Висящая массивная пружина

[Rusit8800]

wrest в сообщении #1367561 писал(а):

Я еще вижу, по вашему поведению на форуме, что вы быстро теряете интерес, не доводите задачи до конца до наступления полной ясности для вас самого, так чтобы вы могли объяснить в вашем решении каждый шаг, каждую букву. Лично мне это не кажется правильной привычкой, но навязывать это мнение не буду - вот один раз пишу, и всё.

Должен сказать, что насчет данной привычки вы были бы правы только до 31 декабря того года - в новой году, с 1 января мне что-то в голову ударило - я вдруг изменился и стал решать задачи по другому. Скорее всего вы сейчас усмехнулись, но это факт - не знаю почему, но я вдруг стал получать огромное удовольствие от аккуратного решения задач: все должно быть понятно и аккуратно расписано, почерк должен быть красивым, все вычисления должны быть проведены аккуратно, все выкладки расписаны, чтобы вероятность ошибиться была минимальной. Раньше из-за того, что я считал эту процедуру скучной и неинтересной, я на всех олимпиадах делал тупейшие ошибки, поскольку не привык делать все аккуратно. Я раньше думал, что задача человека - решать исключительно сложные и содержательные задачи, а совершать даже самые простейшие выкладки - задача исключительно для компа. Сейчас я полностью осознал, что крош цена "математику/физику",который думает, ведь чтобы решать сложные задачи нужно аккуратно решать простые подзадачи, иначе никогда к решению сложной задачи прийти будет нельзя! Моя жизнь это показала. Сейчас я вообще получаю эстетическое удовольствие от аккуратно записанных решений - у меня черновики стали выглядеть лучше, чем раньше выглядели чистовики, а вероятность ошибок почти снизилась до нуля! Аккуратность, как показал опыт, играет ключевую роль. Я понял, что процедура аккуратной записи решения вовсе не скучна, а очень интересна - она также приятна, как создание фигурок оригами, в которые ты душу вкладываешь. Я недавно также заметил, что как только я, например от усталости, перестаю все подробно и скрупулезно расписывать, то сразу же нарываюсь на ошибки, так что мне еще предстоит поработать над выносливостью. Похоже мне придется быть аккуратным даже если я перестаю получать от этого удовольствие из-за усталости. Ну или пойти отдохнуть.

Что касается до этой задачи, то я расписал ее как попало, поскольку я вообще не знал, как решать задачу - а так получается, что попытки решения задачи есть, и на карантин тему не отправят. А за задержку доведения данной задачи до конца(что происходит после моего головного "удара" 31 декабря) могу ответить - я чрезвычайно сильно загружен, я составил список из 8 олимпиад, которые дают льготу БВИ в МФТИ, накачал кучу вариантов по каждой олимпиаде по физике и математике и начал все прорешивать. До начала большинства заключительных этапов осталось примерно 40 дней, столько же вариантов я скачал, так что по норме я должен решать 1 вариант в день. Поскольку каждый вариант рассчитан на 4 часа + возможно придется потратить дополнительное время на разбор неверно решенных задач/на поиск ошибок в моем решении, то "обработка" варианта в среднем занимает много времени, так что график у меня забит. Сегодня я еле нашел время, чтобы разобраться с задачей, которую я выставил на форуме. На форум я теперь буду заходить намного реже и стараться больше разбираться с задачами самому - слишком много времени на форум уходит. Хорошо хоть, что перечневые олимпиады, к которым я себя натаскиваю, не состоят из настолько сложных олимпиадных задач, что без помощи я не обойдут - мой уровень вполне достаточен для их решения, просто нужно очень хорошо отработать аккуратность и скрупулезность, а так бы уходило еще куча времени на обсуждение огромного числа олимпиадных задач из перечня, а времени у меня уже и так нет почти. Эх, как же жаль, что благодатный "удар" по голове, резко повышающий мою аккуратность, трудоспособность и мотивацию, не мог произойти раньше - "ударило" бы меня в классе 8 или хотя бы в 9, я был наверное сейчас бы ехал на межнар по физике и/или математике!

