2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 матан vs. общая топология
Сообщение20.11.2018, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Мне в последнее время кажется, что общую топологию с азами теории метрических пространств нужно читать не после вещественного анализа и не до вещественного анализа, а параллельно (в разных курсах, но читаемых в одном семестре, а в идеале чтобы пары шли прямо друг за другом). Рассказали про сходимость последовательности там - и тут же здесь. Про непрерывность там - и тут же про непрерывность здесь. Про компактность там - и тут же про теорему Вейерштрасса здесь. Хотя "тут же" с точностью до лекции малореально, но с максимальным возможным приближением.

Так мы, с одной стороны, избегаем вопросов "что это и зачем это надо", которые возникают, когда топология читается до матана, а с другой, необходимости доказывать одни и те же теоремы по два раза, как это приходится делать, когда наоборот.

Вопрос: какие плюсы и минусы подобного решения вы видите? Кто-нибудь пробовал такую схему? Что получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 00:42 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
А что такое общая топология? Ну то есть вот прошёл семестр. Чем закончится семестровый курс общей топологии? А годовой?

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Nemiroff в сообщении #1355499 писал(а):
А что такое общая топология?
Я думаю, что в качестве обязательного для любого математика минимума (= содержания обязательного курса на математическом факультете) подойдёт содержание учебника Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология в части, посвящённой общей топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 03:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):
минусы подобного решения вы видите


Очень сильно зависит от аудитории. Две очевидные проблемы:

1) Для мотивации топологии недостаточно примеров (как мы видели из того же поста). Вообще, я предпочитаю, чтобы студент достаточно хорошо овладел анализом на $\mathbb R^n$ и метрическими пространствами, прежде чем серьёзно изучать топологию. Я уже упоминал эффект, когда студент на экзамене по линейной алгебре отвечает "векторное пространство -- это частный случай модуля, а что такое модуль -- я не помню".

2) Многие студенты именно в курсе анализа впервые знакомятся с понятием доказательства и тренируются отличать доказательство от не-доказательства. Топология рискует выбить у них почву из-под ног.

-- Вт, 20 ноя 2018 17:17:52 --

Неплохой вариант -- читать топологию в виде вечернего спецкурса для студентов, пришедших из физматшкол, которым на анализе скучно.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 09:00 
Аватара пользователя


21/11/18
1
А можно подробнее, что значит топология выбьет почву из под ног?

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 09:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):
Мне в последнее время кажется, что общую топологию с азами теории метрических пространств нужно читать не после вещественного анализа и не до вещественного анализа, а параллельно (в разных курсах, но читаемых в одном семестре, а в идеале чтобы пары шли прямо друг за другом). Рассказали про сходимость последовательности там - и тут же здесь. Про непрерывность там - и тут же про непрерывность здесь. Про компактность там - и тут же про теорему Вейерштрасса здесь.

Тут же, может, и не надо. (Хотя я знаю эксперименты.)
В свое время нам читали (так многие читают) по схеме: одномерный анализ в чистом виде анализ (первый семестр). Второй семестр, анализ: топологические пространства и все оттуда, что нужно для анализа: хаусдорфовость, компактность, пределы, непрерывность, связность etc, со сравнительным анализом, что это было в одномерном случае и кто есть кто (сравнение беглое, конечно). Потом метрические пространства и уже их специфика. Потом нормированные и их. Потом евклидовы и там то же. А потом собственно $\mathbb R^n$, и у него уже остается мало уникальных свойств, не рассказанных ранее.

Вообще это довольно быстро (я пробовала), но времени все-таки требует, а оно не на всех специальностях, даже околоматематических, есть.

Я к чему: предложение не уникально, и часто курс анализа примерно так и строится.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
hjos.ugh в сообщении #1355535 писал(а):
А можно подробнее, что значит топология выбьет почву из под ног?
Присоединяюсь к вопросу. В упомянутом курсе общей топологии доказательства очень короткие, простые и никогда не требуют ситуативных трюков типа "сочиним функцию вот такого хитрого вида". Казалось бы, на таких тренироваться доказывать - одно удовольствие.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 10:55 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Anton_Peplov в сообщении #1355556 писал(а):
В упомянутом курсе общей топологии доказательства очень короткие, простые

Как говорил Эмиль Борель (кажется, не он автор, но он любил это повторять), "короткие доказательства хороши тем, что они короткие, а длинные --- тем, что длинные!". Т.е., прикиньте, короткое доказательство --- это не всегда хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
vpb в сообщении #1355561 писал(а):
Т.е., прикиньте, короткое доказательство --- это не всегда хорошо.
А можно конкретнее: чем плохи короткие доказательства для усвоения понятия доказательства вчерашним школьником, который до этого доказательств (кроме как их версии для школьной геометрии) в глаза не видел?

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 11:34 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Создают у человека в голове мало ассоциативных связей, и тем самым провоцируют на зазубривание.
Кроме того, доказательства бывают более и менее естественные для данного человека. Более естественные --- как он сам бы стал решать. А короткие доказательства могут в себе неявно содержать очень нетривиальные мысли, для данного человека в данный момент чуждые.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
g______d в сообщении #1355508 писал(а):
Многие студенты именно в курсе анализа впервые знакомятся с понятием доказательства и тренируются отличать доказательство от не-доказательства.

По себе могу сказать, что это не так.
vpb в сообщении #1355576 писал(а):
Создают у человека в голове мало ассоциативных связей, и тем самым провоцируют на зазубривание.

Это про матанализ, как-раз :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 12:26 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):
Вопрос: какие плюсы и минусы подобного решения вы видите?
Есть еще один очевидный минус - материала на первый семестр/курс получается просто слишком много. При этом отложить на потом что-то другое тоже затруднительно, поскольку излагаемый материал требуется в последующих курсах. Наверное, подобная схема реализуема на чисто математической специальности, где нет необходимости срочно обеспечивать базой прикладные (по отношению к математике) предметы, но их сравнительно мало, да и не везде ВУЗ может позволить себе роскошь учить математиков по схеме, существенно отличной от схемы подготовки прикладников.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я не понимаю, какой смысл давать общую топологию студентам, не знакомым как минимум с примерами $\mathbb{R}^n,\mathbb{C},\mathbb{C}^n,$ а то и $\mathbb{Q}_p.$

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Munin в сообщении #1355601 писал(а):
Я не понимаю, какой смысл давать общую топологию студентам, не знакомым как минимум с примерами $\mathbb{R}^n,\mathbb{C},\mathbb{C}^n,$ а то и $\mathbb{Q}_p.$
Каждый раз доказывая одни и те же теоремы. Сначала для $\mathbb{R}^n$, потом для $\mathbb{C}$, потом для $\mathbb{C}^n$.
В голове студента теорема, доказанная четыре раза в разных курсах, возможно, засядет лучше. Но не останется времени на три какие-нибудь другие теоремы. Поэтому подход, описанный Otta, кажется мне более эффективным.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Дело не в том, что засядет лучше, а в том, что он будет видеть, что обобщать. И каковы причины выбрать именно такое обобщение, а не иное.

Если выбирать место для этого курса, то имхо, перед функаном. Желательно сразу перед, чтобы язык не забылся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group