2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1376445 писал(а):
Разрывные решения (математики их, няп, зовут обобщенными) тоже вполне имеют право на жизнь.
. Безусловно, вопрос в другом: какие? Вот в модельной задаче
$u_t +(u^2/2)_x=0$ с $u(x,0)=u_\mp $ при $x\lessgtr 0$ будет

(а) Если $u_->u_+$, то "правильное" решение $u=u_\pm$ . при $x\lessgtr (u_- + u_+)t/2$

(б) Если $u_-< u_+$, то "правильное" решение $u=u_-$ при $x< u_-t$ , $u=u_+$ при $x> u_+t$, и $u=x/t$ при $u_-t<x<u_+t$. Но есть еще и решение, определенное в (а), и куча других рaзрывных решений, и условие диссипации $(u^2/2)_t\le (u^3/3)_x$ (в правильном понимании) их отметает

-- 16.02.2019, 08:19 --

Sicker в сообщении #1376446 писал(а):
Так уравнение нелинейное :-)

Во первых, речь идет о квазилинейных уравнениях и там, где решение непрерывное распространение происходит вдоль характеристик. Но разрывы решения распространяются вдоль других линий, а не характеристик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 16:23 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Red_Herring в сообщении #1376447 писал(а):
Но разрывы решения распространяются вдоль других линий, а не характеристик.

Да, точно :oops: .
Но волна - это ж не обязательно разрыв.

Red_Herring в сообщении #1376447 писал(а):
Вот в модельной задаче
$u_t +(u^2/2)_x=0$ с $u(x,0)=u_\mp $ при $x\lessgtr 0$ будет

Да это не слишком интересно - разрыв сразу имеется. Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 17:22 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
DimaM в сообщении #1376448 писал(а):
Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.

на самом деле тоже неинтересно, уравнение Гамильтона-Якоби, характеристики (тут вообще все явно считается) фокальные точки, Арнольд Мат методы класс мех

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):
на самом деле тоже неинтересно, уравнение Гамильтона-Якоби, характеристики (тут вообще все явно считается) фокальные точки, Арнольд Мат методы класс мех
Момент возникновения разрыва--да, из фокальных точек, а дальше он живет "своей жизнью".

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):
на самом деле тоже неинтересно

Арнольду вот было интересно, он целую книжку про это написал Особенности каустик и волновых фронтов, и не только её...

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение16.02.2019, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Munin в сообщении #1376503 писал(а):
pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):
на самом деле тоже неинтересно

Арнольду вот было интересно, он целую книжку про это написал Особенности каустик и волновых фронтов, и не только её...
Только к этой задаче вопрос о каустиках имеет отношение небольшое. Вот простейший пример: рассмотрим
$$
u_t +(\frac{u^2}{2})_x=0
$$
с начальным условием $u(x,0)= f(x)$, где $f(x)$ определяется как неявная функция $-\frac{f^3}{2}-f=x$. Тогда пока решение гладкое, оно определяется
$$
-\frac{u^3}{2}-u(1-t)=x.\qquad\qquad (*)
$$
Эта малина продолжается до момента $t=1$, после чего (*) может иметь не один, а три корня (ну а каустика будет $t=\frac{3}{2}x^{2/3}+1$. И ниже каустики решение будет определяться из (*), и выше тоже правильное разрывное решение будет определяться из (*), только с выбором: при $x>0$ это самый левый корень, а при $x<0$ самый правый. А разрыв будет (в силу симметрии его найти очень легко) $x=0,\ t\ge 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 07:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1376448 писал(а):
Да это не слишком интересно - разрыв сразу имеется. Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.
Ну а когда 2 разрыва сталкиваются?

