Ищу книги по истории и мотивации топологии

[Rennorb]

Здравствуйте. Учусь на первом курсе математического факультета, со второго модуля у нас началась топология. Преподавание выглядит примерно так: лектор вводит понятие, доказывает несколько свойств, приводит один-два примера, затем вводит новое понятие и так далее. При этом пока ни разу не было сказано, какие вообще задачи можно с помощью этого аппарата решать, как эти определения появились, почему они такие, а не какие-нибудь еще. Во всем этом можно разобраться, но не очень понятно зачем.

Например, в школе, когда вводилось какое-нибудь новое, неожиданное для нас понятие (предел, производная, интеграл, ряд, комплексные числа), наш преподаватель рассказывал, как и зачем оно появилось. Примерно то же происходит и на остальных предметах в вузе, но не на топологии. Самое обидное, что летом я пытался читать всякие популярные книжки и статьи, в которых вводятся красивые топологические объекты и изящно решались интересные (и довольно живые, не искусственные) задачи.

Наверняка есть книга, в которой бы рассказывалось, как появилась и развивалась топология, в которой объяснялось бы происхождение основных понятий. Я знаю, что есть много учебников, но ни в одном из тех, которые я пытался читать, этого не было.

[Pphantom]

(Оффтоп)

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):

При этом пока ни разу не было сказано, какие вообще задачи можно с помощью этого аппарата решать, как эти определения появились, почему они такие, а не какие-нибудь еще. Во всем этом можно разобраться, но не очень понятно зачем.

А не пробовали ли вы задавать эти вопросы лектору? Книги, конечно, это тоже хорошо, но вдруг он и сам ответит...

[Anton_Peplov]

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):

Примерно то же происходит и на остальных предметах в вузе

Вам повезло с преподавателями.

Про историю промолчу, не знаю.

Про мотивацию примерно так. Вам наверняка знакомо понятие непрерывной функции и открытого множества на $\mathbb R$. Так вот оно естественным образом переносится на $\mathbb R^n$. А оттуда - на метрическое пространство. Надеюсь, что такое метрическое пространство, Вы знаете (а если не знаете, узнайте) и отрицать полезность этого понятия не станете.

На метрическом пространстве открытое множество можно определить как объединение (не обязательно конечное) открытых шаров. Затем доказываются следующие утверждения:

1. Любое объединение открытых множеств открыто.
2. Конечное пересечение открытых множеств открыто.

Далее можно ввести понятие непрерывной функции как функции $f: X \to Y$, для которой у каждого открытого множества $A \subset Y$ открытый прообраз в $X$. Или ввести непрерывность в точке, а непрерывную функцию определить как непрерывную в каждой точке.

Далее доказывается куча полезных и красивых теорем.

Замечательный факт состоит в том, что доказательства многих из этих теорем в конечном счёте опираются только на утверждения 1 и 2. То есть, если ввести эти утверждения аксиоматически (назвать открытыми те множества, для которых они справедливы), то все эти теоремы сохраняют силу.

Как это происходит, Вы можете увидеть в книге Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Там как раз основные понятия формулируются сначала для метрических пространств, а затем для произвольных топологических.

Таким образом, большое количество теорем, которые первоначально были доказаны только для прямой, а потом только для $\mathbb R^n$, без всяких усилий переносятся на гораздо более общий случай. А обобщение известной теоремы - всегда желанный результат для математика.

Чтобы не быть голословным, открою первый том учебника Ильина и Позняка по матану и пройдусь по списку теорем и определений.

- понятие последовательности, предела, предельной точки - чисто топологические (имеют смысл для любого топологического пространства);
- понятие непрерывной функции - чисто топологическое;
- теорема о том, что композиция непрерывных функций непрерывна - чисто топологическая (верна для любого топологического пространства);
- теоремы о том, что для $f, g : X \to \mathbb R$:
1) Если $f(x)$ непрерывна, то $|f(x)|$ непрерывна,
2) если, кроме того, $g(x)$ непрерывна, то $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$, $f(x) g(x)$, $\max\{f(x), g(x)\}$,$\min\{f(x), g(x)\}$ непрерывны;
3)если, кроме того, $g(x)\ne 0$, то $\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна - верны для любого топологического пространства $X$ (не только для $X = \mathbb R$);
- теорема о том, что непрерывный образ отрезка есть отрезок - тривиальное следствие чисто топологической теоремы, что непрерывный образ компактного множества компактен.

То есть благодаря топологии изрядный кусок доказанного матана переносится на случай, невероятно более общий, чем $\mathbb R$.

Можно спросить, где используется этот "общий случай". Ответ: везде. Топологические пространства и теоремы о них используются везде от теории чисел до математической логики.

Стало немного понятнее?

-- 15.11.2018, 21:55 --

Рекомендую также прочитать эту тему (особенно сообщения Xaositect):
«Общая топология. Для чего?»

