2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 матан vs. общая топология
Сообщение20.11.2018, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6101
Мне в последнее время кажется, что общую топологию с азами теории метрических пространств нужно читать не после вещественного анализа и не до вещественного анализа, а параллельно (в разных курсах, но читаемых в одном семестре, а в идеале чтобы пары шли прямо друг за другом). Рассказали про сходимость последовательности там - и тут же здесь. Про непрерывность там - и тут же про непрерывность здесь. Про компактность там - и тут же про теорему Вейерштрасса здесь. Хотя "тут же" с точностью до лекции малореально, но с максимальным возможным приближением.

Так мы, с одной стороны, избегаем вопросов "что это и зачем это надо", которые возникают, когда топология читается до матана, а с другой, необходимости доказывать одни и те же теоремы по два раза, как это приходится делать, когда наоборот.

Вопрос: какие плюсы и минусы подобного решения вы видите? Кто-нибудь пробовал такую схему? Что получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3904
МФТИ ФУПМ
А что такое общая топология? Ну то есть вот прошёл семестр. Чем закончится семестровый курс общей топологии? А годовой?

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6101
Nemiroff в сообщении #1355499 писал(а):
А что такое общая топология?
Я думаю, что в качестве обязательного для любого математика минимума (= содержания обязательного курса на математическом факультете) подойдёт содержание учебника Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология в части, посвящённой общей топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 03:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5595
Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):
минусы подобного решения вы видите


Очень сильно зависит от аудитории. Две очевидные проблемы:

1) Для мотивации топологии недостаточно примеров (как мы видели из того же поста). Вообще, я предпочитаю, чтобы студент достаточно хорошо овладел анализом на $\mathbb R^n$ и метрическими пространствами, прежде чем серьёзно изучать топологию. Я уже упоминал эффект, когда студент на экзамене по линейной алгебре отвечает "векторное пространство -- это частный случай модуля, а что такое модуль -- я не помню".

2) Многие студенты именно в курсе анализа впервые знакомятся с понятием доказательства и тренируются отличать доказательство от не-доказательства. Топология рискует выбить у них почву из-под ног.

-- Вт, 20 ноя 2018 17:17:52 --

Неплохой вариант -- читать топологию в виде вечернего спецкурса для студентов, пришедших из физматшкол, которым на анализе скучно.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 09:00 
Аватара пользователя


21/11/18
1
А можно подробнее, что значит топология выбьет почву из под ног?

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 09:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7433
Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):
Мне в последнее время кажется, что общую топологию с азами теории метрических пространств нужно читать не после вещественного анализа и не до вещественного анализа, а параллельно (в разных курсах, но читаемых в одном семестре, а в идеале чтобы пары шли прямо друг за другом). Рассказали про сходимость последовательности там - и тут же здесь. Про непрерывность там - и тут же про непрерывность здесь. Про компактность там - и тут же про теорему Вейерштрасса здесь.

Тут же, может, и не надо. (Хотя я знаю эксперименты.)
В свое время нам читали (так многие читают) по схеме: одномерный анализ в чистом виде анализ (первый семестр). Второй семестр, анализ: топологические пространства и все оттуда, что нужно для анализа: хаусдорфовость, компактность, пределы, непрерывность, связность etc, со сравнительным анализом, что это было в одномерном случае и кто есть кто (сравнение беглое, конечно). Потом метрические пространства и уже их специфика. Потом нормированные и их. Потом евклидовы и там то же. А потом собственно $\mathbb R^n$, и у него уже остается мало уникальных свойств, не рассказанных ранее.

Вообще это довольно быстро (я пробовала), но времени все-таки требует, а оно не на всех специальностях, даже околоматематических, есть.

Я к чему: предложение не уникально, и часто курс анализа примерно так и строится.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6101
hjos.ugh в сообщении #1355535 писал(а):
А можно подробнее, что значит топология выбьет почву из под ног?
Присоединяюсь к вопросу. В упомянутом курсе общей топологии доказательства очень короткие, простые и никогда не требуют ситуативных трюков типа "сочиним функцию вот такого хитрого вида". Казалось бы, на таких тренироваться доказывать - одно удовольствие.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 10:55 
Заслуженный участник


18/01/15
1460
Anton_Peplov в сообщении #1355556 писал(а):
В упомянутом курсе общей топологии доказательства очень короткие, простые

Как говорил Эмиль Борель (кажется, не он автор, но он любил это повторять), "короткие доказательства хороши тем, что они короткие, а длинные --- тем, что длинные!". Т.е., прикиньте, короткое доказательство --- это не всегда хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6101
vpb в сообщении #1355561 писал(а):
Т.е., прикиньте, короткое доказательство --- это не всегда хорошо.
А можно конкретнее: чем плохи короткие доказательства для усвоения понятия доказательства вчерашним школьником, который до этого доказательств (кроме как их версии для школьной геометрии) в глаза не видел?

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 11:34 
Заслуженный участник


18/01/15
1460
Создают у человека в голове мало ассоциативных связей, и тем самым провоцируют на зазубривание.
Кроме того, доказательства бывают более и менее естественные для данного человека. Более естественные --- как он сам бы стал решать. А короткие доказательства могут в себе неявно содержать очень нетривиальные мысли, для данного человека в данный момент чуждые.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2444
g______d в сообщении #1355508 писал(а):
Многие студенты именно в курсе анализа впервые знакомятся с понятием доказательства и тренируются отличать доказательство от не-доказательства.

По себе могу сказать, что это не так.
vpb в сообщении #1355576 писал(а):
Создают у человека в голове мало ассоциативных связей, и тем самым провоцируют на зазубривание.

Это про матанализ, как-раз :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 12:26 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
18789
Кронштадт
Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):
Вопрос: какие плюсы и минусы подобного решения вы видите?
Есть еще один очевидный минус - материала на первый семестр/курс получается просто слишком много. При этом отложить на потом что-то другое тоже затруднительно, поскольку излагаемый материал требуется в последующих курсах. Наверное, подобная схема реализуема на чисто математической специальности, где нет необходимости срочно обеспечивать базой прикладные (по отношению к математике) предметы, но их сравнительно мало, да и не везде ВУЗ может позволить себе роскошь учить математиков по схеме, существенно отличной от схемы подготовки прикладников.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
13/11/19
71141
Я не понимаю, какой смысл давать общую топологию студентам, не знакомым как минимум с примерами $\mathbb{R}^n,\mathbb{C},\mathbb{C}^n,$ а то и $\mathbb{Q}_p.$

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6101
Munin в сообщении #1355601 писал(а):
Я не понимаю, какой смысл давать общую топологию студентам, не знакомым как минимум с примерами $\mathbb{R}^n,\mathbb{C},\mathbb{C}^n,$ а то и $\mathbb{Q}_p.$
Каждый раз доказывая одни и те же теоремы. Сначала для $\mathbb{R}^n$, потом для $\mathbb{C}$, потом для $\mathbb{C}^n$.
В голове студента теорема, доказанная четыре раза в разных курсах, возможно, засядет лучше. Но не останется времени на три какие-нибудь другие теоремы. Поэтому подход, описанный Otta, кажется мне более эффективным.

 Профиль  
                  
 
 Re: матан vs. общая топология
Сообщение21.11.2018, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
13/11/19
71141
Дело не в том, что засядет лучше, а в том, что он будет видеть, что обобщать. И каковы причины выбрать именно такое обобщение, а не иное.

Если выбирать место для этого курса, то имхо, перед функаном. Желательно сразу перед, чтобы язык не забылся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group