Лагранжевы координаты

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1376445 писал(а):

Разрывные решения (математики их, няп, зовут обобщенными) тоже вполне имеют право на жизнь.

. Безусловно, вопрос в другом: какие? Вот в модельной задаче
$u_t +(u^2/2)_x=0$ с $u(x,0)=u_\mp $ при $x\lessgtr 0$ будет

(а) Если $u_->u_+$, то "правильное" решение $u=u_\pm$ . при $x\lessgtr (u_- + u_+)t/2$

(б) Если $u_-< u_+$, то "правильное" решение $u=u_-$ при $x< u_-t$ , $u=u_+$ при $x> u_+t$, и $u=x/t$ при $u_-t<x<u_+t$. Но есть еще и решение, определенное в (а), и куча других рaзрывных решений, и условие диссипации $(u^2/2)_t\le (u^3/3)_x$ (в правильном понимании) их отметает

-- 16.02.2019, 08:19 --

Sicker в сообщении #1376446 писал(а):

Так уравнение нелинейное

Во первых, речь идет о квазилинейных уравнениях и там, где решение непрерывное распространение происходит вдоль характеристик. Но разрывы решения распространяются вдоль других линий, а не характеристик.

[DimaM]

Red_Herring в сообщении #1376447 писал(а):

Но разрывы решения распространяются вдоль других линий, а не характеристик.

Да, точно .
Но волна - это ж не обязательно разрыв.

Red_Herring в сообщении #1376447 писал(а):

Вот в модельной задаче
$u_t +(u^2/2)_x=0$ с $u(x,0)=u_\mp $ при $x\lessgtr 0$ будет

Да это не слишком интересно - разрыв сразу имеется. Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.

[pogulyat_vyshel]

DimaM в сообщении #1376448 писал(а):

Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.

на самом деле тоже неинтересно, уравнение Гамильтона-Якоби, характеристики (тут вообще все явно считается) фокальные точки, Арнольд Мат методы класс мех

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):

на самом деле тоже неинтересно, уравнение Гамильтона-Якоби, характеристики (тут вообще все явно считается) фокальные точки, Арнольд Мат методы класс мех

Момент возникновения разрыва--да, из фокальных точек, а дальше он живет "своей жизнью".

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):

на самом деле тоже неинтересно

Арнольду вот было интересно, он целую книжку про это написал Особенности каустик и волновых фронтов, и не только её...

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1376503 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1376456 писал(а):

на самом деле тоже неинтересно

Арнольду вот было интересно, он целую книжку про это написал Особенности каустик и волновых фронтов, и не только её...

Только к этой задаче вопрос о каустиках имеет отношение небольшое. Вот простейший пример: рассмотрим

$$ u_t +(\frac{u^2}{2})_x=0 $$

с начальным условием $u(x,0)= f(x)$, где $f(x)$ определяется как неявная функция $-\frac{f^3}{2}-f=x$. Тогда пока решение гладкое, оно определяется

$$ -\frac{u^3}{2}-u(1-t)=x.\qquad\qquad (*) $$

Эта малина продолжается до момента $t=1$, после чего (*) может иметь не один, а три корня (ну а каустика будет $t=\frac{3}{2}x^{2/3}+1$. И ниже каустики решение будет определяться из (*), и выше тоже правильное разрывное решение будет определяться из (*), только с выбором: при $x>0$ это самый левый корень, а при $x<0$ самый правый. А разрыв будет (в силу симметрии его найти очень легко) $x=0,\ t\ge 1$.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1376448 писал(а):

Да это не слишком интересно - разрыв сразу имеется. Интересно, когда разрыв вырастает из гладких начальных условий.

Ну а когда 2 разрыва сталкиваются?

Где интересен разрыв из гладких начальных условий? Лет так 10 назад один ученик А.М.Ильина решил задачу асимптотики уравнения с вязкостью, стремящейся к 0, вблизи разрыва решения уравнения без вязкости. На самом деле в обычных точках разрыва все просто: нормальный погранслой, но вот в точке, где разрыв только вылупился, задача резко усложняется.

