В защиту Литлвуда

[AGu]

Увы, похоже, что Лукомор даже не пытается вникнуть в наши разъяснения. Так что я, пожалуй, тоже буду игнорировать его высказывания. В отместку.

PAV писал(а):

мы обсуждаем задачу, в которой используются классические натуральные числа, удовлетворяющие аксиомам Пеано.

Да, но в радикальном нестандартном анализе нет "неклассических" натуральных чисел, и аксиомы Пеано там не нарушаются.

Someone писал(а):

AGu в сообщении #134932 писал(а):

это -- вопрос вкуса

Ни в малейшей степени. В противном случае Вам придётся указать конкретный номер шара, оставшегося в ящике.

Вы по какой-то причине настаиваете на непрерывности именно функции $A(t)$. Как я уже говорил, мне она тоже кажется естественной, но я не разделяю Вашу категоричность. Почему бы, например, не положить $A(t_0)={\mathbb N}$? Ведь тогда $|A(t_n)|\to|A(t_0)|$, что тоже естественно. Разумеется, при этом $A(t_n)$ не стремится к $A(t_0)$, но ведь условия никак не оговаривают содержимое ящика в момент $t_0$ и неявно предлагают домысливать его из вкусовых соображений, а извращенный вкус -- это тоже вкус.

[Лукомор]

PAV в сообщении #134953 писал(а):

Лукомор, напишите общественности подробно, что Вы вынесли для себя из прошедшего обсуждения и какова сейчас Ваша позиция по данному вопросу.

Это была разведка боем....
Впечатление от форума самое приятное, тяжело с вами бороться!
Спасибо всем без исключения участникам обсуждения за проявленное терпение и снисходительность к непрофессионалу.

[TOTAL]

AGu писал(а):

но ведь условия никак не оговаривают содержимое ящика в момент $t_0$ и неявно предлагают домысливать его из вкусовых соображений, а извращенный вкус -- это тоже вкус.

Из вкусовых соображений подбросим в ящик в моменты$-\sqrt{2}/n$ несколько шаров. В условии не оговорён запрет на такой вброс.

[ewert]

AGu писал(а):

Разумеется, при этом $A(t_n)$ не стремится к $A(t_0)$, но ведь условия никак не оговаривают содержимое ящика в момент $t_0$ и неявно предлагают домысливать его из вкусовых соображений, а извращенный вкус -- это тоже вкус.

Условия подразумевают, что предел $A(t_n)$ в каком-либо смысле существует. Вы ведь не предложили альтернативного определения понятия предела, пусть даже извращённого. А в стандартном понимании предел именно пуст (Ваши же собственные слова).

Собственно, "парадокс" возникаетвозникает из интуитивного ощущщения, что ящик должен тяжелеть. Что ж, это лишь означает, что процедура физически не реализуемы. Ну, значит, не реализуема.

Добавлено спустя 1 минуту 41 секунду:

Лукомор писал(а):

Это была разводка боем....

да, собственно, все так и поняли

[TOTAL]

ewert писал(а):

AGu писал(а):

Разумеется, при этом $A(t_n)$ не стремится к $A(t_0)$, но ведь условия никак не оговаривают содержимое ящика в момент $t_0$ и неявно предлагают домысливать его из вкусовых соображений, а извращенный вкус -- это тоже вкус.

Условия подразумевают, что предел $A(t_n)$ в каком-либо смысле существует. Вы ведь не предложили альтернативного определения понятия предела, пусть даже извращённого. А в стандартном понимании предел именно пуст (Ваши же собственные слова).

А зачем вообще брать на себя повышенные обязательства и озабочиваться какими-то пределами?
Я знаю состояние ящика в любой момент, это следует непосредственно из условия, а не из предела.

[ewert]

TOTAL писал(а):

А зачем вообще брать на себя повышенные обязательства и озабочиваться какими-то пределами?
Я знаю состояние ящика в любой момент, это следует непосредственно из условия, а не из предела.

Затем, что по условию нужно знать состояние не в любой момент, и в полдень. Т.е. именно в пределе. Значит, нужно придать хоть какой-то смысл понятию "предел".

[TOTAL]

ewert писал(а):

TOTAL писал(а):

А зачем вообще брать на себя повышенные обязательства и озабочиваться какими-то пределами?
Я знаю состояние ящика в любой момент, это следует непосредственно из условия, а не из предела.

Затем, что по условию нужно знать состояние не в любой момент, и в полдень. Т.е. именно в пределе. Значит, нужно придать хоть какой-то смысл понятию "предел".

Цитата:

Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом.
За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся шары от 11 до 20, и шар 2 вынимаетсяобратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся шары от 21 до 30, и шар 3 вынимается обратно.
И т.д.
Сколько шаров останется в ящике в полдень?

