Источник массы и электрического заряда частиц

[pc20b]

Munin писал(а):

pc20b писал(а):

в книге Д.И.Блохинцев. Основы квантовой механики. М., Наука, 1976. Дополнение 1. Преобразования Фурье. С.630.

Ага. Как я и ожидал. В дополнении I нет ни слова про операторы. Вы главу 3 читали вообще?

Нет, не читал. Читать вообще не умею. "Ни слова"? А к чему слова - в Дополнении 1 Блохинцев все сказал шершавым языком математики : физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах.

Они связаны непрерывными преобразованиями, соединенными знаками равенства : ...=...

Версия : если бы он произнес "оператор", то вряд ли издал бы свою книгу - у идеи возникновения квантовой механики из ниоткуда было (и остается) много поклонников.

Цитата:

pc20b писал(а):

Коммутатор? Это ещё проще (Блохинцев, с. 103) :

Рассмотрим произвольное состояние

$$\psi (x)$$

и оператор

$$\hat p = -i\frac{\partial }{\partial x}$$

Оператор импульса имеет такой вид только в квантовой механике, ни в классической механике, ни в кинетике этого нет.

Только что выше было черным по белому доказано, как в классике оператор импульса возникает путем непрерывных преобразований Фурье от импульсного пространства к координатному.

[Munin]

pc20b писал(а):

А к чему слова - в Дополнении 1 Блохинцев все сказал шершавым языком математики : физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах.

Шершавым языком математики там рассмотрен оператор в пространственных координатах и соответствующий ему фурье-образ - тоже оператор, только в импульсных координатах. И то и другое - операторы. Видимо, вы просто не знаете линейной алгебры, и для вас непонятна мысль, что функциональный множитель вида $p_x^n$ тоже является оператором.

Читать же вы явно не умеете, поскольку иначе не могли пройти мимо и не обратить внимание на тот факт, что оператор координаты в импульсном представлении не является функциональным множителем. Не говоря уже обо всём, что составлено и из того и из другого, например, об операторе момента.

[AlexNew]

Мне Блохинцев тоже нравится, наверное самый толковый учебник из древних кстати Блохицев тоже пытался подогнать кванты под классич физику, от сюда и его черезмерное внимание к теории измерений наверное.

Добавлено спустя 4 минуты 27 секунд:

Даже в классическои физике без проблем можно формально ввесть "волновую фучкцию" как корень квадратный из функции распределения физической величины.

Но от этого классич статфизика в КМ не превращается.

"Education is a process of telling a carefully chosen sequence of lies
in which the amount of deliberate deception gradually tends towards zero.
There is a limit to how much truth someone can absorb all at once without
their brain turning to jelly!" J McIrvin

[pc20b]

Munin писал(а):

pc20b писал(а):

А к чему слова - в Дополнении 1 Блохинцев все сказал шершавым языком математики : физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах.

Шершавым языком математики там рассмотрен оператор в пространственных координатах и соответствующий ему фурье-образ - тоже оператор, только в импульсных координатах. И то и другое - операторы. Видимо, вы просто не знаете линейной алгебры, и для вас непонятна мысль, что функциональный множитель вида $p_x^n$ тоже является оператором.

Ху-ху-ху. Хо-хо-хо. Не знаю я линейной алгебры. Тот, кто говорит, что он что-то знает, глупец. Вот Вы - сопротивляетесь до конца, хотя видите, что я прав : в чем Ваши "слова" противоречат тому, что я сказал : "физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах"?

Вы здесь воспользовались случайным фактом, что в частном случае оператор может быть обычным множителем : да, в данном случае $p_x^n$ является одновременно и физической (случайной) величиной, и оператором одновременно.

Чего Вы сочиняете: :

Цитата:

Читать же вы явно не умеете, поскольку иначе не могли пройти мимо и не обратить внимание на тот факт, что оператор координаты в импульсном представлении не является функциональным множителем. Не говоря уже обо всём, что составлено и из того и из другого, например, об операторе момента.

