму со сменами знаков расписывать лень, всё ровно точно такое же.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение08.04.2019, 16:03 


08/05/14
7
Всем большое спасибо за ответы, извините что не сразу написал! Основной ваш посыл понял, что миноры возникают скорее как следствие, или некоторый объект, введенный для удобства, и по видимому, в доказательстве Сильвестра нужно обращать внимание на совсем другие вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение08.04.2019, 16:19 
Заслуженный участник


18/01/15
1616
Имхо, очень хорошее (разве что излишне лаконичное, как всё у Винберга) доказательство критерия Сильвестра есть в учебнике Винберга, издание 2011 г, гл.5, параграф 4, стр.214--216 особенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение09.04.2019, 13:40 
Заслуженный участник


01/06/15
949
С.-Петербург
Ну и ещё пара слов про [физический] смысл математических объектов.

Физический (или какой-то иной прикладной) смысл математические объекты и формулы приобретают только в применении к решению конкретной физической (или иной) задачи. Да, многие математические понятия возникли в процессе моделирования конкретных явлений, и в рамках этих моделей имеют чёткий "глубинный (а также сермяжный, посконный, домотканый и кондовый)" смысл. Но iifat совершенно прав в том, что чистая математика абстрагируется от этих конкретных задач и смыслов, и изучает объекты сами по себе. Причём в процессе этого изучения чисто формально вводятся новые объекты, которые в рамках исходной модели (прикладной задачи) могут вообще не иметь никакого очевидного смысла. Но, действительно, порой отсылка к конкретным прикладным задачам существенно облегчает принятие и понимание математических абстракций.

(Оффтоп)

Однако в своём абстрагировании iifat заходит слишком далеко, отказывая физике в праве придавать смысл величинам, которыми она оперирует:
iifat в сообщении #1385034 писал(а):
Скорость — вполне себе определённое физическое понятие. Та скорость, о которой вы говорите ниже есть нечто, имхо, совершенно нефизическое, так что такой «физический смысл» только мешает пониманию как физики, так и математики, не?
Не. Во-первых, в физике есть не только скорость движения материальной точки, но и много других скоростей - фактически любая производная по времени от какой-либо физической величины, если она возникает в осмысленной физической формуле. Во-вторых, как писал выше, отсылка к прикладным задачам часто облегчает понимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение09.04.2019, 15:56 
Заслуженный участник


16/02/13
3560
Владивосток

(Оффтоп)

Walker_XXI в сообщении #1386748 писал(а):
в физике есть не только скорость движения материальной точки, но и много других скоростей
«Не могу пройти молчанием»: наверняка в физике, которую я не слишком хорошо знаю, есть немало различных скоростей. И каждая из них, разумеется, есть производная от чего-то по времени (а может, и не только по времени). Но я-то отвечал на идею ввести некую философскую «скорость вообще»! Вот же ж оно, посмотрите:
Mikhail_K в сообщении #1385020 писал(а):
Производная любой величины по времени - мгновенная скорость изменения этой величины
Walker_XXI в сообщении #1386748 писал(а):
отказывая физике в праве придавать смысл величинам, которыми она оперирует
А, кстати говоря, физика оперирует производной? Не путайте только, пожалуйста, со скоростью, которая, кстати говоря, как понимаю, определяется в физике отнюдь не как производная, а как предел отношения пройденного пути ко времени при стремлении времени к нулю. Таки да, математики назвали это производной, но это не имеет отношения к физическому смыслу сей последней.
И напоследок: а как по вашему, формула $E=mc^2$, как бы к ней ни относиться, выражает физический смысл квадрата? Или числа $2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение09.04.2019, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71542
iifat в сообщении #1386761 писал(а):
А, кстати говоря, физика оперирует производной?

А что такое "оперирует"?

iifat в сообщении #1386761 писал(а):
Не путайте только, пожалуйста, со скоростью, которая, кстати говоря, как понимаю, определяется в физике отнюдь не как производная, а как предел отношения пройденного пути ко времени при стремлении времени к нулю.

Вот тут возникает проблема.

Это производная от пути по времени - есть предел отношения пути ко времени, при стремлении времени к нулю.

