Висящая массивная пружина

[Rusit8800]

Сегодня на дне открытых дверей в МФТИ студенты ФОПФ раздавали листочки с условиями задач. Там была задача с висящей пружиной. Данная задача сводилась к следующей вспомогательной: Пусть дана вертикально висящая пружина с жесткостью $\[k = \frac{{ES}}{{{l_0}}}\]$, и равномерно распределенной массой $m$. Необходимо найти удлинение пружины под действием силы тяжести.
Мое решение, как по мне, является весьма громоздким, и воспроизводить подобное на олимпиадах не самый лучший вариант - время ограничено. Прошу форумчан посоветовать, что можно изменить в моем решении, чтобы как можно быстрее прийти к тому же результату. Буду рад и другим вариантам решения.

Для начала ввожу коэффициент массы $\[\alpha \]$ для параметризации пружины: он отчитывает часть массы пружины, рассматриваемой от самой низшей точки пружины до точки, определяемой данным параметром.Если $\[\alpha = 0\]$, то рассматриваемая часть пружины вырождается в низшую точку всей пружины, если $\[\alpha = 1\]$, то имеем дело со всей пружиной, таким образом, $\[\alpha \in \left[ {0;1} \right]\]$.
Рассмотрим малую часть пружины длиной $\[\Delta {l_0}(\alpha )\]$ в недеформированном состоянии, находящуюся выше части пружины массой $\[\alpha mg\]$. Пусть $\[\Delta l(\alpha )\]$ - удлинение малой части пружины вследствие действия силы тяжести. Введем коэффициент удлинения $\[t(\alpha ) = \frac{{\Delta l(\alpha ) + \Delta {l_0}(\alpha )}}{{\Delta l(\alpha )}}\]$. Во второму закону Ньютона и закону Гука имеем:

$$\[\alpha mg = ES\frac{{\Delta {l_0}(\alpha )}}{{\Delta l(\alpha )}} = ES\left( {t - 1} \right) \Rightarrow t(\alpha ) = \alpha \frac{{mg}}{{ES}} + 1\]$$

Элементарное длина малой части пружины в деформированном состоянии равна $\[t(\alpha )\Delta {l_0}(\alpha )\]$, тогда общая длина равна:

$$\[l = \sum {t(\alpha )\Delta {l_0}(\alpha ) = } \sum {\left( {\alpha \frac{{mg}}{{ES}} + 1} \right)\Delta {l_0}(\alpha ) = } \sum {\Delta {l_0}(\alpha ) + \sum {\alpha \Delta {l_0}(\alpha )\frac{{mg}}{{ES}}} } = {l_0} + \frac{1}{2}\frac{{mg}}{{ES}} \cdot {l_0} = {l_0} + \frac{1}{2}\frac{{mg}}{k}\]$$

Последние выкладки опираются на тот факт, что

$$\[\sum {\alpha \Delta {l_0}(\alpha ) = \frac{{{l_0}}}{2}} \]$$

, я понятия не имею, как это доказать.

Хотелось бы для начала посоветоваться по поводу того,во-первых ,почему

$$\[\sum {\alpha \Delta {l_0}(\alpha ) = \frac{{{l_0}}}{2}} \]$$

дабы разобраться с моим решением и, во-вторых, интересно было бы услышать предложения по поводу альтернативных решений.

-- 08.01.2019, 19:12 --

Похоже с суммой разобрался:

$$\[\int\limits_0^1 {\alpha d{l_0} = } \int\limits_0^1 {\alpha {l_0}d\alpha = {l_0}} \int\limits_0^1 {\alpha d\alpha = } \frac{{{l_0}}}{2}\]$$

Вопрос с альтернативным решением остается открытый.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1366922 писал(а):

$\[k = \frac{{ES}}{{{l_0}}}\]$

Что обозначают эти буквы?

