матан vs. общая топология

[Anton_Peplov]

Мне в последнее время кажется, что общую топологию с азами теории метрических пространств нужно читать не после вещественного анализа и не до вещественного анализа, а параллельно (в разных курсах, но читаемых в одном семестре, а в идеале чтобы пары шли прямо друг за другом). Рассказали про сходимость последовательности там - и тут же здесь. Про непрерывность там - и тут же про непрерывность здесь. Про компактность там - и тут же про теорему Вейерштрасса здесь. Хотя "тут же" с точностью до лекции малореально, но с максимальным возможным приближением.

Так мы, с одной стороны, избегаем вопросов "что это и зачем это надо", которые возникают, когда топология читается до матана, а с другой, необходимости доказывать одни и те же теоремы по два раза, как это приходится делать, когда наоборот.

Вопрос: какие плюсы и минусы подобного решения вы видите? Кто-нибудь пробовал такую схему? Что получилось?

[Nemiroff]

А что такое общая топология? Ну то есть вот прошёл семестр. Чем закончится семестровый курс общей топологии? А годовой?

[Anton_Peplov]

Nemiroff в сообщении #1355499 писал(а):

А что такое общая топология?

Я думаю, что в качестве обязательного для любого математика минимума (= содержания обязательного курса на математическом факультете) подойдёт содержание учебника Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология в части, посвящённой общей топологии.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):

минусы подобного решения вы видите

Очень сильно зависит от аудитории. Две очевидные проблемы:

1) Для мотивации топологии недостаточно примеров (как мы видели из того же поста). Вообще, я предпочитаю, чтобы студент достаточно хорошо овладел анализом на $\mathbb R^n$ и метрическими пространствами, прежде чем серьёзно изучать топологию. Я уже упоминал эффект, когда студент на экзамене по линейной алгебре отвечает "векторное пространство -- это частный случай модуля, а что такое модуль -- я не помню".

2) Многие студенты именно в курсе анализа впервые знакомятся с понятием доказательства и тренируются отличать доказательство от не-доказательства. Топология рискует выбить у них почву из-под ног.

-- Вт, 20 ноя 2018 17:17:52 --

Неплохой вариант -- читать топологию в виде вечернего спецкурса для студентов, пришедших из физматшкол, которым на анализе скучно.

[hjos.ugh]

А можно подробнее, что значит топология выбьет почву из под ног?

[Otta]

Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):

Мне в последнее время кажется, что общую топологию с азами теории метрических пространств нужно читать не после вещественного анализа и не до вещественного анализа, а параллельно (в разных курсах, но читаемых в одном семестре, а в идеале чтобы пары шли прямо друг за другом). Рассказали про сходимость последовательности там - и тут же здесь. Про непрерывность там - и тут же про непрерывность здесь. Про компактность там - и тут же про теорему Вейерштрасса здесь.

Тут же, может, и не надо. (Хотя я знаю эксперименты.)
В свое время нам читали (так многие читают) по схеме: одномерный анализ в чистом виде анализ (первый семестр). Второй семестр, анализ: топологические пространства и все оттуда, что нужно для анализа: хаусдорфовость, компактность, пределы, непрерывность, связность etc, со сравнительным анализом, что это было в одномерном случае и кто есть кто (сравнение беглое, конечно). Потом метрические пространства и уже их специфика. Потом нормированные и их. Потом евклидовы и там то же. А потом собственно $\mathbb R^n$, и у него уже остается мало уникальных свойств, не рассказанных ранее.

Вообще это довольно быстро (я пробовала), но времени все-таки требует, а оно не на всех специальностях, даже околоматематических, есть.

Я к чему: предложение не уникально, и часто курс анализа примерно так и строится.

[Anton_Peplov]

hjos.ugh в сообщении #1355535 писал(а):

А можно подробнее, что значит топология выбьет почву из под ног?

Присоединяюсь к вопросу. В упомянутом курсе общей топологии доказательства очень короткие, простые и никогда не требуют ситуативных трюков типа "сочиним функцию вот такого хитрого вида". Казалось бы, на таких тренироваться доказывать - одно удовольствие.

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1355556 писал(а):

В упомянутом курсе общей топологии доказательства очень короткие, простые

Как говорил Эмиль Борель (кажется, не он автор, но он любил это повторять), "короткие доказательства хороши тем, что они короткие, а длинные --- тем, что длинные!". Т.е., прикиньте, короткое доказательство --- это не всегда хорошо.

[Anton_Peplov]

vpb в сообщении #1355561 писал(а):

Т.е., прикиньте, короткое доказательство --- это не всегда хорошо.

А можно конкретнее: чем плохи короткие доказательства для усвоения понятия доказательства вчерашним школьником, который до этого доказательств (кроме как их версии для школьной геометрии) в глаза не видел?

[vpb]

Создают у человека в голове мало ассоциативных связей, и тем самым провоцируют на зазубривание.
Кроме того, доказательства бывают более и менее естественные для данного человека. Более естественные --- как он сам бы стал решать. А короткие доказательства могут в себе неявно содержать очень нетривиальные мысли, для данного человека в данный момент чуждые.

[Geen]

g______d в сообщении #1355508 писал(а):

Многие студенты именно в курсе анализа впервые знакомятся с понятием доказательства и тренируются отличать доказательство от не-доказательства.

По себе могу сказать, что это не так.

vpb в сообщении #1355576 писал(а):

Создают у человека в голове мало ассоциативных связей, и тем самым провоцируют на зазубривание.

Это про матанализ, как-раз

[Pphantom]

Anton_Peplov в сообщении #1355496 писал(а):

Вопрос: какие плюсы и минусы подобного решения вы видите?

Есть еще один очевидный минус - материала на первый семестр/курс получается просто слишком много. При этом отложить на потом что-то другое тоже затруднительно, поскольку излагаемый материал требуется в последующих курсах. Наверное, подобная схема реализуема на чисто математической специальности, где нет необходимости срочно обеспечивать базой прикладные (по отношению к математике) предметы, но их сравнительно мало, да и не везде ВУЗ может позволить себе роскошь учить математиков по схеме, существенно отличной от схемы подготовки прикладников.

[Munin]

Я не понимаю, какой смысл давать общую топологию студентам, не знакомым как минимум с примерами $\mathbb{R}^n,\mathbb{C},\mathbb{C}^n,$ а то и $\mathbb{Q}_p.$

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1355601 писал(а):

Я не понимаю, какой смысл давать общую топологию студентам, не знакомым как минимум с примерами $\mathbb{R}^n,\mathbb{C},\mathbb{C}^n,$ а то и $\mathbb{Q}_p.$

Каждый раз доказывая одни и те же теоремы. Сначала для $\mathbb{R}^n$, потом для $\mathbb{C}$, потом для $\mathbb{C}^n$.
В голове студента теорема, доказанная четыре раза в разных курсах, возможно, засядет лучше. Но не останется времени на три какие-нибудь другие теоремы. Поэтому подход, описанный Otta, кажется мне более эффективным.

[Munin]

Дело не в том, что засядет лучше, а в том, что он будет видеть, что обобщать. И каковы причины выбрать именно такое обобщение, а не иное.

Если выбирать место для этого курса, то имхо, перед функаном. Желательно сразу перед, чтобы язык не забылся.