Мистика чисел

[maxal]

juna, повторяетесь: http://dxdy.ru/topic13593.html

[Батороев]

juna писал(а):

Батороев писал(а):

$ 1^3+2^3+3^3+4^3+... + n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2 $

Это слишком тривиально, вернее общеизвестно.

Я привел это тождество, как "порождающее не аналогичные группы равенств", а не как мистическое.

[Nataly-Mak]

juna писал(а):

Батороев писал(а):

$ 1^3+2^3+3^3+4^3+... + n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2 $

Это слишком тривиально, вернее общеизвестно. Предлагаю обобщить: найти произвольные целые $a_1,a_2,a_3...$, сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.
Например, $1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+4^3+6^3+8^3=(1+2+2+3+4+4+6+8)^2$.
Привести другие подобные примеры, указать регулярный алгоритм получения таких равенств.

В приведённом вами примере числа повторяются. Составив простенькую программку, я нашла сразу 10 решений (прервав программу), в которых тоже числа повторяются. Вот эти решения (чтобы не выписывать кубы и квадраты, пишу просто набор чисел):
1 2 2 4 1 2 2 3 5 1 1 1 4 4 5 1 1 2 4 5 5 1 1 1 2 2 5 1 2 2 3 4 6 1 1 2 2 5 5 6 1 1 1 1 2 2 5 6 1 1 1 1 2 3 3 6 7 1 2 3 3 3 3 4 5 9 9 1 1 1 1 2 2 2 3 5 5 6 10
Предлагаю поставить условие, что все числа должны быть различны (как в исходном тождестве). Есть ли решение с таким условием?
Понятно, что мой алгоритм поиска таких чисел нельзя назвать регулярным (он основан на функции случайных чисел). Интересно было бы посмотреть на регулярный алгоритм решения этой задачи (при условии различности чисел).

[juna]

maxal писал(а):

juna, повторяетесь: http://dxdy.ru/topic13593.html

Нет, это другая задача. Во-первых, там последовательные квадраты, во-вторых, $b$ - любое число.

Nataly-Mak писал(а):

Предлагаю поставить условие, что все числа должны быть различны (как в исходном тождестве). Есть ли решение с таким условием?

Скорее всего, в такой постановке решений нет, кроме последовательных чисел.

Nataly-Mak писал(а):

Понятно, что мой алгоритм поиска таких чисел нельзя назвать регулярным (он основан на функции случайных чисел).

Да, это нерегулярный алгоритм. Что если Вас попросят построить такую последовательность из 100 чисел.

[Nataly-Mak]

juna писал(а):

Скорее всего, в такой постановке решений нет, кроме последовательных чисел.

Вы уверены, что нет?
А вот если рассматривать не только натуральные числа, а любые целые (как вы, впрочем, и написали), тогда будут решения, кроме этого тривиального: (?)
$n^3 + (-n)^3 + (n+1)^3 + (-(n+1))^3 + ... +(n+k)^3 +(-(n+k))^3 = [n + (-n) + (n+1) + (-(n+1)) + ... + (n+k) + (-(n+k))]^2$
Мой алгоритм нерегулярный, но дело совсем не в количестве чисел в последовательности. Погоняв программу 3 минуты, я получила последовательность из 39 чисел:
1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 7 7 7 8 12 12 12 12 12 13 13 13 13 15 16 16 17 17 22 25 30 32 36
Если расширить диапазон чисел в моей программе и погонять её подольше, можно и из 100 чисел последовательность получить. Нерегулярный он именно из-за случайности чисел в последовательности.

[juna]

Вот пример такой последовательности (найденной на листочке бумаги):
$\{1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,6,6,6,7,8,8,8,9,9,10,10,10,11,12,12,12,12,13,14,14,15,15,15,16,$
$16,16,17,18,18,18,19,20,20,20,20,21,22,24,24,24,25,26,27,28,28,30,30,30,32,32,33,34,$
$35,36,36,36,38,39,40,40,40,42,44,45,45,48,48,50,51,52,54,55,56,57,60,60,60,64,65,$
$68,70,72,75,76,80,80,85,90,95,100\}$

Добавлено спустя 3 минуты 35 секунд:

Nataly-Mak писал(а):

Вы уверены, что нет?

Уверен настолько, насколько мой регулярный алгоритм не позволяет их построить. Но я не знаю, можно ли доказать его достаточность и необходимость.

