2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1376445 писал(а):
Разрывные решения (математики их, няп, зовут обобщенными) тоже вполне имеют право на жизнь.
. Безусловно, вопрос в другом: какие? Вот в модельной задаче
$u_t +(u^2/2)_x=0$ с $u(x,0)=u_\mp $ при $x\lessgtr 0$ будет

(а) Если $u_->u_+$, то "правильное" решение $u=u_\pm$ . при $x\lessgtr (u_- + u_+)t/2$

(б) Если $u_-< u_+$, то "правильное" решение $u=u_-$ при $x< u_-t$ , $u=u_+$ при $x> u_+t$, и $u=x/t$ при $u_-t<x<u_+t$. Но есть еще и решение, определенное в (а), и куча других рaзрывных решений, и условие диссипации $(u^2/2)_t\le (u^3/3)_x$ (в правильном понимании) их отметает

-- 16.02.2019, 08:19 --

Sicker в сообщении #1376446 писал(а):
Так уравнение нелинейное :-)

Во первых, речь идет о квазилинейных уравнениях и там, где решение непрерывное распространение происходит вдоль характеристик. Но разрывы решения распространяются вдоль других линий, а не характеристик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 16:23 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Red_Herring в сообщении #1376447 писал(а):
Но разрывы решения распространяются вдоль других линий, а не характеристик.

Да, точно :oops: .
Но волна - это ж не обязательно разрыв.

Red_Herring в сообщении #1376447 писал(а):
Вот в модельной задаче
$u_t +(u^2/2)_x=0$ с $u(x,0)=u_\mp $ при $x\lessgtr 0$ будет

Да это не слишком интересно - разрыв сразу имеется. Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 17:22 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
DimaM в сообщении #1376448 писал(а):
Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.

на самом деле тоже неинтересно, уравнение Гамильтона-Якоби, характеристики (тут вообще все явно считается) фокальные точки, Арнольд Мат методы класс мех

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):
на самом деле тоже неинтересно, уравнение Гамильтона-Якоби, характеристики (тут вообще все явно считается) фокальные точки, Арнольд Мат методы класс мех
Момент возникновения разрыва--да, из фокальных точек, а дальше он живет "своей жизнью".

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):
на самом деле тоже неинтересно

Арнольду вот было интересно, он целую книжку про это написал Особенности каустик и волновых фронтов, и не только её...

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Munin в сообщении #1376503 писал(а):
pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):
на самом деле тоже неинтересно

Арнольду вот было интересно, он целую книжку про это написал Особенности каустик и волновых фронтов, и не только её...
Только к этой задаче вопрос о каустиках имеет отношение небольшое. Вот простейший пример: рассмотрим
$$
u_t +(\frac{u^2}{2})_x=0
$$
с начальным условием $u(x,0)= f(x)$, где $f(x)$ определяется как неявная функция $-\frac{f^3}{2}-f=x$. Тогда пока решение гладкое, оно определяется
$$
-\frac{u^3}{2}-u(1-t)=x.\qquad\qquad (*)
$$
Эта малина продолжается до момента $t=1$, после чего (*) может иметь не один, а три корня (ну а каустика будет $t=\frac{3}{2}x^{2/3}+1$. И ниже каустики решение будет определяться из (*), и выше тоже правильное разрывное решение будет определяться из (*), только с выбором: при $x>0$ это самый левый корень, а при $x<0$ самый правый. А разрыв будет (в силу симметрии его найти очень легко) $x=0,\ t\ge 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 07:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1376448 писал(а):
Да это не слишком интересно - разрыв сразу имеется. Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.
Ну а когда 2 разрыва сталкиваются?

Где интересен разрыв из гладких начальных условий? Лет так 10 назад один ученик А.М.Ильина решил задачу асимптотики уравнения с вязкостью, стремящейся к 0, вблизи разрыва решения уравнения без вязкости. На самом деле в обычных точках разрыва все просто: нормальный погранслой, но вот в точке, где разрыв только вылупился, задача резко усложняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 11:22 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Red_Herring в сообщении #1376563 писал(а):
Где интересен разрыв из гладких начальных условий?

В вычислениях. В таких местах у схем повышенной точности порядок снижается до первого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1376581 писал(а):
В вычислениях. В таких местах у схем повышенной точности порядок снижается до первого.
Во-первых непонятно чем "только что вылупившийся разрыв:" хуже, чем "зрелый". Но главное: в таком утверждении хотелось бы точного понимания "первый порядок точности". Ведь если есть разрыв и точное положение нам неизвестно, то на расстоянии порядка $h$ от него порядок вообще нулевой. Но поскольку это безобразие происходит только на таком малом расстоянии от разрыва, ошибка в интегральных характеристиках будет действительно 1го порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 13:49 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Red_Herring в сообщении #1376585 писал(а):
Во-первых непонятно чем "только что вылупившийся разрыв:" хуже, чем "зрелый".

Разрыв, присутствующий в начальных условиях, обычно корректно отрабатывается.

Red_Herring в сообщении #1376585 писал(а):
Но главное: в таком утверждении хотелось бы точного понимания "первый порядок точности".

Как обычно: поведение ошибки при измельчении пространственной сетки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1376598 писал(а):
Как обычно: поведение ошибки при измельчении пространственной сетки.
Ошибки в чем? В решении? Но если мы не знаем, справа или слева мы от разрыва, как можем оценить ошибку, если решение меняется скачком? Поэтому в $L^\infty$ предела нет; только в $L^p$ с $p<\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение25.02.2019, 01:30 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring
Pphantom
Я кажется понял все :-)
То что волна возмущений распространяется назад это тупо следует из уравнения
Red_Herring в сообщении #1375800 писал(а):
Естественно, что в лагранжевых координатах $$\frac{\partial \rho }{\partial t} + \rho \frac{\partial v(\rho )} {\partial x}$$ распространение всегда будет назад. Но назад по отношению к кому? Не к наблюдателю сидящему на обочине, а к водителю машины.

Кстати, если учесть что $\frac{\partial}{\partial x}=\rho \frac{\partial}{\partial m}$, то уравнение можно переписать в лагранжевых координатах
$\frac{\partial \rho }{\partial t} + {\rho}^2 \frac{\partial v(\rho )} {\partial m}$
Если принять $v=\frac{a_0}{\rho}$, то уравнение превращается в
$\frac{\partial v }{\partial t} + a \frac{\partial v(\rho )} {\partial m}$, где скорость равна $a={\rho}^2 \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$, отсюда нормальная скорость ${\rho} \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$ или с учетом неподвижной системы координат $V-{\rho} \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$

-- 25.02.2019, 01:36 --

Red_Herring в сообщении #1376077 писал(а):
На самом деле лагранжевы координаты работают только в случае, когда решение непрерывное. Но если $\rho(x,0)$ не монотонно невозрастающая функция, то обязательно образуется ударная волна

А вот это непонятно, ведь главное чтобы $\rho$ нигде не обращалось в ноль, и тогда в случае $v=\frac{a}{\rho}$ мы вообще получим всюду постоянную скорость, т.е. никаких разрывов и наездов вообще не будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение25.02.2019, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Sicker в сообщении #1378220 писал(а):
А вот это непонятно, ведь главное чтобы $\rho$ нигде не обращалось в ноль, и тогда в случае $v=\frac{a}{\rho}$ мы вообще получим всюду постоянную скорость, т.е. никаких разрывов и наездов вообще не будет

Предполагается, что система "истинно нелинейна", что означает что $c'(\rho)\ne 0$, где $c(\rho)= (\rho v(\rho))'$ скорость распространения при данной плотности

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group