Думая над данной задачей, я только сейчас осознал, что оказывается подход решения большого класса физических задач, опирающихся на исчисление бесконечно малых, абсолютно одинаков и заключается в следующем:
Вот у нас есть некая система, она разбивается на $n$ подсистем и для них записываются $n$ уравнений, содержащих неизвестные величины $x_i$, причем сумма $\[\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \]$ равна искомой величине $x$. При этом, каждое из $n$ уравнений содержит некие поправки $\[{\sigma _i}\]$, которые нам неизвестны. Таким образом, искомая величина $x$ оказывается равной

$$\[x = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{A_i} + \sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} } \]$$

где $A_i$ - известные величины, содержащиеся в $n$ уравнениях. Здесь, казалось бы, требуется еще $n$ для определения всех поправок $\[{\sigma _i}\]$, однако в высшей математике идут на следующую хитрость. Считая, что уравнение $\[x = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \]$ верно для всех натуральных $n$, рассматривают предел

$$\[x = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \]$$

Видимо, надо еще доказать, что такой "трюк" можно совершить,что уравнение остается верным и в пределе, но я пока не владею строгим формализмом математического анализа (не читал Зорича), поэтому вынужден опускать это доказательство.
Тогда для $x$ имеет место равенство:
$\[x = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{A_i} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} } \]$
Далее обычно доказывают,

$$\[{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} }=0$$

Я также не знаю, как это сделать строго, поэтому такие доказательства я всегда опускал.
Итак,как оказывается, суть в том, что если устремить $n$ к бесконечности, то неизвестные поправки зануляются.
На этом ,насколько я понял, основаны еще 2 подхода высшей математики:
1) Рассматривают некую подсистему сложной системы, в частности, рассматривают участок функции от $x$ до $\[x + \Delta x\]$, записывают уравнение с неизвестной поправкой $\[\sigma \]$.
2) Добавляют некую подсистему к сложной системе, в частности, в нашей задаче с пружиной прикрепляют кусок пружины сверху/снизу, записывают уравнение с неизвестной поправкой $\[\sigma \]$ на искомое удлинение пружины.
Далее рассматривают предел данной системы, если можно так выразиться, при котором влияние подсистемы на всю систему стремиться к нулю - устремляют $\[\Delta x\]$ к нулю, уменьшают до нуля массу добавляемого куска пружины. При этом оказывается, что записанное уравнение с поправкой в пределе сохраняет силу(что надо как то доказать), а сама поправка стремиться к нулю(что тоже надо доказать). И тогда получается, что в пределе уравнение содержит только известные величины и задача решена.
Другой вопрос, правда, встанет, если окажется, что поправка в пределе не стремится к нулю и тогда ошибка становится все больше и больше, она может быть конечной или вообще бесконечной, тогда я не знаю, что делать.


Решим задачу с пружиной. Разобьем пружину массой $M$ на $n$ одинаковых пружинок с жесткостями $k$ и начальными длинами $l$ (без деформации). Эта величина связана с жесткостью $\[{k_\Sigma }\]$ всей пружины так: $\[\frac{1}{k} = \frac{1}{{n{k_\Sigma }}}\]$. Далее запишем $n$ уравнений для каждой пружины

$$\[\begin{gathered} k{l_1} = 0g + {F_1} \hfill \\ k{l_2} = mg + {F_2} \hfill \\ \vdots \hfill \\ k{l_n} = (n - 1)mg + {F_n} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Здесь $F_i$ - те самые поправки, связанные с тем, что на удлинение каждой пружины сказывается не только масса нижеприкреплённых пружинок, но и масса этой же пружины.
Из данных уравнений найдем $\[\Delta l\]$:

$$\[\Delta l = \sum\limits_{i = 1}^n {{l_i} = } \frac{{mg}}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {(i - 1)} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} = \frac{{mg}}{k}\frac{{n(n - 1)}}{2} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\frac{{n - 1}}{n} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \]$$