В примере вообще не рассматривался "оператор координаты". Но с ним ситуация абсолютно такая же (c заменой р на х) :

$$ \psi(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi(p)e^{ipx}dp\leftrightarrow \phi(p)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi(x)e^{-ipx}dx$$

,

$$\overline{x^2}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi*(x)x^2\psi(x)dx= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi*(p)(i\frac{\partial}{\partial p})^2\phi(p)dp$$

$$x\leftrightarrow \hat x=i\frac{\partial}{\partial p}$$

.

#

И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же. К чему Вы его привлекли - для красного словца?

Таким образом, ещё раз : классика и кванты - два изоморфных представления кинетики.

Добавлено спустя 27 минут 14 секунд:

AlexNew писал(а):

Даже в классическои физике без проблем можно формально ввесть "волновую фучкцию" как корень квадратный из функции распределения физической величины.

Но от этого классич статфизика в КМ не превращается.

Да, плотность вероятности = плотности распределения в соответствующем пространстве - это "квадрат" волновой функции либо её Фурье-изображений в других пространствах.

И всё осталное возникает путем изоморфизмов. Где я не прав? Почему КлСтФ от
того не превращается в КвМ? Не находимся ли мы под влиянием эйфории первых интерпретаций квантовых явлений? Ведь против математики не попрешь...

"That is the question" (В.Шекспир)

[Munin]

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

Вот Вы - сопротивляетесь до конца, хотя видите, что я прав : в чем Ваши "слова" противоречат тому, что я сказал : "физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах"?

То есть вы даже не понимаете, в чём противоречат?

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

Вы здесь воспользовались случайным фактом, что в частном случае оператор может быть обычным множителем

Это вы им воспользовались. Я как раз обратил ваше внимание на то, что это случайный факт.

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же. К чему Вы его привлекли - для красного словца?

А вы напишите, и после этого укажите, с какой стороны знака $\leftrightarrow$ у вас стоит "оператор", а с какой - "физическая величина".

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

Таким образом, ещё раз : классика и кванты - два изоморфных представления кинетики.

От повторения глупость не станет правдой.

[AlexNew]

pc20b писал(а):

И всё осталное возникает путем изоморфизмов. Где я не прав?

дубаль номер 6
В классич физике волновая "функция" или "вектор состояния" системы будет зависить от p и q. В КМ либо p либо q достаточно для полного описания системы.

Тоесть p и q представления "изоморфны" в КМ. В клаccической физике это не так! вы не сможете построить изоморфизм p на q

есть разумеется и другие отличия... например тождеств частиц и много чего еще

Ответьте лучше на след вопросы : из какого физич соображения следует
1)коммутация операторов p и q в классич стат физике ?
2)антикоммутац в КМ ?

[pc20b]

Вывод соотношения неопределенностей (СН) в классике

У Блохинцева он дан в гл.II на с.65. Мы предлагаем ещё один вариант вывода СН.

Пусть $x$ - случайная величина (в общем — набор величин) в пространстве $X$. Пусть $f(x)$ - её распределение — плотность вероятности, нормированная на единицу :

(1)

$$\int \limits_{-\infty}^{\infty}fdx=1$$

.

Пусть функция $f$ удовлетворяет условиям Дирихле, скажем, принимает ограниченные значения в конечной области шириной

$$\Delta x=L$$

.

Проведем отображение $x\leftrightarrow y$, т.е. перейдем к случайной величине $y$ в пространстве $Y$, сопряженном пространству $X$. Для этого разложим $f(x)$ в интеграл Фурье по «гармоникам» с «частотой» $y$ :

(2)

$$f(x)=\frac{1}{L}\int \limits _{-\infty}^{\infty}F(y)e^{iyx}dy$$

с плотностью спектра

(3)

$$F(y) =\frac{L}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$

.

