матан vs. общая топология

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1355556 писал(а):

Присоединяюсь к вопросу. В упомянутом курсе общей топологии доказательства очень короткие, простые и никогда не требуют ситуативных трюков типа "сочиним функцию вот такого хитрого вида". Казалось бы, на таких тренироваться доказывать - одно удовольствие.

1) С высокой вероятностью Вы будете иметь дело со студентами, для которых текущая вершина уровня абстракции -- произвольное подмножество $\mathbb R$. Хорошо ещё если они знают, что такое $\mathbb R$, к тому моменту. Вы предлагаете подняться сразу на два уровня (подмножество множества подмножеств). Учитывая, что до этого они могли вообще не иметь дела с формальными определениями.

Другое дело если это студент, который 2-3 года ходил в маткружок в школе и знаком, например, с наивной теорией множеств, аксиоматикой Пеано, и какими-то простейшими механизмами вывода утверждений из аксиом. Но им можно рассказывать что угодно, в общем-то.

2) Абстрактные знания хорошо бы иметь в виде, защищённом от ошибок. Если даже студента научить определению топологического пространства и всяких теорем типа компакт замкнут в хаусдорфовом пространстве или образ компакта компакт -- важно, чтобы в случае какой-то ошибки (например, перепутанных кванторов) студент мог сам заметить, что получается бред. В конечном итоге для того, чтобы убедиться, что что-то бред, нужен контрпример, а для этого желательно овладеть хотя бы открытыми множествами $\mathbb R^n$ (что есть анализ скорее второго семестра).

[provincialka]

А вот мне интересно, насколько вообще человек в подростковом возрасте способен понимать абстракции? Не "вундеркинд", а средний школьник. Умение оперировать абстракциями растет с годами, но вот можно ли этот процесс ускорить "правильным" обучением? Понятно, что вопрос сложный, и неясно, как провести эксперименты.

По крайней мере, у меня есть довольно большая выборка детей, обучаемых современными методами. Я предлагала ученикам задачи, предполагающие формальное мышление. Так вот, 10-11 класс заметно отличался от 6-7-8-9. Ну и "гуманиарии" (студенты) от "математиков".

[arseniiv]

provincialka в сообщении #1355758 писал(а):

Умение оперировать абстракциями растет с годами, но вот можно ли этот процесс ускорить "правильным" обучением?

Но ведь тут уже упоминались маткружки, а от них точно есть эффект (эх, не повезло мне! ). Вряд ли можно чётко разделить знания человека и гибкость оперирования. Вот мы знаем 1 и 2, придумаем ли мы 3? А если знаем 1, 2, …, 42, то представим и $n$ и притом не обязательно за $O(n)$ операций.

-- Чт ноя 22, 2018 03:11:24 --

Ну или не представим, но это наверно будет крупное и редкое невезение или недосыпание, недоедание и пр..

[Munin]

arseniiv

(Векторное произведение)

arseniiv в сообщении #1355715 писал(а):

По-моему, оно не пугало бы так людей, если бы при рассмотрении векторов на плоскости ввели бы «псевдоскалярное», как оно зовётся в малом числе источников, где вообще попадается, произведение, дающее (псевдо)скаляр. Что можно об этом сказать, и есть ли ему место прямо после скалярного произведения?

Я могу про себя сказать, что когда во времена 9—11 классов писал всякие программки, пару раз такое произведение использовал, переоткрыв (ну чего там переоткрывать — вот компонента обычного векторного произведения, торчащего ортогонально плоскости, вот её и возьмём как некоторое число). Про внешнее я не знал, внешнее как раз хорошо пойдёт, если человек будет видеть аналогичность векторного и псевдоскалярного.

(Конечно, есть и другой аналог — «произведение» одного двумерного вектора, дающее ортогональный ему, и оно тоже полезно, но он уж совсем загрязнён скалярным произведением в своём построении и намекает куда-то немного не туда, так что его я предлагать вводить не стану.)

В книжке Маделунг. Математический аппарат физики, которую листал в детстве, мне встретилась такая конструкция:
в $n$-мерном пространстве смешанному произведению $(\mathbf{a}[\mathbf{bc}])$ соответствует $(\mathbf{a}[\mathbf{bcde\ldots}])$ - произведение $n$ векторов, дающее объём $n$-мерного параллелепипеда (со знаком). Соответственно, можно дефинировать $[\mathbf{bcde\ldots}]$ как вектор, дающий в произведении на любой $\mathbf{a}$ такой объём (это определение однозначно). Мне такая система нравится.

В таком случае, в 2 измерениях имеем:
- "векторное произведение" $[\mathbf{b}],$ дающее данный вектор, повёрнутый на $\tfrac{\pi}{2}$;
- и "смешанное произведение" $(\mathbf{a}[\mathbf{b}]),$ дающее скаляр - площадь параллелограмма $ab\sin\alpha.$
По отношению к отражениям, это псевдовектор и псевдоскаляр.

-- 22.11.2018 16:04:48 --

g______d в сообщении #1355724 писал(а):

а для этого желательно овладеть хотя бы открытыми множествами $\mathbb R^n$ (что есть анализ скорее второго семестра).