Ничего про предел в условии не говорится. Вообще про состояние в полдень можно сказать проще всего, т.к. в условии сказано, что каждый элемент множества до полудня был засунут в ящик и до полудня же вынут из ящика. Поэтому ящик в полдень будет пустой для любого множества, не только счетного. Предел ни при чем.

[surfer]

ewert писал(а):

даже мера (длина там, площадь, объём и т.д.) предела множеств не обязана быть равной мере предельного множества. Примеры тривиальны.

Можно примерчик?

[ewert]

TOTAL писал(а):

Цитата:

Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом.
За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся шары от 11 до 20, и шар 2 вынимаетсяобратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся шары от 21 до 30, и шар 3 вынимается обратно.
И т.д.
Сколько шаров останется в ящике в полдень?

Ничего про предел в условии не говорится. Вообще про состояние в полдень можно сказать проще всего, т.к. в условии сказано, что каждый элемент множества до полдня был засунут в ящик и до полдня же вынут из ящика. Поэтому ящик в полдень будет пустой для любого множества, не только счетного. Педел ни при чем.

Определим функцию Хевисайда так, как обычно оно и делается:

$$ \chi(t)=\begin{cases}0\quad\text{при}\quad t<0; \\ 1\quad\text{при}\quad t\geqslant0.\end{cases}$$

Согласно Вашему утверждению "в полдень", т.е. в нулевой момент времени, эта функция равна нулю. А как же иначе-то? -- ведь во все предшествующие моменты она нулевая!

[TOTAL]

ewert писал(а):

Определим функцию Хевисайда так, как обычно оно и делается:

$$ \chi(t)=\begin{cases}0\quad\text{при}\quad t<0; \\ 1\quad\text{при}\quad t\geqslant0.\end{cases}$$

Согласно Вашему утверждению "в полдень", т.е. в нулевой момент времени, эта функция равна нулю. А как же иначе-то? -- ведь во все предшествующие моменты она нулевая!

Согласно какому моему утверждению? Предшествующие моменты ни при чем, в полдень функция равна 1, как определено.

[ewert]

surfer писал(а):

ewert писал(а):

даже мера (длина там, площадь, объём и т.д.) предела множеств не обязана быть равной мере предельного множества. Примеры тривиальны.

Можно примерчик?

Пожалуйста. На множестве $\mathbb R$ определим последовательность подмножеств $A_n=[n;\;2n]$. Их длины $\mu(A_n)=n\longrightarrow+\infty$, в то время как сами $A_n\longrightarrow\varnothing$.

Полный аналог примера Литтлвуда.

Добавлено спустя 4 минуты 3 секунды:

TOTAL писал(а):

Согласно какому моему утверждению? Предшествующие моменты ни при чем, в полдень функция равна 1, как определено.

Вы ведь в случае с ящиками исходили только из их состояния до полудня. В таком случае будьте любезны и в случае с Хевисайдом исходить из того, как она определена до нуля, а не из её формального значения в нуле.

[TOTAL]

ewert писал(а):

Вы ведь в случае с ящиками исходили только из их состояния до полудня.

В исходном состоянии ящик пустой. Что бы в него ни клали, затем вынимали.
Мне достаточно этих сведений, чтобы заключить, что ящик останется пустым. Вам ещё что-то надо?

[ewert]

TOTAL писал(а):

В исходном состоянии ящик пустой. Что бы в него ни клали, затем вынимали.
Мне достаточно этих сведений, чтобы заключить, что ящик останется пустым. Вам ещё что-то надо?

Мне надо совсем немного -- чтобы понятие "в полдень" приобрело хоть какой-то смысл. Поскольку в процессе построения участвуют только моменты "до полудня", этот смысл может возникнуть лишь в результате предельного перехода. Ну хоть какого-никакого.

[TOTAL]

ewert писал(а):

Мне надо совсем немного -- чтобы понятие "в полдень" приобрело хоть какой-то смысл. Поскольку в процессе построения участвуют только моменты "до полудня", этот смысл может возникнуть лишь в результате предельного перехода. Ну хоть какого-никакого.

Теперь понятно.
Вам нужен предельный переход, чтобы появилось понятие полдня.
А для меня полдень, как и любой момент, имеет смысл без предельного перехода.

[ewert]

TOTAL писал(а):

ewert писал(а):

Мне надо совсем немного -- чтобы понятие "в полдень" приобрело хоть какой-то смысл. Поскольку в процессе построения участвуют только моменты "до полудня", этот смысл может возникнуть лишь в результате предельного перехода. Ну хоть какого-никакого.

Теперь понятно.
Вам нужен предельный переход, чтобы появилось понятие полдня.
А для меня полдень, как и любой момент, имеет смысл без предельного перехода.

Сам-то полдень имеет. Не имеет смысла сочетание "в полдень". Пока мы его не определили.