$F(y)$ - плотность вероятности — функция распределения канонически сопряженной $x$ случайной величины $y$ в пространстве $Y$, также удовлетворяющей условию нормировки

(4)

$$\int \limits _{-\infty}^{\infty} Fdy=1$$

.

Найдем связь величины флуктуаций величины $x$, равной $\Delta x=L$, с величиной флуктуаций сопряженной величины $y$, равной $\Delta y$.

Мы не будем решать точную задачу для среднеквадратичных отклонений (дисперсий распределений $x$ и $y$, как это сделано у Блохинцева, а рассмотрим для упрощения вывода процедуру усреднения.

Аппроксимируем распределение $f(x)$ огибающим его прямоугольником :

(5)

$$f(x)=\frac{1}{L}(\eta (x+\frac{L}{2})-\eta (x-\frac{L}{2}))$$

.

Тогда из (3) следует усредненный вид Фурье-спектра изображения :

(6)

$$F(y) = \frac{L}{2\pi}\frac{sin\frac{yL}{2}}{\frac{yl}{2}}$$

.

Ширина первой полосы $\Delta y$ этого усредненного спектра соответствует обращению в нуль синуса в (6), т.е. на границе $y_1$:

$$\frac{y_1L}{2}=\pi$$

.

Отсюда, учитывая, что спектр изображения больше своей первой полосы, учитывая, что $L=\Delta x$, а $y_1=\Delta y$, получаем неравенство :

(7)

$$\Delta x\Delta y\geq 2\pi$$

Это — соотношение неопределенностей — связь спектров функции распределения $f(x)$ - «волновой функции» - и её Фурье-изображения - «волновой функции» $F(y)$.

Например,
1)если $x=t$, $y=\omega=\frac{E}{\hbar}$, где $E$ - энергия частицы, то из (7) следует :

$$\Delta t\Delta E\geq h$$

;

2)если $x=x$ - координате, $y=k=\frac{p}{\hbar}$, где $p$ - импульс частицы, то из (7) следует :

$$\Delta x\Delta p\geq h$$

.

#

Добавлено спустя 2 часа 22 минуты 26 секунд:

AlexNew писал(а):

pc20b писал(а):

И всё осталное возникает путем изоморфизмов. Где я не прав?

В классич физике волновая "функция" или "вектор состояния" системы будет зависить от p и q. В КМ либо p либо q достаточно для полного описания системы.

Это уже называется "судебная тяжба". По мне так достаточно для доказательства изоморфизма получить в классике переход к операторам, коммутационное соотношение и соотношение неопределенностей. Вывод $\hbar$ - это ОТО (как, было показано). Это сделано. Всё остальное - детали, не принципиально (две статистики, тождественность, ...). Разве не так? ***

*** Похоже на анекдот : - У вас есть золотой ночной горшок? - Есть. - А с ручкой внутри? Нет?... Будем искать...

Теперь насчет полноты координатного и импульсного пространства в классике : разве эквивалентность вычисления наблюдаемых - средних значений случайных величин - в координатном и импульсном (Фурье-сопряженном) представлениях - в этом Вас не убеждает? :

$$\overline{p^2}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi*(p)p^2\phi(p)dp= ... = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi*(x)(-i\frac{\partial}{\partial x})^2\psi(x)dx$$

(здесь многоточие (...) помечает опущенный вывод). Вот Вам изоморфизм p на q.

Для чего нужно "фазовое" (space) пространство $(p,q)$? Идея проста как помидор : в пространствах $Q$ и $P$ случаются случайные столкновения - точки пересечения траекторий - особенности распределения $\psi (x,t)$ : в них координаты совпадают, НО ИМПУЛЬСЫ - РАЗНЫЕ.

Поэтому, чтобы перейти к гладкому случайному полю без пересечений траекторий, увеличивают размерность пространства, добавляя к координатам $q$ трансверсально координаты $p$ : в этом расширенном пространстве пересечения исчезают, функция распределения $f(p,q)$ становится непрерывной и удовлетворяет уравнению непрерывности, которое, в случае к тому же и несжимаемости, превращается в уравнение Лиувилля и допускает удобное гамильтоново представление. Вот и весь фокус.