[DimaM]

Red_Herring в сообщении #1376563 писал(а):

Где интересен разрыв из гладких начальных условий?

В вычислениях. В таких местах у схем повышенной точности порядок снижается до первого.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1376581 писал(а):

В вычислениях. В таких местах у схем повышенной точности порядок снижается до первого.

Во-первых непонятно чем "только что вылупившийся разрыв:" хуже, чем "зрелый". Но главное: в таком утверждении хотелось бы точного понимания "первый порядок точности". Ведь если есть разрыв и точное положение нам неизвестно, то на расстоянии порядка $h$ от него порядок вообще нулевой. Но поскольку это безобразие происходит только на таком малом расстоянии от разрыва, ошибка в интегральных характеристиках будет действительно 1го порядка.

[DimaM]

Red_Herring в сообщении #1376585 писал(а):

Во-первых непонятно чем "только что вылупившийся разрыв:" хуже, чем "зрелый".

Разрыв, присутствующий в начальных условиях, обычно корректно отрабатывается.

Red_Herring в сообщении #1376585 писал(а):

Но главное: в таком утверждении хотелось бы точного понимания "первый порядок точности".

Как обычно: поведение ошибки при измельчении пространственной сетки.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1376598 писал(а):

Как обычно: поведение ошибки при измельчении пространственной сетки.

Ошибки в чем? В решении? Но если мы не знаем, справа или слева мы от разрыва, как можем оценить ошибку, если решение меняется скачком? Поэтому в $L^\infty$ предела нет; только в $L^p$ с $p<\infty$

[Sicker]

Red_Herring
Pphantom
Я кажется понял все
То что волна возмущений распространяется назад это тупо следует из уравнения

Red_Herring в сообщении #1375800 писал(а):

Естественно, что в лагранжевых координатах

$$\frac{\partial \rho }{\partial t} + \rho \frac{\partial v(\rho )} {\partial x}$$

распространение всегда будет назад. Но назад по отношению к кому? Не к наблюдателю сидящему на обочине, а к водителю машины.

Кстати, если учесть что $\frac{\partial}{\partial x}=\rho \frac{\partial}{\partial m}$, то уравнение можно переписать в лагранжевых координатах
$\frac{\partial \rho }{\partial t} + {\rho}^2 \frac{\partial v(\rho )} {\partial m}$
Если принять $v=\frac{a_0}{\rho}$, то уравнение превращается в
$\frac{\partial v }{\partial t} + a \frac{\partial v(\rho )} {\partial m}$, где скорость равна $a={\rho}^2 \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$, отсюда нормальная скорость ${\rho} \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$ или с учетом неподвижной системы координат $V-{\rho} \frac{\partial v(\rho)}{\partial \rho}$

-- 25.02.2019, 01:36 --

Red_Herring в сообщении #1376077 писал(а):

На самом деле лагранжевы координаты работают только в случае, когда решение непрерывное. Но если $\rho(x,0)$ не монотонно невозрастающая функция, то обязательно образуется ударная волна

А вот это непонятно, ведь главное чтобы $\rho$ нигде не обращалось в ноль, и тогда в случае $v=\frac{a}{\rho}$ мы вообще получим всюду постоянную скорость, т.е. никаких разрывов и наездов вообще не будет

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1378220 писал(а):

А вот это непонятно, ведь главное чтобы $\rho$ нигде не обращалось в ноль, и тогда в случае $v=\frac{a}{\rho}$ мы вообще получим всюду постоянную скорость, т.е. никаких разрывов и наездов вообще не будет

Предполагается, что система "истинно нелинейна", что означает что $c'(\rho)\ne 0$, где $c(\rho)= (\rho v(\rho))'$ скорость распространения при данной плотности