Далее как то доказывается, что это выражение сохраняется и при $\[{n \to \infty }\]$, и записывается:

$$\[\Delta l = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n - 1}}{n} + \frac{1}{k}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}} + \frac{1}{k}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \]$$

Далее надо как-то показать, что

$$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} = 0\]$$

Если доказать, что уравнение сохраняет силу при $\[{n \to \infty }\]$, и что при $\[{n \to \infty }\]$ поправка стремиться к $0$, то задача будет решена.

-- 12.01.2019, 19:27 --

Вообще говоря, поскольку я пока не вдумывался в определение предела, то мне неочевидно, почему если разность между приближенным значением и точным в пределе стремиться к $0$, то можно добиться того, что приближенное значение станет точным. Ну да, мы можем сделать так, чтобы разница между точным и приближенным значением была сколь угодно близка к $0$, но почему из этого следует, что точное и приближенное выражение будут равны, ведь никто не говорил, что разница будет равна В ТОЧНОСТИ $0$?

-- 12.01.2019, 19:29 --

Из этой же оперы равенство
$\[1 = 0,(9)\]$
которое я никогда не принимал на 100%. Ну да, правая часть все ближе и ближе к $1$, но кто сказал, что она и итоге станет равной $1$ в пределе? Не переваривает мой мозг пока такие вещи. Не могу я принять этой факт только из интуитивных соображений.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):

Думая над данной задачей, я только сейчас осознал, что оказывается подход решения большого класса физических задач, опирающихся на исчисление бесконечно малых, абсолютно одинаков и заключается в следующем...

В общем, вы правильно описали.

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):

Другой вопрос, правда, встанет, если окажется, что поправка в пределе не стремится к нулю и тогда ошибка становится все больше и больше, она может быть конечной или вообще бесконечной, тогда я не знаю, что делать.

В таком случае, из поправки выделяют ту часть, которая не стремится к нулю, и переносят из "поправочного слагаемого" $\sum\sigma$ в "главное слагаемое" $\sum A.$

(Ох, если бы ваша аккуратность ещё и на формулы, набранные в LaTeX, распространялась... а то ведь кошмар. Я про исходный код, выглядят они нормально.)

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1368048 писал(а):

В таком случае, из поправки выделяют ту часть, которая не стремится к нулю, и переносят из "поправочного слагаемого" $\sum\sigma$ в "главное слагаемое" $\sum A.$

Для этого надо что-то знать про поправку, то есть взять еще $n$ уравнений типа

$$\[{\sigma _i} = {A_i}^\prime + {\sigma _i}^\prime \]$$

где $\[{A_i}^\prime \]$ - то, что мы переносим, а $\[{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}^\prime } }=0$. Только откуда гарантия,что мы можем всегда получить эти $n$ уравнений? А если это сделать невозможно, то что делать?

Munin в сообщении #1368048 писал(а):

Я про исходный код, выглядят они нормально.

Я не пишу код - копирую из MathType.

-- 12.01.2019, 21:21 --

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):

Здесь $F_i$ - те самые поправки

Интересно, а физики всегда аккуратно также выписывают поправки для каждого из $n$ уравнений, или обычно сразу пишут

$$\[\Delta l = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{l_i} = } \frac{{mg}}{k}\sum\limits_{i = 1}^\infty {(i - 1)} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{mg}}{k}\frac{{n(n - 1)}}{2} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\frac{{n - 1}}{n} = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\]$$

считая интуитивно понятным, что все лишнее занулится.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1368052 писал(а):

Для этого надо что-то знать про поправку, то есть взять еще $n$ уравнений типа

$$\[{\sigma _i} = {A_i}^\prime + {\sigma _i}^\prime \]$$

Никто не увлекается деланием всё новых и новых уравнений, а просто правят те же самые.