Цитата:

есть разумеется и другие отличия... например тождеств частиц и много чего еще

Ответьте лучше на след вопросы : из какого физич соображения следует
1)коммутация операторов p и q в классич стат физике ?
2)антикоммутац в КМ ?

Насчет вывода коммутаторов в классике - это уже вроде бы было продемонстрировано на примере получения коммутатора $[\hat p, \hat q]$. С остальными вопросами, извините, можно попозже (не мой это бизнес, лучше бы помогли)

[pc20b]

Munin писал(а):

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

Вот Вы - сопротивляетесь до конца, хотя видите, что я прав : в чем Ваши "слова" противоречат тому, что я сказал : "физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах"?

То есть вы даже не понимаете, в чём противоречат?

Ни в чем : то, что я сказал, не противоречит сказанному Вами :

Цитата:

там рассмотрен оператор в пространственных координатах и соответствующий ему фурье-образ - тоже оператор, только в импульсных координатах. И то и другое - операторы

Например, в приведенном мной примере нахождения среднего квадрата импульса :

$$\overline{p^2}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi*(p)p^2\phi(p)dp= ... = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi*(x)(-i\frac{\partial}{\partial x})^2\psi(x)dx$$

$p^2$ в импульсном представлении - это случайная физическая величина и, одновременно, (алгебраический) оператор умножения, действующий на волновую функцию $\phi (p)$ в импульсном пространстве;

$$(-i\frac{\partial}{\partial x})^2$$

- это его Фурье-образ - оператор квадрата импульса, действующий уже в сопряженном координатном пространстве. И т.д.

Цитата:

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

Вы здесь воспользовались случайным фактом, что в частном случае оператор может быть обычным множителем

Это вы им воспользовались. Я как раз обратил ваше внимание на то, что это случайный факт.

Вот это уже полная бессмыслица. Никакого случайного факта в этом смысле : по определению, при вычислении среднего в собственном представлении любая физическая величина является сама собой, т.е. алгебраическим мультипликативным оператором - умножается на функцию распределения = плотность вероятности = "волнувую функцию" и интегрируется по всему пространству. В других изоморфных представлениях, например, при преобразовании Фурье, образ данной случайной величины становится другим оператором, например, дифференциальным. Только и всего.

Цитата:

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же. К чему Вы его привлекли - для красного словца?

А вы напишите, и после этого укажите, с какой стороны знака $\leftrightarrow$ у вас стоит "оператор", а с какой - "физическая величина".

Да пожалуйста, к примеру :

$$M_x=[\vec {r}\vec {p}]_x = p_zy-p_yz \leftrightarrow \hat M_x=[\hat {\vec {r}},\hat {\vec {p}}]_x=i(z\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial z})$$

.**

** опечатка исправлена.

Справа - кудри токаря, слева - кузнеца.

Цитата:

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

Таким образом, ещё раз : классика и кванты - два изоморфных представления кинетики.

От повторения глупость не станет правдой.

Повторение - мать. Глупостью как раз являются необосновываемые обвинения в глупости.

[Munin]

pc20b писал(а):

Например, в приведенном мной примере нахождения среднего квадрата импульса :

$$\overline{p^2}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi*(p)p^2\phi(p)dp= ... = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi*(x)(-i\frac{\partial}{\partial x})^2\psi(x)dx$$

$p^2$ в импульсном представлении - это случайная физическая величина и, одновременно, (алгебраический) оператор умножения, действующий на волновую функцию $\phi (p)$ в импульсном пространстве;

Ой как жалко. $p^2$ в импульсном представлении - это, конечно, оператор, но никак не случайная физическая величина. Случайная физическая величина - это $p^2$ сам по себе, без импульсного представления.

pc20b писал(а):

Цитата:

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же. К чему Вы его привлекли - для красного словца?

