Мистика чисел

[juna]

Вот здесь мы это обсуждали.

[Nataly-Mak]

Спасибо за ссылку, с большим интересом прочла это обсуждение.
И о числах Армстронга напомнили старой... Открыла сейчас рукопись своей книги [url]“Компьютер решает головоломки”[/url] и нашла в ней задачу о числах Армстронга.
А вот ещё в рукописи этой увидела мимоходом интересный криптарифм (криптарифмы - это такие задачки, в которых цифры заменены буквами или другими символами, звёздочкой, например; в моей книжке очень много криптарифмов, которые решаются с помощью компьютера):
sqr(xx - y) = z sqr(xxxx - yy) = zz sqr(xxxxxx - yyy) = zzz ... sqr(xx...xx - y...y) = z...z
Задачка в рукописи моей решена и доказано, что криптарифм верен для любого натурального n (n - количество х-ов; количество у-ов и z-ов равно n/2).
Может быть, числа, удовлетворяющие этому криптарифму, тоже имеют какое-то название?
Одно из решений криптарифма:
sqr(4444 - 88) = 66
(sqr означает квадратный корень; подскажите, пожалуйста, как здесь писать знак квадратного корня )

рекламная ссылка удалена // нг

[juna]

VAL писал(а):

$$ 7442 + 28658 = 190^2 $$ $$ 7442 + 148583 = 395^2 $$ $$ 7442 + 177458 = 430^2 $$ $$ 7442 + 763442 = 878^2 $$ $$ 28658 + 148583 = 421^2 $$ $$ 28658 + 177458 = 454^2 $$ $$ 28658 + 763442 = 890^2 $$ $$ 148583 + 177458 = 571^2 $$ $$ 148583 + 763442 = 955^2 $$ $$ 177458 + 763442 = 970^2 $$

Интересно, это минимально возможные решения?
Интересно также, как Вы их нашли - формировали базу из более коротких типа (104, 296, 380) и потом искали пересечения или по-другому?

Nataly-Mak писал(а):

(sqr означает квадратный корень; подскажите, пожалуйста, как здесь писать знак квадратного корня)

sqr - это как раз квадрат, а корень sqrt. Для того, чтобы написать это в теге math окружайте выражение знаками доллара $.
Например, $\sqrt{xxx-999}$ выглядит так

$\sqrt{xxx-999}$ 

Есть тема, где все эти вопросы разбираюся.

[Nataly-Mak]

Благодарю за подсказку!
А вот эти красивые равенства с чем-нибудь связаны? Я получила их обобщением пифагоровой тройки и известной задачи с картины Богданова-Бельского "Устный счёт".
$10^2 + 6*4^2 = 14^2$ $21^2 + 8*6^2 = 27^2$ $36^2 + 10*8^2 =44^2$ $55^2 + 12*10^2 =65^2$ $78^2 + 14*12^2 = 90^2$ $105^2 + 16*14^2 = 119^2$ $136^2 + 18*16^2 = 152^2$ $171^2 + 20*18^2 = 189^2$ $210^2 + 22*20^2 = 230^2$ $253^2 + 24*22^2 = 275^2$ $300^2 + 26*24^2 = 324^2$ и так далее
При этом основания квадратов слева и справа вычисляются по определённой формуле, то есть можно писать эти равенства дальше, ничего не вычисляя.

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

А вот эти красивые равенства с чем-нибудь связаны? Я получила их обобщением пифагоровой тройки и известной задачи с картины Богданова-Бельского "Устный счёт".
$10^2 + 6*4^2 = 14^2$ $21^2 + 8*6^2 = 27^2$

Ну так это просто тривиальное тождество:

$$(n(2n+1))^2 + (2n+2)\cdot (2n)^2 = (n(2n+3))^2$$

[Nataly-Mak]

А ещё можете привести тривиальные тождества, порождающие такие красивые равенства

[maxal]

Извините, но я не понимаю что значит "красивое" в данном контексте. Равенства как равенства, ничего особенного.