Rusit8800 в сообщении #1368052 писал(а):

Только откуда гарантия,что мы можем всегда получить эти $n$ уравнений?

Гарантии нет. Но часто есть "физические соображения", что такие уравнения должны получиться. Исходя из них, люди пытаются их найти. И - получается.

Не всегда это работает. Например, есть поправки квантовой теории поля (КТП, КЭД) к электромагнитному взаимодействию (например, к закону Кулона). Вначале они бодро стремятся к нулю, а потом вырастают до бесконечности. Физики пользуются только первыми несколькими поправками, и это очень хорошо сходится с экспериментом. Значит, они делают вывод, мы в дальнейшей математике что-то не до конца понимаем.

Другой пример. Есть уравнение текущей жидкости - уравнение Навье-Стокса. Жидкость течёт по нему - это подтверждает эксперимент. И с жидкостью никогда не случается никаких "чудес", типа того, что в какой-то точке скорость вырастает до бесконечности. Но математически никак не получается доказать, что так и должно быть; напротив, уравнение ведёт себя "угрожающе". Но с другой стороны, и не получается доказать, что проблемы действительно могут возникнуть. В общем, этим уравнением тоже приходится пользоваться "по физическим соображениям", на свой страх и риск.

(Оффтоп)

Rusit8800 в сообщении #1368052 писал(а):

Я не пишу код - копирую из MathType.

Вот это-то и плохо. Ну да ладно, не буду вас отвлекать в вашем героическом заботе.

-- 12.01.2019 21:50:40 --

Rusit8800 в сообщении #1368052 писал(а):

Интересно, а физики всегда аккуратно также выписывают поправки для каждого из $n$ уравнений, или обычно сразу пишут

$$\[\Delta l = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{l_i} = } \frac{{mg}}{k}\sum\limits_{i = 1}^\infty {(i - 1)} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{mg}}{k}\frac{{n(n - 1)}}{2} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\frac{{n - 1}}{n} = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\]$$

считая интуитивно понятным, что все лишнее занулится.

Физики пользуются другим формализмом: интегральным и дифференциальным исчислением (часть математического анализа). Они построены так, что в них поправки изначально отброшены. Но когда нужно, их можно воскресить обратно - например, разложением в ряд Тейлора.

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1368062 писал(а):

Не всегда это работает. Например, есть поправки квантовой теории поля (КТП, КЭД) к электромагнитному взаимодействию (например, к закону Кулона). Вначале они бодро стремятся к нулю, а потом вырастают до бесконечности. Физики пользуются только первыми несколькими поправками, и это очень хорошо сходится с экспериментом. Значит, они делают вывод, мы в дальнейшей математике что-то не до конца понимаем.

Другой пример. Есть уравнение текущей жидкости - уравнение Навье-Стокса. Жидкость течёт по нему - это подтверждает эксперимент. И с жидкостью никогда не случается никаких "чудес", типа того, что в какой-то точке скорость вырастает до бесконечности. Но математически никак не получается доказать, что так и должно быть; напротив, уравнение ведёт себя "угрожающе". Но с другой стороны, и не получается доказать, что проблемы действительно могут возникнуть. В общем, этим уравнением тоже приходится пользоваться "по физическим соображениям", на свой страх и риск.

Все это очень интересно. А чем можно объяснить то, что у физиков/математиков никак не удается исследовать поведение данных поправок в общем случае? Нет ли никаких продвижений в создании какой-нибудь общей математической теории, позволяющий найти подходы к решению дифференциальных уравнений?Вроде бы для обычных уравнений подход найден - возможность решения уравнений $n$ степени в радикалах определяется какими-то там теоремами теории Галуа, вроде как есть важные результаты в теории полиномиальных уравнений, которые были немыслимы во времена Кардано. А намечается ли что-то подобное для дифференциальных уравнений, в том числе и в частных производных или ситуация говорит о том, что огромные продвижения появятся через столетия?