А вы напишите, и после этого укажите, с какой стороны знака $\leftrightarrow$ у вас стоит "оператор", а с какой - "физическая величина".

Да пожалуйста, к примеру :

$$M_x=[\vec {r}\vec {p}]_x = p_zy-yp_z \leftrightarrow \hat M_x=[\hat {\vec {r}},\hat {\vec {p}}]_x=i(z\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial z})$$

.

Справа - кудри токаря, слева - кузнеца.

Только теперь выражения слева и справа не связаны преобразованием Фурье, а отличаются одно от другого как классическое выражение и квантовое. А раньше вы по одну сторону писали алгебраический оператор и его Фурье-образ. Мухлюете. Оператор момента ни в каком представлении не имеет вида $M_x=p_z y - z p_y$ (у вас опечатка). Видите ли, оператор координаты имеет алгебраический вид $y$ в координатном представлении, оператор импульса вид $p_y$ - в импульсном, а их сумма и произведение - ни в каком.

Слабо взять от выражения слева Фурье-образ и убедиться?

[pc20b]

Munin писал(а):

Ой как жалко. $p^2$ в импульсном представлении - это, конечно, оператор, но никак не случайная физическая величина. Случайная физическая величина - это $p^2$ сам по себе, без импульсного представления.

$p^2$ в импульсном представлении является одновременно случайной величиной и алгебраическим оператором, о чем непосредственно говорит выражение для его среднего значения. Без всяких "ой".

Цитата:

pc20b писал(а):

Цитата:

pc20b в сообщении #134680 писал(а):

И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же.

А вы напишите, и после этого укажите, с какой стороны знака $\leftrightarrow$ у вас стоит "оператор", а с какой - "физическая величина".

Да пожалуйста, к примеру :

$$M_x=[\vec {r}\vec {p}]_x = p_zy-p_yz \leftrightarrow \hat M_x=[\hat {\vec {r}},\hat {\vec {p}}]_x=i(z\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial z})$$

.

Только теперь выражения слева и справа не связаны преобразованием Фурье, а отличаются одно от другого как классическое выражение и квантовое. А раньше вы по одну сторону писали алгебраический оператор и его Фурье-образ. Мухлюете. ... Видите ли, оператор координаты имеет алгебраический вид $y$ в координатном представлении, оператор импульса вид $p_y$ - в импульсном, а их сумма и произведение - ни в каком.

Слабо взять от выражения слева Фурье-образ и убедиться?

Тут целая гамма чувств : по-Вашему, выходит :

1) при вычислении средних значений координаты, импульса самим координатам и импульсам можно сопоставить ОПЕРАТОРЫ, не выходя из классики (это очевидно, очевидно стало после внимательного "перепрочтения" Блохинцева), с помощью преобразования Фурье, а вот, начиная с момента импульса, они уже оказываются преобразованиями Фурье не связаны, из классики невыводимыми.

Это почему же так? Что это за качественный скачок, да ещё в линейной теории? Довольно любопытно. Что, именно здесь, с момента импульса, и начинается истинная квантовая теория, изоморфно не сводимая к классике? Хотелось бы услышать Ваше обоснование этого нового квантового эффекта...;

2) второе Ваше утверждение также просьба обосновать (т.к. я этим непосредственно не занимался) : сумма и произведение двух операторов (координаты и импульса), являющихся алгебраическими в разных представлениях (в координатном и импульсном), не является алгебраическим оператором ни в каком представлении.

Вы знаете, я в этом во всем не уверен. И Вы, возможно, тоже. Так бы не вопрошали "слабо" насчет взятия преобразования Фурье.

Я его не брал. Но разобраться в этом надо, т.е. попытаться найти изоморфизм. Вряд ли кванты начинаются с $yp_z-zp_y$.