[Rennorb]

Цитата громадного размера удалена

Благодарю. Вопрос в другом: вот мы ввели какой-то очень простой объект, который волшебным образом позволяет как решать новые сложные задачи, так и обобщать уже известные факты на уйму разных случаев. Но это определение топологического пространства откуда-то взялось, его кто-то ввел именно с этими свойствами, которых почему-то достаточно. Этот кто-то, вероятно, решал какие-то свои задачи, и смог решить их с помощью именно этого аппарата, а не, например, теории чисел или анализа.

Вот анализ, кажется, формировался как инструмент в физике, понятия производная/интеграл очень легко объяснить в терминах координаты, скорости и ускорения.
Комплексные числа появились при решении уравнений высоких степеней, и нужны были для того, чтобы объяснить, как очевидно правильный ответ получается с помощью неправильных (в действительных числах) действий.

Мне кажется, что должно быть сравнимое объяснение, почему топология именно такая.

[Anton_Peplov]

Rennorb

По форме. Не надо полностью цитировать длинное сообщение, на которое отвечаете. Получаются трудно читаемые простыни.
Часто (как в данном случае) и без цитаты понятно, кому и на что Вы отвечаете. Если нужно уточнить, можно упомянуть ник участника, как я только что упомянул Ваш (для этого достаточно нажать на него мышкой). Или процитировать фрагмент сообщения.

Чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите нужный фрагмент и нажмите на этом сообщении кнопку "Вставка".

По сути. Запрос Ваш понимаю, но ничего полезного, увы, ответить на него не могу.

[demolishka]

Rennorb, топология - это язык, на котором говорят почти что во всех областях математики. Так что ответ на вопрос

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):

какие вообще задачи можно с помощью этого аппарата решать

- почти что любые. Если Вы не заметили, то математический анализ, там где рассуждает о непрерывности, в сущности говорит на языке топологии. В дальнейшем он уходит в этакий микс.

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):

как эти определения появились, почему они такие, а не какие-нибудь еще

Появились именно эти определения и формулировки в результате столетнего развития топологии величайшими математиками. Т. е. все именно так потому что удобно. Нужно ли пытаться именно сейчас понять это удобство? Я бы не советовал - все равно это понимание придет со временем. Сейчас же Вам нужно довериться преподавателю и просто учить этот язык. Это, к слову, относится и к остальным общим учебным разделам математики.

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):

Во всем этом можно разобраться, но не очень понятно зачем

Математика не любит вопросов "Зачем?", она любит вопросы "Почему?".

[arseniiv]

Да нет, почему, нормально она относится к вопросам «зачем», просто иногда они в разной степени метаматематические и часто нужно знать намного больше, чем изучаемое сейчас, чтобы ответить. Кто-то сказал, что mathematics is only learned in hindsight, вот для таких вопросов это да и да.

Кстати, может быть ТС станет намного лучше, если сказать, что можно определить топологию как множество всех замкнутых, а не открытых множеств. Тогда аксиомы топологического пространства и некоторые низкоуровневые определения станут «двойственными» обычно используемым (ведь замкнутые и открытые множества идут парами—дополнениями друг друга), но всё остальное никак не изменится. Ну и ещё были какие-то другие альтернативные определения — но суть-то в том, что почти в каждой теории на изначальные определения опирается только чуточка их непосредственных следствий, а хитрые, глубокие результаты уже почти в явном виде не пользуются этим ядром. Обычно.

Так что важен не конкретный до запятой вид определений, важно что они позволяют в конечном итоге и как просто, а это как раз сначала надо вывести и прочитать и подумать. Топология тут будет ничем не хуже теории категорий, теории групп и подобных. (И хм, наверно это всё есть в той теме, на которую сослался Anton_Peplov.)

[george66]

Понятия "открытое множество" и "замкнутое множество" ввёл Кантор, изучая, на каких множествах может сходиться тригонометрический ряд. Абстрактную сходимость первым изучал Фреше, он брал за основу отношение "последовательность сходится к точке" и описывал его аксиоматически (типа, если последовательность сходится к точке, то и любая её подпоследовательность сходится к этой точке). Определение топологии как семейства (открытых) множеств с некоторыми свойствами дали Александров и Урысон. Оказалось, что это не совсем то же самое, что пространства Фреше, поэтому ввели "обобщённые последовательности" (направленности, фильтры), которые могут иметь любую мощность. Содержательно, основным отношением является "точка близко к множеству" (например, точки окружности лежат близко к открытому кругу), а непрерывные функции сохраняют эту "близость".

[arseniiv]

Кстати в продолжение эквивалентных аксиоматизаций: в той теме Xaositect как раз упоминает задание топологического пространства оператором замыкания. Спасибо Anton_Peplov за хорошую ссылку. Хотя там есть интересный вопрос про то, что топология обобщает не любую сходимость и не сказано, где посмотреть, что же обобщает любую.