А вот что такое скорость в физике - вопрос более сложный. Если мы принимаем все условности, подразумеваемые теорией "классическая механика", то скорость - будет в точности производной пути по времени. (Точнее, есть ещё векторная скорость, средние скорости и т. д.) Но если мы говорим за рамками этих условностей (а в физике это часто требуется) - то понятие скорости может вообще исчезнуть.

Прошу, не надо путаницы между этими тремя понятиями, какую вы изложили.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение09.04.2019, 16:32 
Заслуженный участник


16/02/13
3560
Владивосток

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1386766 писал(а):
А что такое "оперирует"?
Хороший вопрос. Но я-то цитирую
Walker_XXI в сообщении #1386748 писал(а):
которыми она оперирует
Munin в сообщении #1386766 писал(а):
Если мы принимаем все условности, подразумеваемые теорией "классическая механика"
Да. Забыл уточнить насчёт классической (а то и школьной, пока не не напомнили про обобщённую скорость) механики.
Munin в сообщении #1386766 писал(а):
Прошу, не надо путаницы
Ладно. прекращаю дозволенные речи :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение09.04.2019, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71542
Walker_XXI слово "оперирует" применял к величинам. Тут всё ясно: величинами физика оперирует. А что значит слово "оперирует" в сочетании "физика оперирует производной"? Например:
- оперирует величиной, которая является производной;
- вычисляет производные от каких-то величин;
- даёт определение производной;
- что-то ещё?
Проясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение09.04.2019, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26183
Мне кажется, ещё люди иногда пишут «физический смысл» вместо просто «смысл», ну и конкретнее обычно вещи, определяющиеся через какие-нибудь координаты или подобным образом, но не зависящие от них, можно определить изначально без этого (и необходимости произвольно выбирать базис/систему координат, если мы о координатах). Увидеть такие инвариантные определения — совершенно естественное желание, вот только проблема в том, что их бывает труднее изложить (надо будет вводить ещё какие-то определения) — и примеры потом всё равно понадобятся, чтобы всё уложить в голову.

Кстати это может дать впечатление, что определения, зависящие от координат, образовательно лучше, но на мой взгляд это не так: хотя их может быть быстрее изложить, что-то такое глубинное в понимании не появится, пока человек в каком-то смысле не переоткроет инвариантные определения, притом сворее всего велосипедно.

-- Вт апр 09, 2019 22:59:21 --

(Иначе говоря, эквивалентные определения с человеческой точки зрения неэквивалентны. Правда, в таком виде это грубо очевидно. Но это значит, что нельзя сказать «есть определение — от него и пляши, а всё остальное не математика». То есть идеальный бесконечно умный и быстрый математик-то, разумеется, сам выведет все эквивалентные определения, следствия, примеры и вообще всю теорию, действительно из любого сколь угодно нечеловечески изложенного определения, но реальный? Не.)

-- Вт апр 09, 2019 23:01:59 --

(На всякий случай, это не противопоставляется «shut up and calculate» из физики. Можно видеть, что эти две вещи немного о разных условиях.)

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение09.04.2019, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71542
arseniiv в сообщении #1386811 писал(а):
Мне кажется, ещё люди иногда пишут «физический смысл» вместо просто «смысл»

+1. Словосочетание "физический смысл" заучивается прочно, хотя его смысл - часто, увы, нет.

(Под "физическим смыслом" в школе обычно понимается физическая интерпретация тех ответов или промежуточных уравнений, которые получаются при математических выкладках в физических задачах. Ещё иногда встречается "геометрический смысл", например, "геометрический смысл производной и интеграла".)

 Профиль  
                  
 
 Re: что такое минор матрицы. Физический смысл
Сообщение10.04.2019, 09:51 
Заслуженный участник


16/02/13
3560
Владивосток

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1386792 писал(а):
Проясните, пожалуйста
Ну ежли вы настаиваете...
iifat в сообщении #1385010 писал(а):
никакого физического смысла производная не несёт
Walker_XXI в сообщении #1386748 писал(а):
Однако в своём абстрагировании iifat заходит слишком далеко, отказывая физике в праве придавать смысл величинам, которыми она оперирует
iifat в сообщении #1386761 писал(а):
А, кстати говоря, физика оперирует производной?
Повторюсь: я ничего не говорил про то, чем физика оперирует. Слово употребил Walker_XXI. И таки да, всё это случилось тут, на двух страничках. Это намёк :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group