[Nataly-Mak]

Извиняю.Жаль, что вы не видите красоту в гармоничных равенствах. Магический квадрат, воспроизведённый на гравюре Дюрера, тоже не представляет собой ничего особенного, квадрат как квадрат, каких десятки или сотни. И стоило его на картину помещать!
Ну тогда приведите просто тривиальное тождество, порождающее группу равенств, не представляющих ничего особенного (но хоть с какой-нибудь "изюминкой" )
Да, я потеряла самое первое равенство:
$3^2 + 4*2^2 = 5^2$

[Руст]

Несколько обобщив пример maxala
$(n(an+c))^2+(an+\frac{b+c}{2})\frac{b-c}{2} (2n)^2=(n(an+b))^2$,
где b и c числа одинаковой чётности, например b=c+2 дает
$(n(an+c))^2+(an+c+1)(2n)^2=(n(an+c+2))^2$.

[Батороев]

Nataly-Mak писал(а):

А ещё можете привести тривиальные тождества, порождающие такие красивые равенства

$ 5^2 + 6*4^2 = 11^2 $
$ 14^2 + 8*6^2 = 22^2 $
$ 27^2 + 10*8^2 = 37^2 $
$ 44^2 + 12*10^2= 56^2 $
$ 65^2 + 14*12^2 = 79^2 $
$ 90^2 + 16*14^2 = 106^2 $ и так далее.

[Nataly-Mak]

Отличное тождество привёл Руст. При a=2, c=3 получаем аналогичную группу равенств:
$5^2 + 6*2^2 = 7^2 14^2 + 8*4^2 = 18^2 27^2 + 10*6^2 =33^2 и т. д.
Пожалуйста, ещё тождества, порождающие не аналогичные группы равенств

[Nataly-Mak]

Нашла в книге "Московские математические олимпиады" (М.: Просвещение, 1986) интересное тождество, из которого получила такую группу равенств:
$0^2 + 2*6^2 +8^2 = 2^2 + 2*4^2 + 10^2 1^2 +2*7^2 +9^2 = 3^2 +2*5^2 + 11^2 2^2 +2*8^2 + 10^2 = 4^2 +2*6^2 +12^2 3^2 + 2*9^2 + 11^2 = 5^2 +2*7^2 + 13^2 4^2 + 2*10^2 + 12^2 = 6^2 +2*8^2 + 14^2 5^2 + 2*11^2 + 13^2 = 7^2 + 2*9^2 + 15^2$ и т.д.
Понятно, что эту группу равенств даёт такое тождество:
$n^2 + 2(n+6)^2 + (n+8)^2 = (n+2)^2 + 2(n+4)^2 + (n+10)^2$
А тождество из книжки, которое даёт много аналогичных групп равенств, выглядит так:
$(ax + by + cz +du)^2 + (bx + cy + dz + au)^2 + (cx + dy + az + bu)^2 + (dx + ay + bz + cu)^2 = (dx + cy + bz +au)^2 + (cx + by + az + du)^2 + (bx + ay + dz + cu)^2 + (ax + dy + cz + bu)^2$
Можно ли обобщить тождество, в котором одна переменная n, подобно тому, как это сделал Руст?
Возможно, всё это довольно тривиально, но всё равно интересно

[Батороев]

Nataly-Mak писал(а):

Отличное тождество привёл Руст. При a=2, c=3 получаем аналогичную группу равенств:
$5^2 + 6*2^2 = 7^2 14^2 + 8*4^2 = 18^2 27^2 + 10*6^2 =33^2 и т. д.

Обычные тождества, получаемые из $ N = ab =(\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2 $.

В данном случае имеется число $ N = (n+4)n^2 $.
В качестве $ b $ принимается $ n $.

Nataly-Mak писал(а):

Пожалуйста, ещё тождества, порождающие не аналогичные группы равенств

$ 1^3+2^3+3^3+4^3+... + n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2 $

[MaximKat]

$1+3+5+7+\ldots+(2n-1)=n^2$

[juna]

Батороев писал(а):

$ 1^3+2^3+3^3+4^3+... + n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2 $

Это слишком тривиально, вернее общеизвестно. Предлагаю обобщить: найти произвольные целые $a_1,a_2,a_3...$, сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.
Например, $1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+4^3+6^3+8^3=(1+2+2+3+4+4+6+8)^2$.
Привести другие подобные примеры, указать регулярный алгоритм получения таких равенств.