2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 13  След.
 
 
Сообщение29.07.2008, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
2111
Москва
Вот здесь мы это обсуждали.

 Профиль  
                  
 
 Криптарифмы
Сообщение30.07.2008, 04:50 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Спасибо за ссылку, с большим интересом прочла это обсуждение.
И о числах Армстронга напомнили старой... Открыла сейчас рукопись своей книги [url]“Компьютер решает головоломки”[/url] и нашла в ней задачу о числах Армстронга.
А вот ещё в рукописи этой увидела мимоходом интересный криптарифм (криптарифмы - это такие задачки, в которых цифры заменены буквами или другими символами, звёздочкой, например; в моей книжке очень много криптарифмов, которые решаются с помощью компьютера):
sqr(xx - y) = z

sqr(xxxx - yy) = zz

sqr(xxxxxx - yyy) = zzz

...

sqr(xx...xx - y...y) = z...z
Задачка в рукописи моей решена и доказано, что криптарифм верен для любого натурального n (n - количество х-ов; количество у-ов и z-ов равно n/2).
Может быть, числа, удовлетворяющие этому криптарифму, тоже имеют какое-то название?
Одно из решений криптарифма:
sqr(4444 - 88) = 66
(sqr означает квадратный корень; подскажите, пожалуйста, как здесь писать знак квадратного корня :oops: )

рекламная ссылка удалена // нг

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2008, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
2111
Москва
VAL писал(а):
$$    7442 + 28658  = 190^2 $$
                      $$   7442 + 148583 = 395^2 $$
                      $$    7442 + 177458 = 430^2 $$
                      $$    7442 +  763442 = 878^2 $$
                      $$    28658 + 148583 = 421^2 $$
                      $$    28658 + 177458 = 454^2 $$
                      $$    28658 + 763442 = 890^2 $$
                      $$   148583 + 177458 = 571^2 $$
                      $$   148583 + 763442 = 955^2 $$
                      $$   177458 + 763442 = 970^2 $$

Интересно, это минимально возможные решения?
Интересно также, как Вы их нашли - формировали базу из более коротких типа (104, 296, 380) и потом искали пересечения или по-другому?
Nataly-Mak писал(а):
(sqr означает квадратный корень; подскажите, пожалуйста, как здесь писать знак квадратного корня)

sqr - это как раз квадрат, а корень sqrt. Для того, чтобы написать это в теге math окружайте выражение знаками доллара $.
Например, $\sqrt{xxx-999}$ выглядит так
Код:
$\sqrt{xxx-999}$

Есть тема, где все эти вопросы разбираюся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2008, 20:39 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Благодарю за подсказку!
А вот эти красивые равенства с чем-нибудь связаны? Я получила их обобщением пифагоровой тройки и известной задачи с картины Богданова-Бельского "Устный счёт".
$10^2 + 6*4^2 = 14^2$

$21^2 + 8*6^2 = 27^2$

$36^2 + 10*8^2 =44^2$

$55^2 + 12*10^2 =65^2$

$78^2 + 14*12^2 = 90^2$

$105^2 + 16*14^2 = 119^2$

$136^2 + 18*16^2 = 152^2$

$171^2 + 20*18^2 = 189^2$

$210^2 + 22*20^2 = 230^2$

$253^2 + 24*22^2 = 275^2$

$300^2 + 26*24^2 = 324^2$
и так далее
При этом основания квадратов слева и справа вычисляются по определённой формуле, то есть можно писать эти равенства дальше, ничего не вычисляя.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2008, 21:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Nataly-Mak писал(а):
А вот эти красивые равенства с чем-нибудь связаны? Я получила их обобщением пифагоровой тройки и известной задачи с картины Богданова-Бельского "Устный счёт".
$10^2 + 6*4^2 = 14^2$

