2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 19:22 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
wrest в сообщении #1367561 писал(а):
Я еще вижу, по вашему поведению на форуме, что вы быстро теряете интерес, не доводите задачи до конца до наступления полной ясности для вас самого, так чтобы вы могли объяснить в вашем решении каждый шаг, каждую букву. Лично мне это не кажется правильной привычкой, но навязывать это мнение не буду - вот один раз пишу, и всё.

Должен сказать, что насчет данной привычки вы были бы правы только до 31 декабря того года - в новой году, с 1 января мне что-то в голову ударило - я вдруг изменился и стал решать задачи по другому. Скорее всего вы сейчас усмехнулись, но это факт - не знаю почему, но я вдруг стал получать огромное удовольствие от аккуратного решения задач: все должно быть понятно и аккуратно расписано, почерк должен быть красивым, все вычисления должны быть проведены аккуратно, все выкладки расписаны, чтобы вероятность ошибиться была минимальной. Раньше из-за того, что я считал эту процедуру скучной и неинтересной, я на всех олимпиадах делал тупейшие ошибки, поскольку не привык делать все аккуратно. Я раньше думал, что задача человека - решать исключительно сложные и содержательные задачи, а совершать даже самые простейшие выкладки - задача исключительно для компа. Сейчас я полностью осознал, что крош цена "математику/физику",который думает, ведь чтобы решать сложные задачи нужно аккуратно решать простые подзадачи, иначе никогда к решению сложной задачи прийти будет нельзя! Моя жизнь это показала. Сейчас я вообще получаю эстетическое удовольствие от аккуратно записанных решений - у меня черновики стали выглядеть лучше, чем раньше выглядели чистовики, а вероятность ошибок почти снизилась до нуля! Аккуратность, как показал опыт, играет ключевую роль. Я понял, что процедура аккуратной записи решения вовсе не скучна, а очень интересна - она также приятна, как создание фигурок оригами, в которые ты душу вкладываешь. Я недавно также заметил, что как только я, например от усталости, перестаю все подробно и скрупулезно расписывать, то сразу же нарываюсь на ошибки, так что мне еще предстоит поработать над выносливостью. Похоже мне придется быть аккуратным даже если я перестаю получать от этого удовольствие из-за усталости. Ну или пойти отдохнуть.

Что касается до этой задачи, то я расписал ее как попало, поскольку я вообще не знал, как решать задачу - а так получается, что попытки решения задачи есть, и на карантин тему не отправят. А за задержку доведения данной задачи до конца(что происходит после моего головного "удара" 31 декабря) могу ответить - я чрезвычайно сильно загружен, я составил список из 8 олимпиад, которые дают льготу БВИ в МФТИ, накачал кучу вариантов по каждой олимпиаде по физике и математике и начал все прорешивать. До начала большинства заключительных этапов осталось примерно 40 дней, столько же вариантов я скачал, так что по норме я должен решать 1 вариант в день. Поскольку каждый вариант рассчитан на 4 часа + возможно придется потратить дополнительное время на разбор неверно решенных задач/на поиск ошибок в моем решении, то "обработка" варианта в среднем занимает много времени, так что график у меня забит. Сегодня я еле нашел время, чтобы разобраться с задачей, которую я выставил на форуме. На форум я теперь буду заходить намного реже и стараться больше разбираться с задачами самому - слишком много времени на форум уходит. Хорошо хоть, что перечневые олимпиады, к которым я себя натаскиваю, не состоят из настолько сложных олимпиадных задач, что без помощи я не обойдут - мой уровень вполне достаточен для их решения, просто нужно очень хорошо отработать аккуратность и скрупулезность, а так бы уходило еще куча времени на обсуждение огромного числа олимпиадных задач из перечня, а времени у меня уже и так нет почти. Эх, как же жаль, что благодатный "удар" по голове, резко повышающий мою аккуратность, трудоспособность и мотивацию, не мог произойти раньше - "ударило" бы меня в классе 8 или хотя бы в 9, я был наверное сейчас бы ехал на межнар по физике и/или математике!