[Munin]

Да вы демагог. Только демагог с такой наглостью и уверенностью перевирает слова собеседника и приписывает ему то, чего он не говорил.

pc20b в сообщении #135096 писал(а):

Я его не брал. Но разобраться в этом надо

Вот и разберитесь, и убедитесь в своём непонимании квантовой механики, и изучите её заново. Не мешает ещё перечитать линал и матан.

[pc20b]

Munin писал(а):

Да вы демагог. Только демагог с такой наглостью и уверенностью перевирает слова собеседника и приписывает ему то, чего он не говорил.

pc20b в сообщении #135096 писал(а):

Я его не брал. Но разобраться в этом надо

Вот и разберитесь, и убедитесь в своём непонимании квантовой механики, и изучите её заново. Не мешает ещё перечитать линал и матан.

"Очень жаль, Боб, что твоя гнедая сломала ногу" ** : Вам была предоставлена возможность поучаствовать в нормальной дискуссии, несмотря на ничем не оправданное некультурное поведение. Не выдержали этих рабочих напряжений.

** (с) Лимонадный Джо, к/ф советских времен.

Конечно, я не знаю ни матан, ни линал, ни квамех и т.д. Вы, судя по сообщениям, примерно в том же "положении". Но я сейчас что-то рожу, т.е. разберусь с изоморфизмом классика - кванты, а Вы - нет.

[AlexNew]

pc20b писал(а):

Это уже называется "судебная тяжба". По мне так достаточно для доказательства изоморфизма получить в классике переход к операторам, коммутационное соотношение и соотношение неопределенностей. Вывод - это ОТО (как, было показано). Это сделано. Всё остальное - детали, не принципиально

пардон за грубость но вы ведете себя как ребенок который вдруг понял очевидную вещь! Здорово что вы разобрались с операторами в классич механике и помогаете в этом госпадину Muniny

Кстати вот еще парачка идей в подкрепление вашеи теории о глубоком единстве квантовой и классич механики:
1) в обоих используют вариационный принцип,
2) дифернциальное исчисление,
3) числа
(да и вообще как не странно математику в том числе и с методом фурье )

осталась самая малость, забыть о различиях и теория готова (см. жирный шрифт в цитатке)

pc20b писал(а):

С остальными вопросами, извините, можно попозже (не мой это бизнес, лучше бы помогли)

если только господин сверху подсобит, природа мне пока не подвластна

если пофантазировать то мне кажется проблема все в том что в КМ рассматривают на самом деле волны а не частицы. Частицы появлются при измерениях. КМ в вашем смысле будет изорфна скажем классической электридинамике. Ваша проблема в том что вы верите в классическую физику в которои у момента импульса немного другая роль

[pc20b]

Вывод уравнения Шредингера из уравнения непрерывности*

* Есть ряд попыток "вывести" УШ из "первых принципов", из классики (Блохинцев, Шаляпин, ...). Но в них как правило присутствует некая недоговоренность, которая вуалирует строгий изоморфизм классика - квантовая теория.
Попробуем показать, что УШ - это $\frac{1}{2}$ Фурье-образа УН (уравнения непрерывности) в координатном представлении.

Будем работать в системе единиц $c=e=\hbar=1$. Если $\rho$- плотность заряда, а $\vec {j}=\rho \vec {v}$ - ток, $\vec {v}$ - скорость, то УН :

(1)

$$\rho _{,t}+\nabla \vec {j}=0$$

.

Т.к. в нерелятивистском случае скорость пропорциональна импульсу,

$$\vec {v}=\frac{\vec {p}}{m}$$

,
то уравнение (1), написанное для средних (наблюдаемых) величин, удобно записать в импульсном представлении, выразив эти средние как интеграл от случайных величин, умноженных на функцию распределения = плотность вероятности в импульсном пространстве

(2)

$$w=|\varphi (\vec {p})|^2=\varphi \varphi^*$$

,

где $\varphi (\vec {p})$ - "волновая функция в импульсном представлении, удовлетворяющая, в силу сохранения заряда, условию нормировки :

(3)

$$\int \limits _{-\infty}^{\infty}wd^3p=1$$

:


(4)

$$(\int \limits _{-\infty}^{\infty}\varphi^*(\vec{p})\delta(\vec{p})\varphi(\vec{p})d^3p)_{,t}=-\nabla \int \limits _{-\infty}^{\infty}\varphi^*(\vec{p})\frac{\vec{p}}{m}\varphi(\vec{p})d^3p$$

.

