Глубокоуважаемые Участники обсуждения!
shwedka писал(а):
Александр Козачок писал(а):
shwedka писал(а):
..
и проблема, пожалуй, еще хуже, чем раньше. Оказывается, что некоторые частные производные одного икса по другому определяются с помощью

, другие с помощью

.
Почему они получаются одни и те же??
Вот, скажем, в (6b)

по первой формуле,

,

по второй формуле

почему эти значения одинаковы??
1.
Эту проблему Вы сразу снимете, если сравните между собой общеизвестные формулы для выражений, куда входят

и
(***)В этих формулах
![\[
\delta x_i
\] \[
\delta x_i
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/0/2e036d86f02aeb6b55021c9705384d2182.png)
- это материальные отрезки, параллельные осям координат. Как видите, производная скорости по продольной координате – это скорость относительного удлинения материального отрезка, параллельного этой же координатной оси. А производная перемещения - это относительное удлинение того же материального отрезка
Совершенно не убедительно. Какие здесь отрезки?? Никакие материальные отрезки у Вас не удлиняются, жидкость-то несжимаемая!!
В несжимаемой жидкости не изменяется во времени по величине только произвольный ее объем, состоящий из одних и тех же частиц. Представьте себе прямоугольный (для простоты) параллелепипед
![\[
\delta V = \delta x\delta y\delta z
\] \[
\delta V = \delta x\delta y\delta z
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/1/e516b4e0377deb7d2522a13953b58c1782.png)
, у которого ребра (материальные отрезки)
![\[
\delta x,\delta y,\delta z
\] \[
\delta x,\delta y,\delta z
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/c/38c5f70984414daf7b2ea1056a04639882.png)
изменяются по длине таким образом, что объем
![\[
\delta V
\] \[
\delta V
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/a/64aa8e03328c8accd3e2a4a23477888c82.png)
при этом остается неизменным.
Цитата:
А перемещения здесь как ни старайся- не увидеть!!! скорости только и ускорения.
Если есть скорости, то есть и перемещения, поскольку скорости – это производные по времени от перемещений. Просто в явном виде в уравнениях Навье-Стокса они не видны, но в развернутых выражениях для компонент скоростей (10) они появляются.
Цитата:
Цитата:
А это вообще что такое??
Где

в знаменателе??
Производная перемещения - это относительное удлинение того же материального отрезка (но не скорость удлинения). Поэтому