Думая над данной задачей, я только сейчас осознал, что оказывается подход решения большого класса физических задач, опирающихся на исчисление бесконечно малых, абсолютно одинаков и заключается в следующем:
Вот у нас есть некая система, она разбивается на $n$ подсистем и для них записываются $n$ уравнений, содержащих неизвестные величины $x_i$, причем сумма $\[\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \]$ равна искомой величине $x$. При этом, каждое из $n$ уравнений содержит некие поправки $\[{\sigma _i}\]$, которые нам неизвестны. Таким образом, искомая величина $x$ оказывается равной
$$\[x = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}  = \sum\limits_{i = 1}^n {{A_i} + \sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} } \]$$
где $A_i$ - известные величины, содержащиеся в $n$ уравнениях. Здесь, казалось бы, требуется еще $n$ для определения всех поправок $\[{\sigma _i}\]$, однако в высшей математике идут на следующую хитрость. Считая, что уравнение $\[x = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \]$ верно для всех натуральных $n$, рассматривают предел
$$\[x = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \]$$
Видимо, надо еще доказать, что такой "трюк" можно совершить,что уравнение остается верным и в пределе, но я пока не владею строгим формализмом математического анализа (не читал Зорича), поэтому вынужден опускать это доказательство.
Тогда для $x$ имеет место равенство:
$\[x = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{A_i} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} } \]$
Далее обычно доказывают,
$$\[{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} }=0$$
Я также не знаю, как это сделать строго, поэтому такие доказательства я всегда опускал.
Итак,как оказывается, суть в том, что если устремить $n$ к бесконечности, то неизвестные поправки зануляются.
На этом ,насколько я понял, основаны еще 2 подхода высшей математики:
1) Рассматривают некую подсистему сложной системы, в частности, рассматривают участок функции от $x$ до $\[x + \Delta x\]$, записывают уравнение с неизвестной поправкой $\[\sigma \]$.
2) Добавляют некую подсистему к сложной системе, в частности, в нашей задаче с пружиной прикрепляют кусок пружины сверху/снизу, записывают уравнение с неизвестной поправкой $\[\sigma \]$ на искомое удлинение пружины.
Далее рассматривают предел данной системы, если можно так выразиться, при котором влияние подсистемы на всю систему стремиться к нулю - устремляют $\[\Delta x\]$ к нулю, уменьшают до нуля массу добавляемого куска пружины. При этом оказывается, что записанное уравнение с поправкой в пределе сохраняет силу(что надо как то доказать), а сама поправка стремиться к нулю(что тоже надо доказать). И тогда получается, что в пределе уравнение содержит только известные величины и задача решена.
Другой вопрос, правда, встанет, если окажется, что поправка в пределе не стремится к нулю и тогда ошибка становится все больше и больше, она может быть конечной или вообще бесконечной, тогда я не знаю, что делать.

Изображение
Решим задачу с пружиной. Разобьем пружину массой $M$ на $n$ одинаковых пружинок с жесткостями $k$ и начальными длинами $l$ (без деформации). Эта величина связана с жесткостью $\[{k_\Sigma }\]$ всей пружины так: $\[\frac{1}{k} = \frac{1}{{n{k_\Sigma }}}\]$. Далее запишем $n$ уравнений для каждой пружины
$$\[\begin{gathered}
  k{l_1} = 0g + {F_1} \hfill \\
  k{l_2} = mg + {F_2} \hfill \\
   \vdots  \hfill \\
  k{l_n} = (n - 1)mg + {F_n} \hfill \\ 
\end{gathered} \]$$
Здесь $F_i$ - те самые поправки, связанные с тем, что на удлинение каждой пружины сказывается не только масса нижеприкреплённых пружинок, но и масса этой же пружины.
Из данных уравнений найдем $\[\Delta l\]$:
$$\[\Delta l = \sum\limits_{i = 1}^n {{l_i} = } \frac{{mg}}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {(i - 1)}  + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}}  = \frac{{mg}}{k}\frac{{n(n - 1)}}{2} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}}  = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\frac{{n - 1}}{n} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \]$$
Далее как то доказывается, что это выражение сохраняется и при $\[{n \to \infty }\]$, и записывается:
$$\[\Delta l = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n - 1}}{n} + \frac{1}{k}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}}  = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}} + \frac{1}{k}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \]$$
Далее надо как-то показать, что
$$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}}  = 0\]$$
Если доказать, что уравнение сохраняет силу при $\[{n \to \infty }\]$, и что при $\[{n \to \infty }\]$ поправка стремиться к $0$, то задача будет решена.