А как можно определить открытые множества в $\mathbb{R}^n$ на языке матанализа?

Можно ли так: $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ - непрерывная (в стандартном смысле) функция. Если $D$ - решение неравенства $f(\mathbf{x})\geqslant 0,$ то $D$ замкнуто; если $D$ - решение неравенства $f(\mathbf{x})>0,$ то $D$ открыто?

[g______d]

Munin в сообщении #1355908 писал(а):

А как можно определить открытые множества в $\mathbb{R}^n$ на языке матанализа?

В любой точке есть шар.

Munin в сообщении #1355908 писал(а):

Можно ли так: $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ - непрерывная (в стандартном смысле) функция. Если $D$ - решение неравенства $f(\mathbf{x})\geqslant 0,$ то $D$ замкнуто; если $D$ - решение неравенства $f(\mathbf{x})>0,$ то $D$ открыто?

Можно, но обычно определяют так как выше, а это теорема.

[Munin]

Ага, спасибо! Я в общем не в плане "что теорема", а в плане "что можно рассказать как (неформальный) наглядный образ". А то над определением посидишь ещё, почешешь в затылке.

[fred1996]

provincialka
Насчет абстракции.
Помню что в школе классе в 8-9 мне было не совсем понятно выражение: Одинаковые уравнения имеют одинаковые решения.
Относилось это тогда к теме простых гармонических колебаний.
Дифуров я тогда, понятно, не знал. А к предлагаемому "трюку" найти решение с помощью аналогии вращательного движения относился с опаской.
В общем только в университете уже свыкся с этой мыслью.
Да и сейчас, когда сам преподаю этот момент школьникам, в основном читаю в их глазах то же недоверие.
А топология, по моему, еще более абстрактна, чем приведенный мной пример.
На мой взгляд изучать топологию в школе - это слишком рано.
С другой стороны надо не упустить момент, когда это будет слишком поздно.

[Geen]

"Числа" - это тоже абстракция....

[george66]

Munin в сообщении #1355644 писал(а):

Может, её вообще не выделять в отдельный курс, а вкратце повторять (но с едиными терминами и определениями) в начале всех тех курсов, которые на неё опираются? Та же проблема, что и с другими "основаниями математики": множествами, логикой, $\mathbb{R}.$

По поводу "оснований математики": тут кавычки очень кстати, поскольку это сборное и довольно бессмысленное название. Есть математика, до какой-то степени изучающая наблюдаемую реальность, к ней относится матанализ. Некоторые части логики тоже вполне конкретны. Например, разрешимость теории первого порядка для действительных чисел - результат вполне конкретный, хотя не очень простой. А есть, условно говоря, "язык C++", где мы определяем "структуры данных, классы и т.п", вот вся теория множеств туда относится. Сейчас её пытаются заменить на ещё более откровенно программистскую теорию типов. Общая топология - непосредственное продолжение теории множеств, она вместе с ней и помрёт.

[arseniiv]

george66 в сообщении #1356046 писал(а):

Общая топология - непосредственное продолжение теории множеств, она вместе с ней и помрёт.

А что, операторы замыкания куда-то денутся?

[george66]

arseniiv в сообщении #1356047 писал(а):

george66 в сообщении #1356046 писал(а):

Общая топология - непосредственное продолжение теории множеств, она вместе с ней и помрёт.

А что, операторы замыкания куда-то денутся?

Можно то же самое излагать разными путями (нестандартный анализ, специалист назовёт ещё несколько способов дурить студентов). Общая топология даёт ценное понятие "компактность", но ради его одного стоит ли она того. Можно определить компактность для метрических пространств.

[arseniiv]

george66 в сообщении #1356050 писал(а):

Общая топология даёт ценное понятие "компактность", но ради его одного стоит ли она того.

Ну что это за пессимизм.

[Red_Herring]

Мне кажется, что курс должен быть "Элементы общей топологии, теории метрических пространств и теории меры", без всяких хитрых аксиом отделимости (кроме наиболее сильной) и размерностей по Лебегу и Урысону, но с размерностями по Хаусдорфу и Минковскому и связь меры и топологии.

[vpb]

george66 в сообщении #1356046 писал(а):

Общая топология - непосредственное продолжение теории множеств, она вместе с ней и помрёт

Как область активных исследований то и другое, возможно, уже в основном закончились. Однако как учебные предметы, в рамках других курсов или самостоятельно, они, несомненно, вечны, как евклидова геометрия. Ибо необходимы.

-- 23.11.2018, 08:36 --

Red_Herring в сообщении #1356058 писал(а):

без всяких хитрых аксиом отделимости (кроме наиболее сильной) и размерностей по Лебегу и Урысону, но с размерностями по Хаусдорфу и Минковскому и связь меры и топологии

Гм. Хочу обратить внимание, что есть много ситуаций с неотделимостью, в других частях математики. Типа топология Зарисского, или фактор многообразия по группе... "тысячи их!" . Давать хотя бы понятие о разных типах отделимости, по моему, необходимо. Да оно, по моим сведениям, иногда и дается прямо в курсе матана.

[Munin]

(Оффтоп)

Вавилов настаивает, что правильно "Зариского".