Вывод соотношения неопределенностей (СН) в классике
У Блохинцева он дан в гл.II на с.65. Мы предлагаем ещё один вариант вывода СН.
Пусть

- случайная величина (в общем — набор величин) в пространстве

. Пусть

- её распределение — плотность вероятности, нормированная на единицу :
(1)

.
Пусть функция

удовлетворяет условиям Дирихле, скажем, принимает ограниченные значения в конечной области шириной

.
Проведем отображение

, т.е. перейдем к случайной величине

в пространстве

, сопряженном пространству

. Для этого разложим

в интеграл Фурье по «гармоникам» с «частотой»

:
(2)
с плотностью спектра
(3)

.

- плотность вероятности — функция распределения канонически сопряженной

случайной величины

в пространстве

, также удовлетворяющей условию нормировки
(4)

.
Найдем связь величины флуктуаций величины

, равной

, с величиной флуктуаций сопряженной величины

, равной

.
Мы не будем решать точную задачу для среднеквадратичных отклонений (дисперсий распределений

и

, как это сделано у Блохинцева, а рассмотрим для упрощения вывода процедуру усреднения.
Аппроксимируем распределение

огибающим его прямоугольником :
(5)

.
Тогда из (3) следует усредненный вид Фурье-спектра изображения :
(6)

.
Ширина первой полосы

этого усредненного спектра соответствует обращению в нуль синуса в (6), т.е. на границе

:

.
Отсюда, учитывая, что спектр изображения больше своей первой полосы, учитывая, что

, а

, получаем неравенство :
(7)
Это — соотношение неопределенностей — связь спектров функции распределения

- «волновой функции» - и её Фурье-изображения - «волновой функции»

.
Например,
1)если

,

, где

- энергия частицы, то из (7) следует :

;
2)если

- координате,

, где

- импульс частицы, то из (7) следует :

.
#
Добавлено спустя 2 часа 22 минуты 26 секунд:
AlexNew писал(а):
pc20b писал(а):
И всё осталное возникает путем изоморфизмов. Где я не прав?
В классич физике волновая "функция" или "вектор состояния" системы будет зависить от p и q. В КМ либо p либо q достаточно для полного описания системы.
Это уже называется "судебная тяжба". По мне так достаточно для доказательства изоморфизма получить в классике переход к операторам, коммутационное соотношение и соотношение неопределенностей. Вывод

- это ОТО (как, было показано). Это сделано. Всё остальное - детали, не принципиально (две статистики, тождественность, ...). Разве не так? ***
*** Похоже на анекдот : - У вас есть золотой ночной горшок? - Есть. - А с ручкой внутри? Нет?... Будем искать...
Теперь насчет полноты координатного и импульсного пространства в классике : разве эквивалентность вычисления наблюдаемых - средних значений случайных величин - в координатном и импульсном (Фурье-сопряженном) представлениях - в этом Вас не убеждает? :

(здесь многоточие (...) помечает опущенный вывод). Вот Вам изоморфизм p на q.
Для чего нужно "фазовое" (space) пространство

? Идея проста как помидор : в пространствах

и

случаются случайные столкновения - точки пересечения траекторий - особенности распределения

: в них координаты совпадают, НО ИМПУЛЬСЫ - РАЗНЫЕ.
Поэтому, чтобы перейти к гладкому случайному полю без пересечений траекторий, увеличивают размерность пространства, добавляя к координатам

трансверсально координаты

: в этом расширенном пространстве пересечения исчезают, функция распределения

становится непрерывной и удовлетворяет уравнению непрерывности, которое, в случае к тому же и несжимаемости, превращается в уравнение Лиувилля и допускает удобное гамильтоново представление. Вот и весь фокус.
Цитата:
есть разумеется и другие отличия... например тождеств частиц и много чего еще
Ответьте лучше на след вопросы : из какого физич соображения следует
1)коммутация операторов p и q в классич стат физике ?
2)антикоммутац в КМ ?
Насчет вывода коммутаторов в классике - это уже вроде бы было продемонстрировано на примере получения коммутатора
![$[\hat p, \hat q]$ $[\hat p, \hat q]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/5/3956a86f58c5afd3e2ab77eb2eea624782.png)
. С остальными вопросами, извините, можно попозже (не мой это бизнес, лучше бы помогли)