-- 12.01.2019, 19:27 --

Вообще говоря, поскольку я пока не вдумывался в определение предела, то мне неочевидно, почему если разность между приближенным значением и точным в пределе стремиться к $0$, то можно добиться того, что приближенное значение станет точным. Ну да, мы можем сделать так, чтобы разница между точным и приближенным значением была сколь угодно близка к $0$, но почему из этого следует, что точное и приближенное выражение будут равны, ведь никто не говорил, что разница будет равна В ТОЧНОСТИ $0$?

-- 12.01.2019, 19:29 --

Из этой же оперы равенство
$\[1 = 0,(9)\]$
которое я никогда не принимал на 100%. Ну да, правая часть все ближе и ближе к $1$, но кто сказал, что она и итоге станет равной $1$ в пределе? Не переваривает мой мозг пока такие вещи. Не могу я принять этой факт только из интуитивных соображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70486
Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):
Думая над данной задачей, я только сейчас осознал, что оказывается подход решения большого класса физических задач, опирающихся на исчисление бесконечно малых, абсолютно одинаков и заключается в следующем...

В общем, вы правильно описали.

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):
Другой вопрос, правда, встанет, если окажется, что поправка в пределе не стремится к нулю и тогда ошибка становится все больше и больше, она может быть конечной или вообще бесконечной, тогда я не знаю, что делать.

В таком случае, из поправки выделяют ту часть, которая не стремится к нулю, и переносят из "поправочного слагаемого" $\sum\sigma$ в "главное слагаемое" $\sum A.$

(Ох, если бы ваша аккуратность ещё и на формулы, набранные в LaTeX, распространялась... а то ведь кошмар. Я про исходный код, выглядят они нормально.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 21:14 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
Munin в сообщении #1368048 писал(а):
В таком случае, из поправки выделяют ту часть, которая не стремится к нулю, и переносят из "поправочного слагаемого" $\sum\sigma$ в "главное слагаемое" $\sum A.$

Для этого надо что-то знать про поправку, то есть взять еще $n$ уравнений типа
$$\[{\sigma _i} = {A_i}^\prime  + {\sigma _i}^\prime \]$$
где $\[{A_i}^\prime \]$ - то, что мы переносим, а $\[{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}^\prime } }=0$. Только откуда гарантия,что мы можем всегда получить эти $n$ уравнений? А если это сделать невозможно, то что делать?
Munin в сообщении #1368048 писал(а):
Я про исходный код, выглядят они нормально.

Я не пишу код - копирую из MathType.

-- 12.01.2019, 21:21 --

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):
Здесь $F_i$ - те самые поправки

Интересно, а физики всегда аккуратно также выписывают поправки для каждого из $n$ уравнений, или обычно сразу пишут
$$\[\Delta l = \sum\limits_{i = 1}^\infty  {{l_i} = } \frac{{mg}}{k}\sum\limits_{i = 1}^\infty  {(i - 1)}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{mg}}{k}\frac{{n(n - 1)}}{2} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\frac{{n - 1}}{n} = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\]$$
считая интуитивно понятным, что все лишнее занулится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70486
Rusit8800 в сообщении #1368052 писал(а):
Для этого надо что-то знать про поправку, то есть взять еще $n$ уравнений типа
$$\[{\sigma _i} = {A_i}^\prime  + {\sigma _i}^\prime \]$$

Никто не увлекается деланием всё новых и новых уравнений, а просто правят те же самые.

