Корень vs. степень: область определения

[arseniiv]

(Оффтоп)

Есть. Как понимаю, их скрывают на страницах наднадразделов, чтобы люди не ходили туда если у них нет специальной цели. Не знаю, насколько это полезно.

[Someone]

project15 в сообщении #1372518 писал(а):

Эквивалентность корней и дробных степеней, на мой взгляд, серьезное преимущество.

Она нафиг не нужна. Тем более — ценой резкого сужения области применения корней. И тем более, что степени с рациональными показателями сами по себе особо и не нужны. Это, в основном, промежуточный этап для введения степеней с действительными показателями.

[project15]

Someone

project15 в сообщении #1372518 писал(а):

В конце концов все сводится к вопросу - определять ли степени с отрицательным основанием и дробным несократимым нечетным показателем? Я думаю, что не стоит. А что думаете вы?

А по этому поводу что думаете?

[Munin]

У операции "возведение в степень" нет никаких "несократимых" или "сократимых" показателей. У неё есть два операнда: основание и показатель. И то и другое - число.

[Someone]

Вот именно. И, поскольку $\frac 35=\frac 6{10}$, то функции $x^{\frac 35}$ и $x^{\frac 6{10}}$ должны иметь одинаковые области определения, и во всей области определения должно выполняться равенство $x^{\frac 35}=x^{\frac 6{10}}$.
В то же время различие между $\sqrt[5]{x^3}$ и $\sqrt[10]{x^6}$ является вполне осмысленным. Это ещё одна причина, почему никакой "эквивалентности" между корнями и степенями нет, и не надо её хотеть.

-- Вт янв 29, 2019 13:00:37 --

project15 в сообщении #1372585 писал(а):

Someone

project15 в сообщении #1372518 писал(а):

В конце концов все сводится к вопросу - определять ли степени с отрицательным основанием и дробным несократимым нечетным показателем? Я думаю, что не стоит. А что думаете вы?

А по этому поводу что думаете?

Я думаю, что степени с рациональными показателями следует определять только для неотрицательных оснований.
Причины:
1) уже указанная выше независимость степени от формы записи показателя (определение степени через корни как раз зависит от этой формы);
2) также уже говорилось, что степени с рациональными показателями сами по себе малоинтересны и служат промежуточным этапом для определения степеней с произвольными действительными показателями; при этом нужно иметь в виду, что естественным образом степень с действительным показателем определяется только для неотрицательного основания, а любые возможные продолжения в область отрицательных оснований не согласуются с комплексным анализом.

[Dmitriy40]

Someone
Хм, Вы даже меня убедили (хотя я был другого мнения), проще/лучше корень считать отдельной операцией, лишь иногда случайно совпадающей с рациональной степенью.

[Free_Student]

Кстати, хорошая тема. Всегда удивляли эти залихватские переходы от корней к степеням в курсе матана при рассмотрении неопределённых интегралов. Вот такого типа:

$$ \int\sqrt[3]{x}dx=\int{x^{\frac{1}{3}}}dx=\frac{3x^\frac{4}{3}}{4}+C=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}+C. $$

Мне кажется, что верное решение будет таким:

$$ \int\sqrt[3]{x}dx = sgn(x)\cdot\int{|x|^{\frac{1}{3}}}dx= \int{|x|^{\frac{1}{3}}}d(|x|)= \frac{3|x|^\frac{4}{3}}{4}+C=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}+C $$

Однако в решебниках мне такое не попадалось.

[GAA]

Free_Student, нужно просто в разделе «дифференцирование» показать, что производная корня $\sqrt[n] x$ для случая нечётных $n$ и $-\infty <x< 0 \cup 0 <x< +\infty $ имеет тот же вид, что и производная степени $x^\alpha$, $x>0$, если считать, что $\alpha = 1/n$.
[Производная $x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)$ выводится при помощи теоремы о производной сложной функции, а также производных экспоненты и логарифма.]
Строка же из таблицы интегралов, уже просто следует из соответствующей строки таблицы производных.

-- Tue 12.02.2019 10:24:26 --

Ну а степени [с «рациональным показателем»] можно понимать как «сокращение» для комбинации корня и [целой] степени.

Upd. Впрочем, при аккуратном изложении $\left(\sqrt [n] x \right)'= \frac 1 n \frac {\sqrt [n] x} x$.

[Free_Student]

GAA, полагаю, что вы правы насчёт необходимости обоснования формулы для корней в разделе дифференцирования. Можно вообще оставить готовую формулу для корней, тогда переход к степеням будет в интегралах не нужен. Правда, мне кажется такой подход немного нерациональным, так как добавит лишних обоснований формул, в то время как при аккуратных преобразованиях можно обойтись существующими формулами - просто учитывать, где это нужно, функцию знака. В любом случае, переход от степени к корню обосновывать нужно, а этих обоснований авторы книг делать не спешат. Впрочем, отчего-то в разделах с неопределёнными интегралами допускаются и иные вольности - вынесение из-под корня степени без модуля, например, преобразования такого типа: $\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}$ записываются без модуля в знаменателе.

GAA:

Не относящееся к данной теме обсуждение неопределённого интеграла перемещено в тему «Очередная шаурма с неопределенным интегралом».