[wrest]

Ну, альтернативное решение есть и вовсе без формул
Можно заметить следующее. Самый нижний виток не растянут (т.к. на него ничего не подвешено). Следующий (второй снизу) виток растянут весом первого. Третий виток растянут суммой веса первого и веса второго витков то есть растянут в два раза больше чем второй виток. Четвертый виток растянут в три раза больше второго витка и так далее. Так что величина растяжения витков представляет из себя арифметическую прогрессию, а сумма арифметической прогрессии, при нулевом первом члене, равна половине последнего члена умноженной на количество членов.
Отсюда немедленно следует, что растянутая под своим весом гуковская пружина удлинняется аккурат в два раза меньше чем такая же по жесткости невесомая пружина, на конец которой подвешен груз равный массе "весомой" пружины, т.е. искомая величина $\Delta l=\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac{mg}{k}$ (здесь $\Delta l$ - удлиннение пружины в единицах длины; $m$ - масса пружины; $g$ - ускорение свободного падения; $k$ - коэффициент жесткости пружины).
Ну и да, со стержнем та же история: он удлинняется тоже в два раза меньше под собственным весом чем ежели его бы положить горизонтально, закрепить один конец и приложить ко второму концу усилие равное весу стержня.

-- 08.01.2019, 22:06 --

Rusit8800 в сообщении #1366922 писал(а):

Во второму закону Ньютона

Второй закон Ньютона -- это про движение вообще-то, а у вас тут все неподвижно. Перепутали с законом всемирного тяготения?
Там, где говорится, что сила действия равна силе противодействия, но обратна по направлению - это третий закон Ньютона, есличо

[pogulyat_vyshel]

Ну можно еще уравнение Ламе написать:)

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1366922 писал(а):

Мое решение, как по мне, является весьма громоздким, и воспроизводить подобное на олимпиадах не самый лучший вариант - время ограничено.

Лично мне кажется, что у вашего решения следующие недостатки.
1. Неаккуратная запись: вы записываете какие-то суммы но неясно что суммируется, т.е. нет индекса по которому идёт суммирование, неясно что меняется вместе с индексом в процессе суммирования и т.п. Далее вы записываете какой-то интеграл, для которого как будто ранее записанная сумма является интегральной, и в этом месте как бы совершаете предельный переход. Но это надо показать.
2. В задаче просят найти удлиннение, а вы ищете полную длину. Легче было бы, на мой взгляд, записать только удлиннение (если хотите - относительное, как у вас). И назвать его не "коэффициент удлиннения" а "относительное удлиннение малого участка пружины" (их вам надо просуммировать\проинтегрировать - и тогда получится относительное удлиннение всей пружины).
3. Сперва вы представляете стержень пружиной и записываете что у такой пружины будет коэффициент жесткости определяемый модулем Юнга, площадью сечения стержня и длиной каким-то образом. Но далее вы зачем-то опять используете модуль Юнга и т.п. - зачем?

[Rusit8800]

wrest в сообщении #1367093 писал(а):

1. Неаккуратная запись: вы записываете какие-то суммы но неясно что суммируется, т.е. нет индекса по которому идёт суммирование, неясно что меняется вместе с индексом в процессе суммирования и т.п. Далее вы записываете какой-то интеграл, для которого как будто ранее записанная сумма является интегральной, и в этом месте как бы совершаете предельный переход. Но это надо показать.

Согласен, просто сам сначала не представлял, что надо интегрировать и оставил запись в виде непонятной суммы. Только потом я понял, что интегрируется.

wrest в сообщении #1367093 писал(а):

И назвать его не "коэффициент удлиннения" а "относительное удлиннение малого участка пружины" (их вам надо просуммировать\проинтегрировать - и тогда получится относительное удлиннение всей пружины).

Мне в голову не пришло, как это сделать. Намного понятнее мне показался мой подход, поскольку понятно, что если проинтегрировать произведение бесконечно малых недеформированных участков пружины и коэффициента удлинения на этих участках, то мы сразу получим общую длину деформированной пружины.

wrest в сообщении #1367093 писал(а):

Сперва вы представляете стержень пружиной и записываете что у такой пружины будет коэффициент жесткости определяемый модулем Юнга, площадью сечения стержня и длиной каким-то образом. Но далее вы зачем-то опять используете модуль Юнга и т.п. - зачем?

В задаче дан только коэффициент жесткости. Использовать закон Гука с модулем Юнга предпочтительней потому, что для выкладок нужна величина $\[\Delta {l_0}(\alpha )\]$, которая в "обычном" законе Гука "спрячется" под коэффициент жесткости.

wrest в сообщении #1366967 писал(а):

Там, где говорится, что сила действия равна силе противодействия, но обратна по направлению - это третий закон Ньютона, есличо

А вот это я не понимаю. 3 закон Ньютона используется для описания пар внутренних сил системы, например силы реакции опоры со стороны автомобиля и сила давления на сиденье авто в системе человек + жигуль. Но сила тяжести - внешняя сила.
Тут я определенно что-то не понимаю, прошу разъяснить.