[Eule_A]

Rusit8800
Вы хотя и ТС, но приходится напомнить о том, что в оффтоп уходить не нужно. Хотите обсудить другую тему - откройте отдельную тему. Хотя в эти вопросы я бы очень не советовал Вам сейчас глубоко вдаваться. Я знаю, что Вам этот совет побоку пойдёт, но свою совесть очищу. А про оффтоп я серьёзно.
Munin
Вы бы всё же таких "провокаций" не устраивали бы Сами же видите, наверное...

(Оффтоп)

А про MathType - да неважно, откуда сейчас эти формулы берутся. Главное - выглядят хорошо.

[Rusit8800]

Эх, совсем не дают поинтересоваться... Ну ладно, пойду что-ли поботаю...

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):

Решим задачу с пружиной. Разобьем пружину массой $M$ на $n$ одинаковых пружинок с жесткостями $k$ и начальными длинами $l$ (без деформации). Эта величина связана с жесткостью $\[{k_\Sigma }\]$ всей пружины так: $\[\frac{1}{k} = \frac{1}{{n{k_\Sigma }}}\]$. Далее запишем $n$ уравнений для каждой пружины

$$\[\begin{gathered} k{l_1} = 0g + {F_1} \hfill \\ k{l_2} = mg + {F_2} \hfill \\ \vdots \hfill \\ k{l_n} = (n - 1)mg + {F_n} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Здесь $F_i$ - те самые поправки, связанные с тем, что на удлинение каждой пружины сказывается не только масса нижеприкреплённых пружинок, но и масса этой же пружины.

Здесь нехорошо то, что в произведении $kl_i$ один множитель при $n\to\infty$ будет расти до бесконечности, а другой - уменьшаться до нуля. "Техника безопасности" не рекомендует такое делать: здесь могут возникать ошибки, а их проверка - будет сложной и дорогой.

Поэтому я немного изменю обозначения:
Во-первых, удлинение всей пружины пусть будет не $\Delta l,$ а $\lambda.$ Удлинение маленького кусочка, соответственно, $d\lambda.$
Во-вторых, не буду пользоваться жёсткостью маленького кусочка (она растёт), а воспользуюсь предложенной мной же формулой $k_\Sigma=K/l.$ Подставляя её в закон Гука, имеем $F_{\text{упр}}=k\lambda=K\lambda/l.$ Как подействует конечная сила на маленький кусочек пружины? $F_{\text{упр}}=K\,d\lambda/dl,$ поскольку пружина однородна, и мы можем считать, что $K$ постоянна для всех её кусочков. Здесь $F_{\text{упр}}$ конечна, $K$ конечна, и $d\lambda/dl$ тоже остаётся конечной величиной (и ненулевой). Говорят, что $d\lambda$ и $dl$ бесконечно малые одного порядка.

Отсюда, вместо ваших уравнений можно записать

$$K\dfrac{d\lambda}{dl}=Mg\alpha,$$

где $\alpha$ - это удобная введённая вами ещё в начале темы координата, размечающая пружину (в недеформированном состоянии), $\alpha\in[0;1].$ Здесь уже нет никаких поправок, они исчезли ещё при написании $d\lambda/dl.$ Замечу, что вы пишете много уравнений, а я - одно, казалось бы. Но нет, на самом деле моё уравнение - функциональное, оно выполняется в каждой точке пружины, и поэтому как бы означает бесконечное множество уравнений.