в знаменателе ни к чему.
Цитата:
Что-то сильно сомневаюсь я в этих общеизвестых формулах....
У них даже в левой и правой части размерность разная!!! Ссылочку общеизвестную не дадите???
Разумеется, дам: Литературные источники 1,2,4,5 в статье, но в них эта информация разбросана и, как обычно, недостаточно прозрачна.
А по поводу размерности Вы что-то напутали! Ведь посмотрите: в первой формуле и слева, и справа размерность 1/время, а во второй- отсутствует. Я же попытаюсь для наилучшего взаимопонимания между механиком и математиком сконцентрировать и представить эту информацию в максимально упрощенной наглядной форме. Для этого запишем выражение относительного изменения элементарного объема прямоугольного (для простоты) параллелепипеда
![\[
\delta V = \delta x\delta y\delta z
\] \[
\delta V = \delta x\delta y\delta z
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/1/e516b4e0377deb7d2522a13953b58c1782.png)
![\begin{gathered}
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \frac{{d(\delta x\delta y\delta z)}}
{{\delta V}} = \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta V}}\delta y\delta z + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta V}}\delta x\delta z + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta V}}\delta x\delta y = \hfill \\
= \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta x}} + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta y}} + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta z}}. \hfill \\
\end{gathered}
\] \begin{gathered}
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \frac{{d(\delta x\delta y\delta z)}}
{{\delta V}} = \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta V}}\delta y\delta z + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta V}}\delta x\delta z + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta V}}\delta x\delta y = \hfill \\
= \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta x}} + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta y}} + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta z}}. \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/c/13c981d82a1166caf3d9ebdb59e9795782.png)
. (1)
Как видите это изменение равно сумме относительных изменений длины элементарных отрезков
![\[
\delta x,\delta y,\delta z
\] \[
\delta x,\delta y,\delta z
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/c/38c5f70984414daf7b2ea1056a04639882.png)
, образующих ребра этого объема в виде прямоугольного параллелепипеда. Нетрудно заметить, что речь идет о бесконечно малых (б.м.) изменениях. Если теперь эти изменения отнести к б.м. времени, то увидим, что скорость относительного изменения элементарного объема равна сумме скоростей относительных изменений длины элементарных отрезков
![\begin{gathered}
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \frac{{d(\delta x\delta y\delta z)}}
{{\delta Vdt}} = \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta Vdt}}\delta y\delta z + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta Vdt}}\delta x\delta z + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta Vdt}}\delta x\delta y = \hfill \\
= \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta xdt}} + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta ydt}} + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta zdt}} \hfill \\
\end{gathered}
\] \begin{gathered}
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \frac{{d(\delta x\delta y\delta z)}}
{{\delta Vdt}} = \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta Vdt}}\delta y\delta z + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta Vdt}}\delta x\delta z + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta Vdt}}\delta x\delta y = \hfill \\
= \frac{{d(\delta x)}}
{{\delta xdt}} + \frac{{d(\delta y)}}
{{\delta ydt}} + \frac{{d(\delta z)}}
{{\delta zdt}} \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/7/1870f4d3077d6c37f28b2af01c8cd1f282.png)
. (2)
В упомянутых мною учебных пособиях (среди них и пособия по высшей математике, и векторному анализу) разбросаны доказательства различными методами, что
![\[
\frac{{d(\delta x_i )}}
{{\delta x_i }} = \frac{{\partial u_i }}
{{\partial x_i }},,,\frac{{d(\delta x_i )}}
{{\delta x_i dt}} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}
\] \[
\frac{{d(\delta x_i )}}
{{\delta x_i }} = \frac{{\partial u_i }}
{{\partial x_i }},,,\frac{{d(\delta x_i )}}
{{\delta x_i dt}} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/3/b43807df0cabeaf369205eed9fcde4f282.png)
. Минуя эти детали, в этих и в других пособиях Вы также найдете доказательства, что
![\[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \operatorname{div} \vec u
\] \[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \operatorname{div} \vec u
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/3/a0306b8046f1e205138152c74048e59182.png)
,
![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/f/46f9eaf96feaf1e4a13cccbf62acd5ff82.png)
. (3)
Цитата:
Ну, с большим натягом можно еще смотреть и пытаться исправить и понять эти 'общеизвестные формулы' при одномерном движении. Но в пространстве Ваш отрезок станет гнуться и поворачиваться. К тому же Вам нужны еще и формулы для производных

и так далее, те такие, где индексы разные.
Упомянутые формулы одинаково справедливы и для одномерного, и для трехмерного течений. А что касается изгиба отрезка, то б.м. отрезки (и даже б.м. отрезки кривых линий) по общепринятому соглашению, в т.ч. и в математике, принимаются (добавляя «с достаточной точностью») прямыми и до, и после деформации.
shwedka писал(а):
Александр Козачок писал(а):
2.Итак, Вы видите, что с помощью обсуждаемых формул уравнения (11) можно преобразовать в (12,а) и так иным способом доказать общеизвестный факт, что дивергенция скорости и скорость относительного изменения материального объема – одно и то же. Отрицая возможность такого преобразования, мы должны поставить под сомнение этот общеизвестный факт (и, разумеется, само уравнение неразрывности), доказанный различными способами. Если же мы такое преобразование принимаем, то должны принять и соотношения (6) с вытекающими отсюда последствиями.
Совершенно неверно. Если Вы из одной верной формулы получили другую верную, это не служит аргументацией, что преобразования правильные. Просто ошибки где-то друг друга компенсировали. Простейший случай: если в преобразованиях ошибиться, написать неправильный знак, но ЧЕТНОЕ число раз, то получится правильный результат. Нет, не пойдет!
Пожалуйста, по-честному докажите, что приведенные два выражения для производной, которые Вы используете,