-- 09.01.2019, 13:50 --

realeugene в сообщении #1366933 писал(а):

Что обозначают эти буквы?

Коэффициент жесткости равен произведению модуля Юнга и площади поперечного сечения пружины, деленную на его длину в недеформированном состоянии.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):

Коэффициент жесткости равен произведению модуля Юнга и площади поперечного сечения пружины, деленную на его длину в недеформированном состоянии.

Это верно для сплошного куска материала, но не для пружины.

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):

Мне в голову не пришло, как это сделать. Намного понятнее мне показался мой подход, поскольку понятно, что если проинтегрировать произведение бесконечно малых недеформированных участков пружины и коэффициента удлинения на этих участках, то мы сразу получим общую длину деформированной пружины.

Да, но в задаче-то спрашивают не длину деформированной пружины, а только её удлиннение (насколько растянулась). Ну это мелочи, наверное. Получили длину растянутой, вычли длину нерастянутой, получили удлиннение.
Просто, в ваших обозначениях, можно было записать не $t(\alpha ) =1+ \frac{\Delta {l_0}(\alpha )}{\Delta l(\alpha )}$ а без единицы, $t(\alpha ) =\frac{\Delta {l_0}(\alpha )}{\Delta l(\alpha )}$

Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):

А вот это я не понимаю. 3 закон Ньютона используется для описания пар внутренних сил системы, например силы реакции опоры со стороны автомобиля и сила давления на сиденье авто в системе человек + жигуль. Но сила тяжести - внешняя сила.
Тут я определенно что-то не понимаю, прошу разъяснить.

Так это вы разъясните, вы же написали про второй закон, что вы имели там в виду? Как вы из второго закона Ньютона и закона Гука что-то там получили? То, что вес $P=mg$ следует из 1) закона всемирного тяготения (Земля, на поверхности Земли, притягивает груз массой $m$ с силой $mg$) и 2) третьего закона Ньютона (сила притяжения уравновешена силой реакции опоры), куда вы там второй закон Ньютона приспособили?

-- 09.01.2019, 14:13 --

Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):

В задаче дан только коэффициент жесткости. Использовать закон Гука с модулем Юнга предпочтительней потому, что для выкладок нужна величина $\[\Delta {l_0}(\alpha )\]$, которая в "обычном" законе Гука "спрячется" под коэффициент жесткости.

Так задача все-таки про стержень или пружину? Потому что помнится оригинальный ваш текст был вроде "задача про стержень, но в решении предлагается заменить стержень пружиной, а коэффициент жесткости эквивалентной стержню пружины посчитать так-то".

-- 09.01.2019, 14:27 --

Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):

Согласен, просто сам сначала не представлял, что надо интегрировать и оставил запись в виде непонятной суммы. Только потом я понял, что интегрируется.

Ну тогда самое время ясно расписать что и как, с чувством толком и расстановкой :) Потому что интегралы у вас тоже странно записаны. Вот например: вы меняете переменную интегрирования но не меняете пределы интегрирования - а почему?

[Munin]

Rusit8800
По сути, придирка realeugene состоит в том, что вам для этой задачи полезно было бы как-то ввести "удельную жёсткость в расчёте на единицу длины", но просто не стоит это делать через формулу с модулем Юнга. Вам стоит взять формулу $k=\dfrac{ES}{l},$ и переписать её в виде $k=\dfrac{K}{l},$ не уточняя связь величины $K$ с модулем Юнга материала.

[realeugene]

(Оффтоп)

По сути, моя придирка связана с тем, что мне лень копать выкладки, смысл которых не понимает их автор.

[Rusit8800]

wrest в сообщении #1367123 писал(а):

Так это вы разъясните, вы же написали про второй закон, что вы имели там в виду? Как вы из второго закона Ньютона и закона Гука что-то там получили? То, что вес $P=mg$ следует из 1) закона всемирного тяготения (Земля, на поверхности Земли, притягивает груз массой $m$ с силой $mg$) и 2) третьего закона Ньютона (сила притяжения уравновешена силой реакции опоры), куда вы там второй закон Ньютона приспособили?

Сам теперь запутался. Я изначально предполагал, что вектора силы тяжести и силы упругости направлены противоположно, а из неподвижности пружины и 2 закона Ньютона следует, что их векторная сумма равна нуль-вектору, поэтому данные вектора к тому же и одинаковы по модулю.

wrest в сообщении #1367123 писал(а):

Так задача все-таки про стержень или пружину?