$21^2 + 8*6^2 = 27^2$

Ну так это просто тривиальное тождество:
$$(n(2n+1))^2 + (2n+2)\cdot (2n)^2 = (n(2n+3))^2$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2008, 04:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
А ещё можете привести тривиальные тождества, порождающие такие красивые равенства :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2008, 05:02 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Извините, но я не понимаю что значит "красивое" в данном контексте. Равенства как равенства, ничего особенного.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2008, 08:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Извиняю.Жаль, что вы не видите красоту в гармоничных равенствах. Магический квадрат, воспроизведённый на гравюре Дюрера, тоже не представляет собой ничего особенного, квадрат как квадрат, каких десятки или сотни. И стоило его на картину помещать!
Ну тогда приведите просто тривиальное тождество, порождающее группу равенств, не представляющих ничего особенного (но хоть с какой-нибудь "изюминкой" :wink: )
Да, я потеряла самое первое равенство:
$3^2 + 4*2^2 = 5^2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2008, 14:04 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Несколько обобщив пример maxala
$(n(an+c))^2+(an+\frac{b+c}{2})\frac{b-c}{2} (2n)^2=(n(an+b))^2$,
где b и c числа одинаковой чётности, например b=c+2 дает
$(n(an+c))^2+(an+c+1)(2n)^2=(n(an+c+2))^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2008, 16:51 


23/01/07
3516
Новосибирск
Nataly-Mak писал(а):
А ещё можете привести тривиальные тождества, порождающие такие красивые равенства :?:


$ 5^2 + 6*4^2 = 11^2 $
$ 14^2 + 8*6^2 = 22^2 $
$ 27^2 + 10*8^2 = 37^2 $
$ 44^2 + 12*10^2= 56^2 $
$ 65^2 + 14*12^2 = 79^2 $
$ 90^2 + 16*14^2 = 106^2 $ и так далее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2008, 05:15 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Отличное тождество привёл Руст. При a=2, c=3 получаем аналогичную группу равенств:
$5^2 + 6*2^2 = 7^2

14^2 + 8*4^2 = 18^2

27^2 + 10*6^2 =33^2 и т. д.
Пожалуйста, ещё тождества, порождающие не аналогичные группы равенств :!:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2008, 12:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Нашла в книге "Московские математические олимпиады" (М.: Просвещение, 1986) интересное тождество, из которого получила такую группу равенств:
$0^2 + 2*6^2 +8^2 = 2^2 + 2*4^2 + 10^2

1^2 +2*7^2 +9^2 = 3^2 +2*5^2 + 11^2

2^2 +2*8^2 + 10^2 = 4^2 +2*6^2 +12^2

3^2 + 2*9^2 + 11^2 = 5^2 +2*7^2 + 13^2

4^2 + 2*10^2 + 12^2 = 6^2 +2*8^2 + 14^2

5^2 + 2*11^2 + 13^2 = 7^2 + 2*9^2 + 15^2$ и т.д.
Понятно, что эту группу равенств даёт такое тождество:
$n^2 + 2(n+6)^2 + (n+8)^2 = (n+2)^2 + 2(n+4)^2 + (n+10)^2$
А тождество из книжки, которое даёт много аналогичных групп равенств, выглядит так:
$(ax + by + cz +du)^2 + (bx + cy + dz + au)^2 + (cx + dy + az + bu)^2 + (dx + ay + bz + cu)^2 = (dx + cy + bz +au)^2 + (cx + by + az + du)^2 + (bx + ay + dz + cu)^2 + (ax + dy + cz + bu)^2$
Можно ли обобщить тождество, в котором одна переменная n, подобно тому, как это сделал Руст?
Возможно, всё это довольно тривиально, но всё равно интересно :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2008, 13:53 


23/01/07
3516
Новосибирск
Nataly-Mak писал(а):
Отличное тождество привёл Руст. При a=2, c=3 получаем аналогичную группу равенств:
$5^2 + 6*2^2 = 7^2

14^2 + 8*4^2 = 18^2

27^2 + 10*6^2 =33^2 и т. д.


Обычные тождества, получаемые из $ N = ab =(\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2 $.

В данном случае имеется число $ N = (n+4)n^2 $.
В качестве $ b $ принимается $ n $.

Nataly-Mak писал(а):
Пожалуйста, ещё тождества, порождающие не аналогичные группы равенств :!:


$ 1^3+2^3+3^3+4^3+... + n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2 $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2008, 16:40 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
$1+3+5+7+\ldots+(2n-1)=n^2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2008, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
2111
Москва
Батороев писал(а):
$ 1^3+2^3+3^3+4^3+... + n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2 $

Это слишком тривиально, вернее общеизвестно. Предлагаю обобщить: найти произвольные целые $a_1,a_2,a_3...$, сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.
Например, $1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+4^3+6^3+8^3=(1+2+2+3+4+4+6+8)^2$.
Привести другие подобные примеры, указать регулярный алгоритм получения таких равенств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 189 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 13  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group