,

по второй формуле

дают одинаковые значения.
Мне кажется, что Ваши возражения сейчас не логичны. Каждая из формул
(***) сама по себе особых сомнений у Вас, похоже, не вызывают. Из статьи и приведенных выше разъяснений Вы уже видите, что компоненты векторов перемещения и скорости принудительно при постановке задачи связаны между собой достаточно жесткими условиями несжимаемости жидкости
![\[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = 0
\] \[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/c/d3ccb41ec7a6b09aa49810910e1d2e4e82.png)
,
![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = 0
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/c/87c33f3d19e5f29c25aff768f0c81f6b82.png)
. Мы же теперь, зная, что косвенными методами уже установлены соотношения
![\[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \operatorname{div} \vec u
\] \[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = \operatorname{div} \vec u
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/3/a0306b8046f1e205138152c74048e59182.png)
,
![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/f/46f9eaf96feaf1e4a13cccbf62acd5ff82.png)
, пытаемся доказать их не обходным путем, а напрямую «в лоб», т.е. на самом деле проверить, а соблюдаются ли они в действительности. В результате мы получили (в статье) соотношение (11) и из него видим, что требование
![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/f/46f9eaf96feaf1e4a13cccbf62acd5ff82.png)
может быть выполнено, если
![\[
\begin{gathered}
\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}} + } \right. \hfill \\
+ \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}} \right) = \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u \hfill \\
\end{gathered}
\] \[
\begin{gathered}
\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}} + } \right. \hfill \\
+ \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}} \right) = \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/5/cc5d79f457aaac29a1d832598b72718382.png)
,
а если точнее, то фактически требуется выполнение более простых равенств согласно формул (13) в статье. А эти равенства оказываются возможными при условии наложения дополнительных связей, диктуемых обсуждаемыми нами соотношениями
(***). В таком случае, зачем их доказывать? Хотя, конечно, с точки зрения чистой математики может быть интересно попытаться установить все возможные условия, при которых эти соотношения выполняются. Мы же установили, что именно они дают возможность удовлетворить требование
![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/f/46f9eaf96feaf1e4a13cccbf62acd5ff82.png)
. Если отвергнуть
(***), то это значит отказаться от этого требования и, как следствие, от всей системы уравнений для несжимаемой жидкости. И наконец, мы знаем, что для несжимаемой жидкости не только
![\[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = 0
\] \[
\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta V}} = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/c/d3ccb41ec7a6b09aa49810910e1d2e4e82.png)
,
![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = 0
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/c/87c33f3d19e5f29c25aff768f0c81f6b82.png)
,
но обязательно отсюда следует и ![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}}
{{dt^2 }} = 0
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}}
{{dt^2 }} = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/6/d06423bbf5adb9dfdd5a5f2eda4c8e1682.png)
. Поэтому напрашивается, что должна существовать и очевидная аналогия
![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}}
{{dt^2 }} = \operatorname{div} \ddot \vec u
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}}
{{dt^2 }} = \operatorname{div} \ddot \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/3/453d215d946c91287814569c92b8496b82.png)
. И действительно, при проверке оказалось, что это равенство имеет место при тех же
(***), но менее жестких, условиях, что и равенство
![\[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\] \[
\frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \operatorname{div} \dot \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/f/46f9eaf96feaf1e4a13cccbf62acd5ff82.png)
, поскольку требуется только первое соотношение для градиента скорости

, а совместно со вторым соотношением
оно послужило лишь для подсказки о наличии аналогии для дивергенции ускорения, но вместе с ним в наших дальнейших преобразованиях не используется. Или, может быть, Вы все еще настаиваете на доказательстве «совместности» этих двух соотношений и считаете
доказательство по аналогии не убедительным ?
С уважением, Александр Козачок