Лагранжевы координаты

[Pphantom]

Может быть, проще зайти с другого конца и сначала записать ответ (благо он общеизвестен и тривиально ищется), а уже потом разбираться, почему он именно такой?

$$ \frac{\partial(1/\rho)}{\partial t} - \frac{\partial v}{\partial m} = 0. $$

Выбор знака проверяется элементарно: если $\frac{\partial v}{\partial m}>0$, то в терминах ваших ячеек передний край будет двигаться быстрее заднего, ячейка расширяется (в смысле эйлеровых координат), т.е. плотность падает, т.е. $1/\rho$ растет.

Sicker в сообщении #1375764 писал(а):

Мои попытки - введем ячейки с массами $dm$ и координатами $x_{i-1}, x_i$, правый конец которых имеет скорость $v_i$, а левый $v_{i-1}$
Уравнения будут такие
Для скорости
$v_i=v(\frac{dm}{dx_i})$, где $dx=x_i-x_{i-1}$
А плотность будет определяться $\rho=\frac{dm}{dx_i}$

А смысл? У вас газ, машины (или что там еще движется) смещаются со временем, соответственно, эйлеровы координаты тоже "поедут", после чего вся последующая деятельность бесполезна.

[DimaM]

Sicker в сообщении #1375764 писал(а):

Уравнения будут такие
Для скорости
$v_i=v(\frac{dm}{dx_i})$, где $dx=x_i-x_{i-1}$

Что-то странное у вас написано.
Правильные лагранжевы уравнения такие

$$\frac{dx_i}{dt}=v_i,\; \frac{dx_{i-1}}{dt}=v_{i-1}.$$

Из одного уравнения неразрывности больше ничего извлечь нельзя.
Чтобы говорить про волны, необходимо еще дифф. уравнение для скорости (уравнение импульса).

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1375906 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1375896

писал(а):
Метрика тут кстати вообще ни при чем
А если ковариантную произодную использовать?

Не совсем, конечно, ни при чем. Возможны два подхода. Пусть $M$ -- гладкое многообразие с локальными координатами $x=(x^1,\ldots x^m)$. На многообразии $M$ задано векторное поле $v(x)$ и дифференциальная форма

$$\omega=\nu(x)dx^1\wedge\ldots \wedge dx^m.$$

Тогда ($L_v$ -- производная Ли)

$$L_v\omega= \frac{\partial (\nu v^i)}{\partial x^i}dx^1\wedge\ldots \wedge dx^m.\qquad(*)$$

Здесь $\nu$ это не функция, а тензорная плотность -- при замене координат умножается на якобиан замены.
Однако, иногда из физических соображений, полезно иметь плотность как функцию, например, если это плотность вещества.
Для этого на многообразии должна быть риманова метрика $g_{ij}$ и соответственно рассматривается форма

$$\psi=\rho(x)\sqrt{g}dx^1\wedge\ldots \wedge dx^m.$$

Здесь $\rho$ -- функция. Из формулы (*) получаем

$$L_v\psi= \mathrm{div}\,(\rho v) \sqrt{g}dx^1\wedge\ldots \wedge dx^m.$$

Здесь $\mathrm{div}$ это уже самая настоящая дивергенция.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1375828 писал(а):

Я не знаю "схем" или "ячеек" (и знать не хочу).

Ну ячейки Лагранжа, когда мы пишем дискретную вычислительную схему для проги. Нам так на вычислительной физике рассказывали

Geen в сообщении #1375906 писал(а):

И прошу у всех прощения, захватывать тему не имел намерения.

Да там все просто через символы Кристоффеля

-- 14.02.2019, 21:42 --

Pphantom в сообщении #1375908 писал(а):

Может быть, проще зайти с другого конца и сначала записать ответ (благо он общеизвестен и тривиально ищется), а уже потом разбираться, почему он именно такой?

$$ \frac{\partial(1/\rho)}{\partial t} - \frac{\partial v}{\partial m} = 0. $$

Полностью согласен с вашим уравнением! Я его собственно и расписал в дискретном случае

Pphantom в сообщении #1375908 писал(а):

Выбор знака проверяется элементарно: если $\frac{\partial v}{\partial m}>0$

Хм, а почему больше? Из-за соглашения, что машины едут в одну сторону?

Pphantom в сообщении #1375908 писал(а):

то в терминах ваших ячеек передний край будет двигаться быстрее заднего, ячейка расширяется (в смысле эйлеровых координат), т.е. плотность падает, т.е. $1/\rho$ растет.

Это все так, только что из этого следует?

Pphantom в сообщении #1375908 писал(а):

А смысл? У вас газ, машины (или что там еще движется) смещаются со временем, соответственно, эйлеровы координаты тоже "поедут", после чего вся последующая деятельность бесполезна.

Так у меня Лагранжевы координаты. Хотя да, мне надо было еще расписать еще уравнения для $x_i$
$x_{i,j+1}=x_{i,j}+v_{i,j} dt$
$x_{i-1,j+1}=x_{i-1,j}+v_{i-1,j}dt$
Т.е. эти ячейки двигаются и растягиваются.

-- 14.02.2019, 21:45 --

DimaM в сообщении #1375942 писал(а):

Что-то странное у вас написано.
Правильные лагранжевы уравнения такие

$$\frac{dx_i}{dt}=v_i,\; \frac{dx_{i-1}}{dt}=v_{i-1}.$$

Написал их выше

DimaM в сообщении #1375942 писал(а):

Из одного уравнения неразрывности больше ничего извлечь нельзя.

Так у меня еще в начале темы $v=C(\rho)$

DimaM в сообщении #1375942 писал(а):

Чтобы говорить про волны, необходимо еще дифф. уравнение для скорости (уравнение импульса).