Здесь$\delta(\vec{p})$ - дельта-функция Дирака - оператор плотности заряда в импульсном пространстве.

Воспользовавшись преобразованием Фурье, связывающим волновые функции в импульсном представлении, $\varphi(\vec{p})$, и волновые функции в координатном представлении, $\psi(\vec{x})$,

(5)

$$\varphi(\vec{p})=\int \limits _{-\infty}^{\infty}\psi^*(\vec{x})e^{-i\vec{p}\vec{x}}d^3x$$

,

учитывая стандартную связь оригиналов и изображений при преобразовании Фурье :

$$\varphi(\vec{p})\leftrightarrow \psi (\vec{x})$$

,

$$\delta (\vec{p})\leftrightarrow 1$$

,

$$\vec{p}\leftrightarrow \hat {\vec{p}}=-i\nabla$$

,

убрав интегрирование по 3-координатному пространству, $\int d^3x$, из (4) получаем :

(6)

$$(\psi \psi^*)_{,t}=\frac{i}{2m}\nabla(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$$

.

В (6) учтена эрмитовость оператора импульса : $\psi^*\hat {\vec{p}}\psi=\psi\hat {\vec{p}}^*\psi^*$.

Из (6) следует, что Фурье-изображение плотности тока (но не сам наблюдаемый ток, как иногда пишут) равно :

$$\vec{j}(\vec{p})\leftrightarrow \frac{i}{2m}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$$

.

Проведя вычисления в (6), добавив в него справа и вычтя член с потенциальной энергией взаимодействия $iU\psi\psi^*$, получаем :

(7)

$$\psi^*\psi_{,t}+\psi\psi^*_{,t}=\frac{i}{2m}(\psi^*\Delta \psi - \psi\Delta\psi^*)-iU\psi\psi^*+iU\psi\psi^*$$

.

Выражение (7) представляет собой сумму УШ :

(8)

$$i\psi_{,t}=-\frac{1}{2m}\Delta\psi+U\psi$$

и ему сопряженного уравнения.

#

Таким образом, УШ является классическим уравнением - половинкой Фурье-образа УН нерелятивистской гидродинамики заряженной среды.

Добавлено спустя 29 минут 14 секунд:

AlexNew писал(а):

осталась самая малость, забыть о различиях и теория готова

Всё же, в чем Вы видите различия?

Цитата:

КМ в вашем смысле будет изорфна скажем классической электридинамике.

Предыдущее сообщение полностью подтвердило эту замечательную мысль.

Цитата:

Ваша проблема в том что вы верите в классическую физику в которои у момента импульса немного другая роль

Это интересный момент, нельзя ли поподробнее, в чем в КМ у момента импульса другая роль, чем в КМ ***.

*** Видите, даже абревиатуры у классики и квантов совпадают. Это - судьба ...

[AlexNew]

класиссич физика, Км, электродинамика, ... очень похожи потому как есть фундаментальные законы которые выполняются почти везде и всегда
Напримерт принцип наименьшего деиствия, однородность пространста-времени, .... если есть симметрии то можно построить сохраняющиеся инварианты. В классич. физике и КМ есть одинаковые симметрии вот и дифференц уравнения их описывающие выглядят похоже, симметрию ведь надо сохранить. А запишите вы эти законы в виде соотнош. между дифференц операторами или в виде матричных уравнений; в пространстве-времени или в фазовом пространстве от этого суть дела не изменится, это бсе детали.
Вы просто заметили связь между дифф. оператором и матрицей, для начала это не плохо