Rusit8800 в сообщении #1368052 писал(а):
Только откуда гарантия,что мы можем всегда получить эти $n$ уравнений?

Гарантии нет. Но часто есть "физические соображения", что такие уравнения должны получиться. Исходя из них, люди пытаются их найти. И - получается.

Не всегда это работает. Например, есть поправки квантовой теории поля (КТП, КЭД) к электромагнитному взаимодействию (например, к закону Кулона). Вначале они бодро стремятся к нулю, а потом вырастают до бесконечности. Физики пользуются только первыми несколькими поправками, и это очень хорошо сходится с экспериментом. Значит, они делают вывод, мы в дальнейшей математике что-то не до конца понимаем.

Другой пример. Есть уравнение текущей жидкости - уравнение Навье-Стокса. Жидкость течёт по нему - это подтверждает эксперимент. И с жидкостью никогда не случается никаких "чудес", типа того, что в какой-то точке скорость вырастает до бесконечности. Но математически никак не получается доказать, что так и должно быть; напротив, уравнение ведёт себя "угрожающе". Но с другой стороны, и не получается доказать, что проблемы действительно могут возникнуть. В общем, этим уравнением тоже приходится пользоваться "по физическим соображениям", на свой страх и риск.

(Оффтоп)

Rusit8800 в сообщении #1368052 писал(а):
Я не пишу код - копирую из MathType.

Вот это-то и плохо. Ну да ладно, не буду вас отвлекать в вашем героическом заботе.


-- 12.01.2019 21:50:40 --

Rusit8800 в сообщении #1368052 писал(а):
Интересно, а физики всегда аккуратно также выписывают поправки для каждого из $n$ уравнений, или обычно сразу пишут
$$\[\Delta l = \sum\limits_{i = 1}^\infty  {{l_i} = } \frac{{mg}}{k}\sum\limits_{i = 1}^\infty  {(i - 1)}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{mg}}{k}\frac{{n(n - 1)}}{2} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\frac{{n - 1}}{n} = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\]$$ считая интуитивно понятным, что все лишнее занулится.

Физики пользуются другим формализмом: интегральным и дифференциальным исчислением (часть математического анализа). Они построены так, что в них поправки изначально отброшены. Но когда нужно, их можно воскресить обратно - например, разложением в ряд Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 22:10 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
Munin в сообщении #1368062 писал(а):
Не всегда это работает. Например, есть поправки квантовой теории поля (КТП, КЭД) к электромагнитному взаимодействию (например, к закону Кулона). Вначале они бодро стремятся к нулю, а потом вырастают до бесконечности. Физики пользуются только первыми несколькими поправками, и это очень хорошо сходится с экспериментом. Значит, они делают вывод, мы в дальнейшей математике что-то не до конца понимаем.

Другой пример. Есть уравнение текущей жидкости - уравнение Навье-Стокса. Жидкость течёт по нему - это подтверждает эксперимент. И с жидкостью никогда не случается никаких "чудес", типа того, что в какой-то точке скорость вырастает до бесконечности. Но математически никак не получается доказать, что так и должно быть; напротив, уравнение ведёт себя "угрожающе". Но с другой стороны, и не получается доказать, что проблемы действительно могут возникнуть. В общем, этим уравнением тоже приходится пользоваться "по физическим соображениям", на свой страх и риск.