Где интересен разрыв из гладких начальных условий? Лет так 10 назад один ученик А.М.Ильина решил задачу асимптотики уравнения с вязкостью, стремящейся к 0, вблизи разрыва решения уравнения без вязкости. На самом деле в обычных точках разрыва все просто: нормальный погранслой, но вот в точке, где разрыв только вылупился, задача резко усложняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 11:22 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Red_Herring в сообщении #1376563 писал(а):
Где интересен разрыв из гладких начальных условий?

В вычислениях. В таких местах у схем повышенной точности порядок снижается до первого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1376581 писал(а):
В вычислениях. В таких местах у схем повышенной точности порядок снижается до первого.
Во-первых непонятно чем "только что вылупившийся разрыв:" хуже, чем "зрелый". Но главное: в таком утверждении хотелось бы точного понимания "первый порядок точности". Ведь если есть разрыв и точное положение нам неизвестно, то на расстоянии порядка $h$ от него порядок вообще нулевой. Но поскольку это безобразие происходит только на таком малом расстоянии от разрыва, ошибка в интегральных характеристиках будет действительно 1го порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 13:49 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Red_Herring в сообщении #1376585 писал(а):
Во-первых непонятно чем "только что вылупившийся разрыв:" хуже, чем "зрелый".

Разрыв, присутствующий в начальных условиях, обычно корректно отрабатывается.

Red_Herring в сообщении #1376585 писал(а):
Но главное: в таком утверждении хотелось бы точного понимания "первый порядок точности".

Как обычно: поведение ошибки при измельчении пространственной сетки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение17.02.2019, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1376598 писал(а):
Как обычно: поведение ошибки при измельчении пространственной сетки.
Ошибки в чем? В решении? Но если мы не знаем, справа или слева мы от разрыва, как можем оценить ошибку, если решение меняется скачком? Поэтому в $L^\infty$ предела нет; только в $L^p$ с $p<\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение25.02.2019, 01:30 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring
Pphantom
Я кажется понял все :-)
То что волна возмущений распространяется назад это тупо следует из уравнения
Red_Herring в сообщении #1375800 писал(а):
Естественно, что в лагранжевых координатах $$\frac{\partial \rho }{\partial t} + \rho \frac{\partial v(\rho )} {\partial x}$$ распространение всегда будет назад. Но назад по отношению к кому? Не к наблюдателю сидящему на обочине, а к водителю машины.

Кстати, если учесть что $\frac{\partial}{\partial x}=\rho \frac{\partial}{\partial m}$, то уравнение можно переписать в лагранжевых координатах
$\frac{\partial \rho }{\partial t} + {\rho}^2 \frac{\partial v(\rho )} {\partial m}$
Если принять $v=\frac{a_0}{\rho}$, то уравнение превращается в
$\frac{\partial v }{\partial t} + a \frac{\partial v(\rho )} {\partial m}$, где скорость равна $a={\rho}^2 \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$, отсюда нормальная скорость ${\rho} \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$ или с учетом неподвижной системы координат $V-{\rho} \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$

-- 25.02.2019, 01:36 --

Red_Herring в сообщении #1376077 писал(а):
На самом деле лагранжевы координаты работают только в случае, когда решение непрерывное. Но если $\rho(x,0)$ не монотонно невозрастающая функция, то обязательно образуется ударная волна

А вот это непонятно, ведь главное чтобы $\rho$ нигде не обращалось в ноль, и тогда в случае $v=\frac{a}{\rho}$ мы вообще получим всюду постоянную скорость, т.е. никаких разрывов и наездов вообще не будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжевы координаты
Сообщение25.02.2019, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Sicker в сообщении #1378220 писал(а):
А вот это непонятно, ведь главное чтобы $\rho$ нигде не обращалось в ноль, и тогда в случае $v=\frac{a}{\rho}$ мы вообще получим всюду постоянную скорость, т.е. никаких разрывов и наездов вообще не будет

Предполагается, что система "истинно нелинейна", что означает что $c'(\rho)\ne 0$, где $c(\rho)= (\rho v(\rho))'$ скорость распространения при данной плотности

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group