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):

Из данных уравнений найдем $\[\Delta l\]$:

$$\[\Delta l = \sum\limits_{i = 1}^n {{l_i} = } \frac{{mg}}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {(i - 1)} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} = \frac{{mg}}{k}\frac{{n(n - 1)}}{2} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\frac{{n - 1}}{n} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \]$$

$$\lambda=\int\limits_{\text{по пружине}}d\lambda=\int\limits_{\text{по пружине}}\dfrac{Mg\alpha}{K}dl.$$

Здесь надо остановиться и связать $\alpha$ с длиной. Например, так, как у вас в первом сообщении: $dl=l_0\,d\alpha.$ Тогда интеграл будет браться по переменной $\alpha,$ меняющейся от 0 до 1.

$$\lambda=\ldots=\int\limits_{\text{по пружине}}\dfrac{Mg\alpha}{K}dl=\int\limits_0^1\dfrac{Mg\alpha}{K}l_0\,d\alpha.$$

И теперь осталось дело техники формального интегрирования. Под интегралом всё - константы, которые выносятся за знак интеграла; кроме переменной $\alpha,$ а интеграл от степенной функции хорошо известен:

$$\lambda=\ldots=\int\limits_0^1\dfrac{Mg\alpha}{K}l_0\,d\alpha=\dfrac{Mgl_0}{K}\int\limits_0^1\alpha\,d\alpha=\dfrac{Mgl_0}{K}\Bigl(\dfrac{\alpha^2}{2}\Bigr)\bigg|_0^1=\dfrac{Mgl_0}{K}\Bigl(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\Bigr)=\dfrac{Mgl_0}{2K}.$$

Как видите, от поправок избавились в самом начале, и они не мешались в дальнейших выкладках.

-- 12.01.2019 23:37:41 --

Я не собираюсь развивать офтопик, так что отвечу один и ровно один раз. Надеюсь, это мне простится.

Rusit8800 в сообщении #1368076 писал(а):

Нет ли никаких продвижений в создании какой-нибудь общей математической теории, позволяющий найти подходы к решению дифференциальных уравнений?.. А намечается ли что-то подобное для дифференциальных уравнений, в том числе и в частных производных или ситуация говорит о том, что огромные продвижения появятся через столетия?

Теория дифференциальных уравнений создана, и огромна, и развивается ещё со времён Ньютона и Лейбница (17 век; а некоторые результаты ещё и раньше), и продолжает развиваться. В вузе она излагается как минимум в двух курсах "обыкновенные дифференциальные уравнения" и "дифференциальные уравнения в частных производных" (или "уравнения математической физики"), а также может продолжаться и дальше в других углублённых курсах: "функциональный анализ", "динамические системы", и так далее. И вообще, это примерно половина или треть всей современной математики вообще (смотря как считать, может, и две трети).

Я рад, что вам это интересно, но это такой интерес, который не удовлетворяется сразу, а остаётся "на будущее", на годы вперёд.

[Rusit8800]

Решение хорошее и более красивое, чем у меня, но у меня самого не получилось бы такого решения, поскольку мне неочевидно, что

Munin в сообщении #1368110 писал(а):

$K$ постоянна для всех её кусочков

и что верно уравнение

Munin в сообщении #1368110 писал(а):

$$K\dfrac{d\lambda}{dl}=Mg\alpha,$$

То есть, если выразиться точнее, то в силу симметрии понятно, что $K$ постоянна, и понятно, что относительное удлинение пропорционально силе тяжести нижней части и обратно пропорционально $K$, но ,во-первых,мне бы в голову не пришло пользоваться тем, что $K=const$ поскольку это все-таки неочевидно, так как я не могу это строго вывести, и, во-вторых, я не могу представить строгий вывод уравнения

Munin в сообщении #1368110 писал(а):

$$K\dfrac{d\lambda}{dl}=Mg\alpha,$$

без вычисления пределов поправок, так как существование этого уравнения опирается на то, что предел поправок равен $0$ и это нужно доказывать. По хорошему надо написать это уравнение с не бесконечно малой $\[\Delta l\]$ и с поправкой и показать, при при $\[\Delta l \to 0\]$ поправка стремиться к $0$.