[Nataly-Mak]

А позволяет ли ваш регулярный алгоритм построить такую последовательность чисел, в которой числа, хотя и повторяются, но следуют по порядку? То есть вот так:
$\(1,...1, 2,...2, 3,...3, 4,...4, ... n-1,...n-1, n,...n$
Моя программа не нашла ни одного такого решения. Существует ли оно вообще?

[juna]

Пришло время показать этот алгоритм. Его придумал Лиувилль, и рассказывается о нем в книге Кордемского.
Возьмем например число $2^2\cdot 3$. Оно имеет $3\cdot 2=6$ делителей, это $1,2,3,2^2,2\cdot 3,2^2\cdot 3 $. Найдем количество делителей у этих делителей, это $1,2,2,3,4,6$. Полученные числа удовлетворяют соотношению: $1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3=(1+2+2+3+4+6)^2$

[Nataly-Mak]

Я думала, вы действительно сами алгоритм сочинили! Если вам алгоритм был уже известен, зачем было ставить эту задачу.
А меня вот восхищает последовательность чисел Фибоначчи.
Легенду про Фибоначчи знаете? Вот она:
Прослышав о необыкновенных способностях Леонардо, в 1225 году в Пизу прибыл государь Римской империи Фридрих II в сопровождении группы математиков. желающих публично испытать Фибоначчи. Одна из задач, предложенных на турнире, имела следующее содержание: "Найти полный квадрат, остающийся полным квадратом как после уменьшения, так и после увеличения его на 5 (полным квадратом называется число, из которого точно извлекается квадратный корень)".
Фибоначчи после некоторых размышлений нашёл это число. А вы можете найти его так, как нашёл Фибоначчи, то есть "после некоторых размышлений"?
Вот последовательность чисел Фибоначчи:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...
В этой последовательности каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов. Двенадцатый член последовательности Фибоначчи равен квадрату своего номера. Существуют ли ещё такие члены в последовательности Фибоначчи? Ответ отрицательный. Вы можете это доказать?

[Narn]

Nataly-Mak в сообщении #139946 писал(а):

Двенадцатый член последовательности Фибоначчи равен квадрату своего номера. Существуют ли ещё такие члены в последовательности Фибоначчи? Ответ отрицательный. Вы можете это доказать?

Можем . Следует сразу из формулы для чисел Фибоначчи (растут-то они примерно как геометричекая прогрессия).

[Nataly-Mak]

Не совсем понятное доказательство Нельзя ли подробнее?

[Brukvalub]

Например, вот здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 приведены ф-лы Бине, которые позволяют оценить снизу скорость роста чисел Фибоначчи. Эта оценка показывает, что последовательность Фибоначчи растет быстрее последовательности квадратов номеров этих чисел. Поэтому встретиться более одного раза эти последовательности не могут.

[Nataly-Mak]

Вот теперь понятно
А существует ли такой член последовательности Фибоначчи, который равен кубу своего номера (кроме, конечно, первого члена)?

[Brukvalub]

Nataly-Mak в сообщении #140035 писал(а):

А существует ли такой член последовательности Фибоначчи, который равен кубу своего номера (кроме, конечно, первого члена)?

Нетрудно найти номер, начиная с которого число Фибоначчи становится больше куба своего номера. Затем останется перебрать числа Фибоначчи с меньшими номерами.

[Nataly-Mak]

Да алгоритм-то понятен. Много ли чисел перебирать придётся?
Я не находила тот номер, с которого число из последовательности Фибоначчи будет больше куба своего номера, а просто перебрала по программе первые 170 членов последовательности. Среди них не нашлось такого, который равен кубу своего номера. А после 170-ого члена мой Бейсик не хочет работать - преполнение (слишком большое число получается).
На форум моего сайта как-то прислали ссылку: ‹…›
Я подумала, что там что-то о магических квадратах (это моя любимая тема) и пошла посмотреть. Ну, не знаю, есть ли тут мистика? Но как символ этот отгадывается? Я проделала это раз семь, и каждый раз символ был угадан правильно. Потом я взяла и просто щёлкнула по чёрному квадрату, не задумывая никакое число, символ появился и в этом случае.

ссылка удалена // нг

Добавлено спустя 26 минут 58 секунд:

А-а-а! Кажется, нашла ответ. Уже с 21-ого члена числа последовательности Фибоначчи больше куба их номера. А среди первых 20 членов нет такого, который равен кубу своего номера. Значит, задача решена?