Александр Козачок
во-первых, раскрывать мое имя я не намерена. Мне удобнее быть анонимной. Скажу только, что я в математике не noname.
Цитата:
несмотря на наши обращения
Не знаю, как Вы, но я никуда не обращалась.
По поводу чепухи. Вы используете формулу замены переменной в частной производной там, где в этой форме использовать ее нельзя. Потому чепуха и получается. Мне не раз попадалась такая ошибка у моих студентов. Попробую об'яснить Вам.
Правильная формулировка. Пусть имеется функция нескольких (возможно, одной) переменных
, при этом каждая из переменных, в свою очередь, является функцией от новых переменных,
. Тогда, если все функции, указанные выше дифференцируемы, то суперпозиция
тоже дифференцируема, при этом
Теперь посмотрим, попадает ли Ваше вычисление в эту формулу. У Вас есть функция
, при этом
.
Формула дает
.Никаких возражений не имею. Но это не то, что Вам нужно. Как Вы из общей теоремы получите Ваше
, неясно.Ведь у Вас
- функции
, а вдруг появляются частные производные от
как функции
, а такой функции
у Вас нет!!! Покажите сами, как из общего правила замены переменных в частной производной получается Ваша формула. Не получится.
Об'ясню по-другому. Слова
Цитата:
аргументы
задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной
.
означат, что Вы рассматриваете функцию
на кривой
. Сообщаю Вам медицинский факт По значениям функции на кривой, вообще говоря, НЕВОЗМОЖНО найти ее частные производные. Слова 'вообще говоря' означают, что есть банальное исключение-- если кривая --это прямая в направлении координатной оси, скажем,
, то производные по этой (и только по этой!!!) переменной найти можно.
Я понимаю, что ВАМ принять это не хочется, поэтому попытайтесь найти частные производные функции
при том, что
Цитата:
аргументы
задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной
:
. Покажите в деталях, как Вы свою формулу будете применять.Вы увидите, что формула Ваша здесь дает неверный результат!! Ну, неверна формула.
Ваша формула, , неверна]
Так что вывод равенства нулю дивергенции ускорения опять повис.
добавлено 20 часов спустя
Ошибку, сходную с Вашей, сделал, например, Карвальо -- в целом, вполне почтенный математик, в статье Carvalho, L. A. V. On some contradictory computations in multi-dimensional mathematics. Nonlinear Anal. 63 (2005), no. 5-7, 725--734. Неправильно применив формулу дифференцирования сложной функции, он пришел к выводу, еще более сенсационному, чем Ваш, именно, что весь математический анализ многих переменных нужно переделывать, поскольку он противоречив. Подробный разбор ошибки приведен в
Capelas de Oliveira, E.; Rodrigues, W. A., Jr. A comment on: "On some contradictory computations in multi-dimensional mathematics"by L. A. V. Carvalho. Nonlinear Anal. 67 (2007), no. 7, 2316--2320. Если Вам самостоятельно до статьи не добраться, могу прислать, дайте адресок.
. Попытаемся сосчитать производную 
по Вашему методу (я использую обозначения покороче). Пусть 
.
. А по Вашeй формуле (1),
,
,
,
.![\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}
{{\partial x_i }},(x_i = x,y,z)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/d/edd94c8b11d76cd3d48c630f0aab408782.png "\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}
{{\partial x_i }},(x_i = x,y,z)
\]")
(1)
. 
в плоскости функция 
равна нулю. Найдите ее частные производные в точках этой линии.
не верно.
. В таком случае Вы бы легко заметили, что замена 
, где
и поэтому должно быть 
. Разумеется, это не единственное и не корректное условие применимости формулы для Вашей функции.
![\[
u\left( {x(s),y(s)} \right)
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/f/02fd9cc88e7e288e64cc2f8e26f97d7382.png "\[
u\left( {x(s),y(s)} \right)
\]")
, то правильно ли производную ![\[
u'_s
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/c/d6c1760726347a7ce6c1db3532da5c6982.png "\[
u'_s
\]")
, рассматривать как частную производную ![\[
\frac{{\partial u}}{{\partial s}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/b/d2bf2dec78363e09a4cb050d4c00885582.png "\[
\frac{{\partial u}}{{\partial s}}
\]")
, т.е. так, как это делаете Вы? Мне кажется, что только для случая фиксированных основных координат ![\[
x,y
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/5/ca5c0213abb27698647ff406063cfe9782.png "\[
x,y
\]")
, и наличия явной зависимости от вспомогательной переменной ![\[
u\left( {x(s),y(s),s} \right)
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/c/cac52e6a367528f667ffdfe4a49813fd82.png "\[
u\left( {x(s),y(s),s} \right)
\]")
такая частная производная отлична от нуля.
![\[
w
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/0/1b0fea3e3291576459ecaf9135dff1a582.png "\[
w
\]")
есть сложная функция любого числа аргументов ![\[
u,v,...,t
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f1b9fb1e7fa20ea8edd79b2e8bc0a6482.png "\[
u,v,...,t
\]")
(§438), заданная через посредство вспомогательных переменных ![\[
x,y,...z
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/3/d03abf0332059def5ee08c4ce8ab121482.png "\[
x,y,...z
\]")
![\[
\begin{array}{l}
\frac{{\partial w}}{{\partial u}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial y}}{{\partial u}} + ... + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}\frac{{\partial z}}{{\partial u}} \\
\frac{{\partial w}}{{\partial v}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial y}}{{\partial v}} + ... + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}\frac{{\partial z}}{{\partial v}} \\
...................................................... \\
\frac{{\partial w}}{{\partial t}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial y}}{{\partial t}} + ... + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}\frac{{\partial z}}{{\partial t}} \\
\end{array}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/8/a08d844593f050561692a668d7362b8882.png "\[
\begin{array}{l}
\frac{{\partial w}}{{\partial u}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial y}}{{\partial u}} + ... + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}\frac{{\partial z}}{{\partial u}} \\
\frac{{\partial w}}{{\partial v}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial y}}{{\partial v}} + ... + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}\frac{{\partial z}}{{\partial v}} \\
...................................................... \\
\frac{{\partial w}}{{\partial t}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial y}}{{\partial t}} + ... + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}\frac{{\partial z}}{{\partial t}} \\
\end{array}
\]")
(1)![\[
x
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/3/533d3ab8c1260d85a6ed3caa276a19a582.png "\[
x
\]")
можно оставить справа только первые члены. И тогда, изменив соответственно моей символику, получаем три известные формулы, которые Вы так настойчиво приписываете мне. Так что, видите, 
есть сложная функция любого числа аргументов 
(§438), заданная через посредство вспомогательных переменных 
(в любом числе). 
называется сложной функцией, если она 
, а Козачок ![\[
\begin{array}{l}
\frac{{\partial w}}{{\partial u}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}} \\
\frac{{\partial w}}{{\partial v}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}} \\
................... \\
\frac{{\partial w}}{{\partial t}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} \\
\end{array}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/5/2750cb012c7d6951acb2d0bb9c322b1982.png "\[
\begin{array}{l}
\frac{{\partial w}}{{\partial u}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}} \\
\frac{{\partial w}}{{\partial v}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}} \\
................... \\
\frac{{\partial w}}{{\partial t}} = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial t}} \\
\end{array}
\]")
(1*)