-- 12.01.2019, 23:59 --

Вопросы о пределе, кстати, остаются открытыми.

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):

Вообще говоря, поскольку я пока не вдумывался в определение предела, то мне неочевидно, почему если разность между приближенным значением и точным в пределе стремиться к $0$, то можно добиться того, что приближенное значение станет точным. Ну да, мы можем сделать так, чтобы разница между точным и приближенным значением была сколь угодно близка к $0$, но почему из этого следует, что точное и приближенное выражение будут равны, ведь никто не говорил, что разница будет равна В ТОЧНОСТИ $0$?

-- 12.01.2019, 19:29 --

Из этой же оперы равенство
$\[1 = 0,(9)\]$
которое я никогда не принимал на 100%. Ну да, правая часть все ближе и ближе к $1$, но кто сказал, что она и итоге станет равной $1$ в пределе? Не переваривает мой мозг пока такие вещи. Не могу я принять этой факт только из интуитивных соображений.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):

Другой вопрос, правда, встанет, если окажется, что поправка в пределе не стремится к нулю и тогда ошибка становится все больше и больше, она может быть конечной или вообще бесконечной, тогда я не знаю, что делать.

Вот в этой видеолекции http://elementy.ru/video/29/Elektrostat ... shkolnikov начиная с 12:30 хороший пример, что бывает, если сумма этих поправок не стремится к нулю в пределе бесконечного разбиения.

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1368131 писал(а):

Вот в этой видеолекции http://elementy.ru/video/29/Elektrostat ... shkolnikov начиная с 12:30 хороший пример, что бывает, если сумма этих поправок не стремится к нулю в пределе бесконечного разбиения.

Известный пример. Знаком с ним. Из этого же разряда доказательство того, что $\pi=4$:

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1368123 писал(а):

Решение хорошее и более красивое, чем у меня

Оно просто сделано из вашего. Смысл был - показать "другую технику". На самом деле, я бы действовал, возможно, по-другому.

Rusit8800 в сообщении #1368123 писал(а):

Вопросы о пределе, кстати, остаются открытыми.

Нет, извините, вот это уж точно "офтопик" и "на будущее". Будете проходить математический анализ - будете всё это изучать тщательно. А пока - долго и отвлечёт.

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):

Ну да, мы можем сделать так, чтобы разница между точным и приближенным значением была сколь угодно близка к $0$, но почему из этого следует, что точное и приближенное выражение будут равны, ведь никто не говорил, что разница будет равна В ТОЧНОСТИ $0$?

-- 12.01.2019, 19:29 --

Из этой же оперы равенство
$\[1 = 0,(9)\]$
которое я никогда не принимал на 100%. Ну да, правая часть все ближе и ближе к $1$, но кто сказал, что она и итоге станет равной $1$ в пределе? Не переваривает мой мозг пока такие вещи. Не могу я принять этой факт только из интуитивных соображений.

Это все довольно просто и это очень важно, но лучше, мне кажется, узнать об этом уже в вузе, с преподавателем, потому что тема в матане основополагающая и понимание должно быть четкое.

[pogulyat_vyshel]

Если ту пару формул одномерной теории упругости, что проходят в школе (проходили, во всяком случае, когда я учился) дополнить еще одной $\varepsilon=w'(x)$ то задача из стартового поста решается просто в одну строчку. $w$ -- перемещение вдоль оси $x$, на которой лежит тонкий стержень, тонкая пружина или еще чего вам там захочется

[vacsol]

pogulyat_vyshel в сообщении #1368192 писал(а):

Если ту пару формул одномерной теории упругости, что проходят в школе (проходили, во всяком случае, когда я учился) дополнить еще одной $\varepsilon=w'(x)$ то задача из стартового поста решается просто в одну строчку. $w$ -- перемещение вдоль оси $x$, на которой лежит тонкий стержень, тонкая пружина или еще чего вам там захочется

Что за формула?