[george66]

arseniiv в сообщении #1354375 писал(а):

Кстати в продолжение эквивалентных аксиоматизаций: в той теме Xaositect как раз упоминает задание топологического пространства оператором замыкания. Спасибо Anton_Peplov за хорошую ссылку. Хотя там есть интересный вопрос про то, что топология обобщает не любую сходимость и не сказано, где посмотреть, что же обобщает любую.

Есть обобщения топологических пространств. Например, можно брать за основу отношение "ультрафильтр сходится к точке", тогда нужна единственная аксиома "главный ультрафильтр сходится к своей точке" (немного потрудившись, можно задать и через фильтры)
https://ncatlab.org/nlab/show/convergence+space
Оператор замыкания в таких пространствах не идемпотентный.

[vpb]

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):

летом я пытался читать всякие популярные книжки и статьи, в которых вводятся красивые топологические объекты

Можно узнать, какие ?

Есть хорошая книга Г. Фрейденталь, Математика в науке и вокруг нас. Там есть глава "Искусство рисовать плохо".

-- 16.11.2018, 03:50 --

Rennorb в сообщении #1354326 писал(а):

Учусь на первом курсе математического факультета, со второго модуля у нас началась топология. Преподавание выглядит примерно так: лектор вводит понятие, доказывает несколько свойств, приводит один-два примера, затем вводит новое понятие и так далее. При этом пока ни разу не было сказано, какие вообще задачи можно с помощью этого аппарата решать, как эти определения появились, почему они такие, а не какие-нибудь еще. Во всем этом можно разобраться, но не очень понятно зачем

Есть такие факультеты, где сначала людей учат классическому матанализу, а потом, скажем уже во второй половине второго семестра, немного топологии. При этом порядке обучения лучше понятно, в чем состоят мотивы введения топологических понятий.

[vpb]

Еще раз про упомянутую книжку. Я сейчас вновь просмотрел ту главу. Там общих рассуждений о пользе топологии нет, но читая, чувствуешь, что видишь какую-то новую важную истину, за пределами алгебры и школьной геометрии. Вот, собственно, и мотивация. А мотив существования "общей топологии" в том, чтобы в геометрической топологии (которая в книжке) всё было аккуратно, без шероховатостей и прочих косяков. Точнее, один из мотивов. Второй же вероятно такой. В ходе развития матанализа появлялись всякие идеи и рассуждения, связанные с непрерывностью, всякие разные. И в какой-то момент эти идеи отделились от конкретных объектов, типа чисел и функций, и стали относительно самостоятельным предметом. Произошло абстрагирование, с целью экономии мышления. Дело это, в сущности, обычное.

А Ваш дискомфорт, наверное, от того, что вас пытаются сначала топологией кормить, а только потом матаном. Пуанкаре, (отец топологии, между прочим), писал, что есть два способа учить ребенка дробям: первый способ, когда делят яблоко на несколько частей; а второй способ --- когда делят пирог. То есть, попросту говоря, способ один, причем от частного к общему, от примеров к обобщению. А у вас там, наверное, другой подход к преподаванию математики.

(Оффтоп)

Многие "педагогические новации" из ВШЭ тут на форуме уже не раз сурово осуждались (причем самыми уважаемыми людьми форума), иногда буквально в той тональности, что "чем скорее она провалится ко всем чертям, тем лучше". Мое мнение такое: педагогика и методика преподавания математики, конечно, не стоят на месте, но что-то во ВШЭ того... загибают слишком.

[george66]

Кстати, да, какая топология - общая или алгебраическая? Это, по сути, разные науки ( в реферативных журналах ВИНИТИ у них разные темы). Если алгебраическая (гомотопии и гомологии), это другое дело, но она гораздо нагляднее.

[Slav-27]

demolishka в сообщении #1354362 писал(а):

Математика не любит вопросов "Зачем?", она любит вопросы "Почему?".

Это так. (По-моему, это не только хорошо, но и плохо.)

Rennorb
А смотрели Вербицкий. Топология в задачах? Там и про историю написано и вообще много чего хорошего (и много не очень хорошего, в том числе ошибок, не знаю, исправляются они или нет).

[BVR]

Может так глубоео не надо заходить?
Ну, может, так, попроще (геометрически): топология - это наука, которая изучает свойства фигур, сохраняющиеся при непрерывных отображениях. А как ввести понятие непрерывного отображения чего-то? Ну, вот и потребовались понятия открытого, замкнутого и т. д.
Был кусок проволоки. Вы его согнули как-то. Какие геометрические свойства сохранились, а какие нарушились? А потом концы соединили или восьмерку сделали. Что-то ведь изменилось. А что именно? Потребность описать такие свойства и породила топологию...