Все это очень интересно. А чем можно объяснить то, что у физиков/математиков никак не удается исследовать поведение данных поправок в общем случае? Нет ли никаких продвижений в создании какой-нибудь общей математической теории, позволяющий найти подходы к решению дифференциальных уравнений?Вроде бы для обычных уравнений подход найден - возможность решения уравнений $n$ степени в радикалах определяется какими-то там теоремами теории Галуа, вроде как есть важные результаты в теории полиномиальных уравнений, которые были немыслимы во времена Кардано. А намечается ли что-то подобное для дифференциальных уравнений, в том числе и в частных производных или ситуация говорит о том, что огромные продвижения появятся через столетия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 22:15 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
869
Rusit8800
Вы хотя и ТС, но приходится напомнить о том, что в оффтоп уходить не нужно. Хотите обсудить другую тему - откройте отдельную тему. Хотя в эти вопросы я бы очень не советовал Вам сейчас глубоко вдаваться. Я знаю, что Вам этот совет побоку пойдёт, но свою совесть очищу. А про оффтоп я серьёзно.
Munin
Вы бы всё же таких "провокаций" не устраивали бы :-) Сами же видите, наверное...

(Оффтоп)

А про MathType - да неважно, откуда сейчас эти формулы берутся. Главное - выглядят хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 22:50 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
Эх, совсем не дают поинтересоваться... Ну ладно, пойду что-ли поботаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70486
Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):
Решим задачу с пружиной. Разобьем пружину массой $M$ на $n$ одинаковых пружинок с жесткостями $k$ и начальными длинами $l$ (без деформации). Эта величина связана с жесткостью $\[{k_\Sigma }\]$ всей пружины так: $\[\frac{1}{k} = \frac{1}{{n{k_\Sigma }}}\]$. Далее запишем $n$ уравнений для каждой пружины
$$\[\begin{gathered}
 k{l_1} = 0g + {F_1} \hfill \\
 k{l_2} = mg + {F_2} \hfill \\
  \vdots  \hfill \\
 k{l_n} = (n - 1)mg + {F_n} \hfill \\ 
\end{gathered} \]$$ Здесь $F_i$ - те самые поправки, связанные с тем, что на удлинение каждой пружины сказывается не только масса нижеприкреплённых пружинок, но и масса этой же пружины.

Здесь нехорошо то, что в произведении $kl_i$ один множитель при $n\to\infty$ будет расти до бесконечности, а другой - уменьшаться до нуля. "Техника безопасности" не рекомендует такое делать: здесь могут возникать ошибки, а их проверка - будет сложной и дорогой.

Поэтому я немного изменю обозначения:
Во-первых, удлинение всей пружины пусть будет не $\Delta l,$ а $\lambda.$ Удлинение маленького кусочка, соответственно, $d\lambda.$
Во-вторых, не буду пользоваться жёсткостью маленького кусочка (она растёт), а воспользуюсь предложенной мной же формулой $k_\Sigma=K/l.$ Подставляя её в закон Гука, имеем $F_{\text{упр}}=k\lambda=K\lambda/l.$ Как подействует конечная сила на маленький кусочек пружины? $F_{\text{упр}}=K\,d\lambda/dl,$ поскольку пружина однородна, и мы можем считать, что $K$ постоянна для всех её кусочков. Здесь $F_{\text{упр}}$ конечна, $K$ конечна, и $d\lambda/dl$ тоже остаётся конечной величиной (и ненулевой). Говорят, что $d\lambda$ и $dl$ бесконечно малые одного порядка.

Отсюда, вместо ваших уравнений можно записать
$$K\dfrac{d\lambda}{dl}=Mg\alpha,$$ где $\alpha$ - это удобная введённая вами ещё в начале темы координата, размечающая пружину (в недеформированном состоянии), $\alpha\in[0;1].$ Здесь уже нет никаких поправок, они исчезли ещё при написании $d\lambda/dl.$ Замечу, что вы пишете много уравнений, а я - одно, казалось бы. Но нет, на самом деле моё уравнение - функциональное, оно выполняется в каждой точке пружины, и поэтому как бы означает бесконечное множество уравнений.

Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):
Из данных уравнений найдем $\[\Delta l\]$:
$$\[\Delta l = \sum\limits_{i = 1}^n {{l_i} = } \frac{{mg}}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {(i - 1)}  + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}}  = \frac{{mg}}{k}\frac{{n(n - 1)}}{2} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}}  = \frac{{Mg}}{{2{k_\Sigma }}}\frac{{n - 1}}{n} + \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \]$$

$$\lambda=\int\limits_{\text{по пружине}}d\lambda=\int\limits_{\text{по пружине}}\dfrac{Mg\alpha}{K}dl.$$ Здесь надо остановиться и связать $\alpha$ с длиной. Например, так, как у вас в первом сообщении: $dl=l_0\,d\alpha.$ Тогда интеграл будет браться по переменной $\alpha,$ меняющейся от 0 до 1.
$$\lambda=\ldots=\int\limits_{\text{по пружине}}\dfrac{Mg\alpha}{K}dl=\int\limits_0^1\dfrac{Mg\alpha}{K}l_0\,d\alpha.$$ И теперь осталось дело техники формального интегрирования. Под интегралом всё - константы, которые выносятся за знак интеграла; кроме переменной $\alpha,$ а интеграл от степенной функции хорошо известен:
$$\lambda=\ldots=\int\limits_0^1\dfrac{Mg\alpha}{K}l_0\,d\alpha=\dfrac{Mgl_0}{K}\int\limits_0^1\alpha\,d\alpha=\dfrac{Mgl_0}{K}\Bigl(\dfrac{\alpha^2}{2}\Bigr)\bigg|_0^1=\dfrac{Mgl_0}{K}\Bigl(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\Bigr)=\dfrac{Mgl_0}{2K}.$$ Как видите, от поправок избавились в самом начале, и они не мешались в дальнейших выкладках.

-- 12.01.2019 23:37:41 --

Я не собираюсь развивать офтопик, так что отвечу один и ровно один раз. Надеюсь, это мне простится.

Rusit8800 в сообщении #1368076 писал(а):
Нет ли никаких продвижений в создании какой-нибудь общей математической теории, позволяющий найти подходы к решению дифференциальных уравнений?.. А намечается ли что-то подобное для дифференциальных уравнений, в том числе и в частных производных или ситуация говорит о том, что огромные продвижения появятся через столетия?

Теория дифференциальных уравнений создана, и огромна, и развивается ещё со времён Ньютона и Лейбница (17 век; а некоторые результаты ещё и раньше), и продолжает развиваться. В вузе она излагается как минимум в двух курсах "обыкновенные дифференциальные уравнения" и "дифференциальные уравнения в частных производных" (или "уравнения математической физики"), а также может продолжаться и дальше в других углублённых курсах: "функциональный анализ", "динамические системы", и так далее. И вообще, это примерно половина или треть всей современной математики вообще (смотря как считать, может, и две трети).

Я рад, что вам это интересно, но это такой интерес, который не удовлетворяется сразу, а остаётся "на будущее", на годы вперёд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение12.01.2019, 23:53 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
Решение хорошее и более красивое, чем у меня, но у меня самого не получилось бы такого решения, поскольку мне неочевидно, что
Munin в сообщении #1368110 писал(а):
$K$ постоянна для всех её кусочков

и что верно уравнение
Munin в сообщении #1368110 писал(а):
$$K\dfrac{d\lambda}{dl}=Mg\alpha,$$

То есть, если выразиться точнее, то в силу симметрии понятно, что $K$ постоянна, и понятно, что относительное удлинение пропорционально силе тяжести нижней части и обратно пропорционально $K$, но ,во-первых,мне бы в голову не пришло пользоваться тем, что $K=const$ поскольку это все-таки неочевидно, так как я не могу это строго вывести, и, во-вторых, я не могу представить строгий вывод уравнения
Munin в сообщении #1368110 писал(а):
$$K\dfrac{d\lambda}{dl}=Mg\alpha,$$

без вычисления пределов поправок, так как существование этого уравнения опирается на то, что предел поправок равен $0$ и это нужно доказывать. По хорошему надо написать это уравнение с не бесконечно малой $\[\Delta l\]$ и с поправкой и показать, при при $\[\Delta l \to 0\]$ поправка стремиться к $0$.