Так я написал уравнения для скорости в начале

-- 14.02.2019, 21:47 --

Хотя я кажется понял Я привязывал скорость $v_i$ не к скорости относительно дороги, а относительно предыдущей ячейки...

[Pphantom]

Sicker в сообщении #1376057 писал(а):

Ну ячейки Лагранжа, когда мы пишем дискретную вычислительную схему для проги. Нам так на вычислительной физике рассказывали

Так вы уравнение пишете или разностную схему? А то получается помесь дифференциалов с ячейками.

Sicker в сообщении #1376057 писал(а):

Хм, а почему больше?

"Если". Если это не так, получится другой знак.

Sicker в сообщении #1376057 писал(а):

Так у меня Лагранжевы координаты.

Пока еще нет.

Sicker в сообщении #1376057 писал(а):

Я привязывал скорость $v_i$ не к скорости относительно дороги, а относительно предыдущей ячейки...

По-видимому, да. Правда, в такой форме, что понять смысл происходящего затруднительно.

[Sicker]

Pphantom в сообщении #1376064 писал(а):

Так вы уравнение пишете или разностную схему? А то получается помесь дифференциалов с ячейками.

Разностную схему. Да, я за $dx$ обозначил не дифференциал, а приращение $\Delta x$. Думал понятно будет, раз у меня еще дискретные шаги там

Pphantom в сообщении #1376064 писал(а):

"Если". Если это не так, получится другой знак.

И?

Pphantom в сообщении #1376064 писал(а):

Пока еще нет.

Как это пока еще нет? Ведь так же расписывается уравнение газодинамики

Pphantom в сообщении #1376064 писал(а):

По-видимому, да. Правда, в такой форме, что понять смысл происходящего затруднительно.

Нет, я ошибся, я все правильно понимал и записывал...

[Red_Herring]

На самом деле лагранжевы координаты работают только в случае, когда решение непрерывное. Но если $\rho(x,0)$ не монотонно невозрастающая функция, то обязательно образуется ударная волна

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1376077 писал(а):

На самом деле лагранжевы координаты работают только в случае, когда решение непрерывное. Но если $\rho(x,0)$ не монотонно невозрастающая функция, то обязательно образуется ударная волна

Да, согласен, ячейки тогда могут сжаться до нуля...

[DimaM]

Sicker в сообщении #1376057 писал(а):

Так я написал уравнения для скорости в начале

Хотя я кажется понял Я привязывал скорость $v_i$ не к скорости относительно дороги, а относительно предыдущей ячейки...

Понял проблему. Скорость задана в целых точках, а плотность в полуцелых.
Тогда разумно, на мой взгляд, интерполировать плотность в целую точку, например

$$\rho_i=\frac{\rho_{i-1/2}+\rho_{i+1/2}}{2},\quad v_i=v(\rho_i).$$

[Pavia]

Есть определение производной.

$v=\frac{dx}{dt}$
Производная определена для точки, запишем это
$v_i=\frac{dx_i}{dt_i}$
А теперь распишем приращения.
$v_i=\frac{x_{i+1}-x_i}{t_{i+1}-t_i}$

Так же есть определение производной если идти в обратную сторону.
$v_i=\frac{x_{i-1}-x_i}{t_{i-1}-t_i}$

Так что переносить скорость влево ну никак не получается.

Вы конечно можете перенести, но тогда вам придётся разрабатывать свою математику и проверять насколько хорошо она ложится на физику.
А я вам так скажу. Что тут проблема вот в чём у вас скорость становится известна раньше чем изменится время.

Есть критерий реализуемости. Другими словами время всегда идёт вперёд.
$\lim\limits_{i\to \infty} t_{i+1}>t_{i}}$
Этот критерий накладывает физика. К примеру при моделирование фильтров, но в тоже время в КМ такой критерий не используется и там время может идти назад.
Наложение такого дополнительного условия влияет на расчёт производной идущей в обратную сторону.

[DimaM]

Pavia в сообщении #1376097 писал(а):

А теперь распишем приращения.
$v_i=\frac{x_{i+1}-x_i}{t_{i+1}-t_i}$

Что-то странное вы пишете. Индекс у $x$ - это номер точки в пространстве. Правильный числитель должен быть $x_i(t+\Delta t)-x_i(t)$.
Понятно, что обозначать одной буквой пространственные и временные индексы - верный способ запутаться.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1376077 писал(а):

На самом деле лагранжевы координаты работают только в случае, когда решение непрерывное. Но если $\rho(x,0)$ не монотонно невозрастающая функция, то обязательно образуется ударная волна

Даже если $v=0$?

[Pavia]

DimaM
Это не номер в пространстве. Я давал вывод с точки зрения математики. $i$ это индекс в множестве как то принета в матанализе. Но да он совпадает с пространственным.

С точки зрения программиста это индекс в массиве. Он общий для времени и координаты.
Да я ряд выкладок опустил:
$t_{i+1}=t_i+\Delta t$
$x_{i+1}=x_i(t_{i+1})$

[DimaM]

Pavia в сообщении #1376103 писал(а):

С точки зрения программиста это индекс в массиве. Он общий для времени и координаты.

Нет, конечно.
Более того, с точки зрения программиста время - вообще не массив.

Pavia в сообщении #1376103 писал(а):

Да я ряд выкладок опустил:
$t_{i+1}=t_i+\Delta t$
$x_{i+1}=x_i(t_{i+1})$

Это вы уже о чем-то своем, в теме смысл $x_i$ другой.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376101 писал(а):

Даже если $v=0$?

В этой модели предполагается, что $v(\rho)$ монотонно убывающая. Разумеется, это упрощение.