А есть ли большая разница даже для нулевого приближения?

wrest в сообщении #1367123 писал(а):

Вот например: вы меняете переменную интегрирования но не меняете пределы интегрирования - а почему?

Я, видимо, где-то в голове это представляю, но не записываю. А может даже и не представляю и делаю ошибки. Вообще, мне не всегда очевидно, как сводить задачи механики к формализму высшей математики, потому как приходится всегда догадываться, малые приращения чего нужно рассматривать. Так, я не сразу додумался, что в качестве такого приращение надо брать коэффициент массы $\[\alpha \]$ части пружины.

Munin в сообщении #1367171 писал(а):

Вам стоит взять формулу $k=\dfrac{ES}{l},$ и переписать её в виде $k=\dfrac{K}{l},$ не уточняя связь величины $K$ с модулем Юнга материала.

Все больше и больше становится интересно, как можно записать аналог закона Гука для пружины. Ведь в формуле с коэффициентом $K$ маловато информации - не понятно, откуда берется $K$, от чего зависит, как его выразить через модуль Юнга и зная геометрическую форму деформируемого объекта.

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1367531 писал(а):

Вообще, мне не всегда очевидно, как сводить задачи механики к формализму высшей математики, потому как приходится всегда догадываться, малые приращения чего нужно рассматривать.

Поэтому можно было разделить одну массивную пружину на много маленьких невесомых пружинок и грузиков между ними. То есть отделить массу (вес) от упругости. Или разделить пружину на витки. Тогда номер маленькой пружинки или номер витка и был бы вашим "коэффициентом массы" (если хотите чтобы он был от нуля до единицы -- делите номер пружинки\витка на общее их количество). И тогда можно по-человечески суммировать отдельные пружинки\витки и даже увидеть что там происхожит при росте количества витков.
Просто вот ваше "решение" это вообще не решение, вы не показываете в нём то, что понимаете, что делаете. Вам же нужен не ответ (он и так известен), а именно решение, не так ли?
Почему бы вам не решать теми средствами, которыми вы владеете? А уж эта конкретная задача... Ну я там написал выше словами всё решение, надеюсь что понятно и очевидно, вот и изложите хотя бы от начала до конца, со всеми пояснениями что, как и откуда.

Я еще вижу, по вашему поведению на форуме, что вы быстро теряете интерес, не доводите задачи до конца до наступления полной ясности для вас самого, так чтобы вы могли объяснить в вашем рещении каждый шаг, каждую букву. Лично мне это не кажется правильной привычкой, но навязывать это мнение не буду - вот один раз пишу, и всё.

В этой задаче, кстати, вы могли бы например как-то обобщить: а вот если дан не стержень, а конус, как он удлиннится если его повесить за вершину? За основание? Ну и т.п.

[pogulyat_vyshel]

Ну, конечно, к предложению wrest
решать задачу с висящим конусом ,серьезно относиться не стоит. Судя по тому, что данный персонаж предлагает ее школьнику, он сам не отдает себе отчета в ее сложности. Он очевидно полагает, что вся теория упругости сводится к тривиальным рассуждеиям типа тех, что в этой ветке

[wrest]

Причем тут теория упругости? Идеальных гуковских пружин тоже ведь не бывает. А задачи с ними - бывают.

Rusit8800
Ну может с конусом и не надо, спорить с персонажем pogulyat_vyshel не буду.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1367531 писал(а):

Ведь в формуле с коэффициентом $K$ маловато информации - не понятно, откуда берется $K$, от чего зависит, как его выразить через модуль Юнга и зная геометрическую форму деформируемого объекта.

Это сложная задача, решаемая сопроматом. Вам туда лезть чрезвычайно рано. Но в случае обычных пружин часто сила в достаточно хорошем приближении оказывается пропорциональной удлинению. И этого знания в большинстве не слишком мудрёных случаев оказывается достаточно для решения задач с пружинами и практического использования пружин. Ничего не зная про модуль Юнга стали и размеры витков.

Допустим, у вас есть обычная спиральная линейная пружина с жесткостью $k$. Решите такую задачу. Разрежем эту пружину на несколько кусков различной длины. Какая будет жесткость этих кусков? Для ответа на этот вопрос достаточно знания о симметрии витков пружины, если, конечно, куски не слишком короткие, чтобы на их жесткость начали влиять особенности закрепления концов кусков.