-- 12.01.2019, 23:59 --

Вопросы о пределе, кстати, остаются открытыми.
Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):
Вообще говоря, поскольку я пока не вдумывался в определение предела, то мне неочевидно, почему если разность между приближенным значением и точным в пределе стремиться к $0$, то можно добиться того, что приближенное значение станет точным. Ну да, мы можем сделать так, чтобы разница между точным и приближенным значением была сколь угодно близка к $0$, но почему из этого следует, что точное и приближенное выражение будут равны, ведь никто не говорил, что разница будет равна В ТОЧНОСТИ $0$?

-- 12.01.2019, 19:29 --

Из этой же оперы равенство
$\[1 = 0,(9)\]$
которое я никогда не принимал на 100%. Ну да, правая часть все ближе и ближе к $1$, но кто сказал, что она и итоге станет равной $1$ в пределе? Не переваривает мой мозг пока такие вещи. Не могу я принять этой факт только из интуитивных соображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение13.01.2019, 00:03 


27/08/16
5428
Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):
Другой вопрос, правда, встанет, если окажется, что поправка в пределе не стремится к нулю и тогда ошибка становится все больше и больше, она может быть конечной или вообще бесконечной, тогда я не знаю, что делать.
Вот в этой видеолекции http://elementy.ru/video/29/Elektrostat ... shkolnikov начиная с 12:30 хороший пример, что бывает, если сумма этих поправок не стремится к нулю в пределе бесконечного разбиения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение13.01.2019, 00:10 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
realeugene в сообщении #1368131 писал(а):
Вот в этой видеолекции http://elementy.ru/video/29/Elektrostat ... shkolnikov начиная с 12:30 хороший пример, что бывает, если сумма этих поправок не стремится к нулю в пределе бесконечного разбиения.

Известный пример. Знаком с ним. Из этого же разряда доказательство того, что $\pi=4$:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение13.01.2019, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70486
Rusit8800 в сообщении #1368123 писал(а):
Решение хорошее и более красивое, чем у меня

Оно просто сделано из вашего. Смысл был - показать "другую технику". На самом деле, я бы действовал, возможно, по-другому.

Rusit8800 в сообщении #1368123 писал(а):
Вопросы о пределе, кстати, остаются открытыми.

Нет, извините, вот это уж точно "офтопик" и "на будущее". Будете проходить математический анализ - будете всё это изучать тщательно. А пока - долго и отвлечёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение13.01.2019, 01:32 


05/09/16
6439
Rusit8800 в сообщении #1368010 писал(а):
Ну да, мы можем сделать так, чтобы разница между точным и приближенным значением была сколь угодно близка к $0$, но почему из этого следует, что точное и приближенное выражение будут равны, ведь никто не говорил, что разница будет равна В ТОЧНОСТИ $0$?

-- 12.01.2019, 19:29 --

Из этой же оперы равенство
$\[1 = 0,(9)\]$
которое я никогда не принимал на 100%. Ну да, правая часть все ближе и ближе к $1$, но кто сказал, что она и итоге станет равной $1$ в пределе? Не переваривает мой мозг пока такие вещи. Не могу я принять этой факт только из интуитивных соображений.

Это все довольно просто и это очень важно, но лучше, мне кажется, узнать об этом уже в вузе, с преподавателем, потому что тема в матане основополагающая и понимание должно быть четкое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение13.01.2019, 10:51 
Аватара пользователя


31/08/17
1510
Если ту пару формул одномерной теории упругости, что проходят в школе (проходили, во всяком случае, когда я учился) дополнить еще одной $\varepsilon=w'(x)$ то задача из стартового поста решается просто в одну строчку. $w$ -- перемещение вдоль оси $x$, на которой лежит тонкий стержень, тонкая пружина или еще чего вам там захочется

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group