счетность множества действительных чисел

[Captious]

observer писал(а):

Боюсь вы не поняли идею моего сообщения.(...)
Никто не мешает построить новую теорию, в которую будет введен постулат или группа постулатов приводящие к выводу, что множество действительных чисел счетно. Но насколько непротиворечива будет эта новая теория и насколько неплоха она будет на практике?

Боюсь, что вы вообще не поняли о чем толкуют в этом топике.
Когда речь идет о Фоме, не надо переводить разговор на Ерёму...

[Someone]

Captious писал(а):

При таком "доказательстве" мы просто продвигаемся по списку все дальше и дальше в ... бесконечность...

Куда "продвигаемся"? Объясните подробно, что это означает.

Рассмотрим простой пример. Определим отображение $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ формулой $f(n)=n+1$ при всех $n\in\mathbb N$. Получаем "нумерацию" всех натуральных чисел, кроме $1$. Сделайте ещё один "шаг в бесконечность" и пронумеруйте число $1$. Естественно, менять "номера" уже "пронумерованных" чисел нельзя. Вы, кажется, что-то говорили о "неисчерпаемости" натурального ряда, в котором "всегда найдётся номер ещё для одного элемента", поскольку, дескать, "в натуральном ряде нет последнего элемента"?

Captious писал(а):

Ну, никакого движения мысли вперед: просто взял да и пересказал разбираемое здесь доказательство "своими словами"

А зачем я буду изобретать новое доказательство, если и это хорошее?

Captious писал(а):

Легко увидеть, что в "док-ве" г-на Someone основные идеи "уловки №1", т.е. просмотр-сравнение чисел по порядку их следования в списке и "собирание из кусочков" некого "нового " числа $\beta$ сохранены полностью!

Покажите пальцем, где там "просмотр по порядку". Вы просто перетолковываете рассуждения в наглядных терминах, не имеющих отношения к существу дела. А почему нельзя "собирать из кусочков" объект, "состоящий из кусочков", уже совсем нельзя понять (хотя насчёт "кусочков" - это тоже только образное выражение).

Уточните пожалуйста, считаете ли Вы, что числа $\beta$ "ранее" (до того, как я его явно выписал) не существовало вообще, или же Вы считаете, что оно совпадает с одним из чисел $f(n)$, $n\in\mathbb N$? В последнем случае Вы обязаны указать, при каком $n\in\mathbb N$ будет $f(n)=\beta$.

Чтобы Вы не воображали, что всё дело в "просмотре по порядку", я приведу точно такое же доказательство следующего утверждения. Сначала я только объясню обозначения.

Пусть есть два множества $X$ и $Y$. Через $Y^X$ обозначается множество всевозможных отображений $f\colon X\to Y$, а $|X|$ обозначает мощность множества $X$.

Теорема. Если $|Y|\geqslant 2$, то $\left|Y^X\right|>|X|$.
Доказательство. Заметим, что утверждение теоремы верно, если множество $X$ пусто, так как в этом случае существует в точности одно отображение $f\colon X\to Y$ ("пустое" отображение), так что $\left|Y^X\right|=1>0=|X|$. Поэтому далее предполагаем, что $X\neq\varnothing$. Поскольку $|Y|\geqslant 2$, существуют два различных элемента $y_1,y_2\in Y$.
Заметим далее, что $\left|Y^X\right|\geqslant|X|$, поскольку существует взаимно однозначное отображение $\varphi\colon X\to Y^X$ на некоторое подмножество множества $Y^X$. Это отображение можно определить, сопоставляя любому элементу $x\in X$ отображение $f_x\colon X\to Y$, определённое при всех $x'\in X$ формулой

$$f_xx'=\begin{cases}y_1\text{, если }x'\neq x\text{,}\\ y_2\text{, если }x'=x\end{cases}$$

и полагая $\varphi(x)=f_x$. Поэтому нужно только доказать, что $\left|Y^X\right|\neq|X|$, то есть, что никакое отображение $\psi\colon X\to Y^X$ не может быть взаимно однозначным. Мы докажем несколько больше, а именно, что такое отображение не может быть отображением на всё $Y^X$, пусть хотя бы и не взаимно однозначным.
Пусть задано любое отображение $\psi\colon X\to Y^X$. Стало быть, оно каждому элементу $x\in X$ ставит в соответствие отображение $g_x=\psi(x)\colon X\to Y$. Определим отображение $f\colon X\to Y$ для всех $x\in X$ формулой

$$f(x)=\begin{cases}y_1\text{, если }g_xx\neq y_1\text{,}\\ y_2\text{, если }g_xx=y_1\text{.}\end{cases}$$

Легко видеть, что для любого $x\in X$ будет $f\neq\psi(x)=g_x$, так как $f(x)\neq g_x(x)$, поэтому отображение $\psi$ не является отображением на всё $Y^X$. Доказательство завершено.

Рассмотренная ранее теорема о несчётности промежутка $[0,1)$ является частным случаем этой теоремы: нужно взять $X=\mathbb N$ и $Y=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. И оба доказательства ничем не отличаются, кроме обозначений (и тем, что в доказательстве несчётности $[0,1)$ я опустил очевидное утверждение $|[0,1)|\geqslant|\mathbb N|$).

[observer]

Captious писал(а):

При таком методе продвижения вдоль списка по порядку следования пронумерованных элементов вроде бы уже и не надо проверять совпадение разрядов "новой" бесконечной дроби с какими-либо уже имеющимся в списке( не обязательно по порядку следования их в списке). Это и есть первая "уловка гения".

Полностью согласен с вами, что не понимаю вас.
Во-первых, что здесь проверять, если построенная бесконечная последовательность (дробь) отличается хотя бы в одном разряде ОДНОВРЕМЕННО ($v=0$ ) от каждой последовательности из данной начальной счетной совокупности? И значит не может совпадать ни с одной из них, тем самым образуя новое число.
Во-вторых, что плохого в использовании гением уловок для поимки "зверя"?

[Sla_sh]

Captious писал(а):

Sla_sh писал(а):

... откровенно говоря, меня это доказательство[несчетности множ-ва (0,1) "диагональным методом" Кантора ] приводит лишь к абсурдным умозаключениям...

А нельзя ли для конкретности привести хотя бы один из этих "абсурдов"?...
----------------------------------------------------

конечно можно. заодно отвечу и товарищу PAV на вот это:

Цитата:

Что может быть неясного в приведенном доказательстве? Какое бы счетное множество десятичных дробей мы ни взяли, всегда можно построить такую, которой в указанном списке нет.

Так вот. Понимаете, что получается. Вы вот утверждаете, что всегда можно построить такую дробь, которой в этом указанном списке нет.
В то же время, мой алгоритм присвоит этой дроби, которую вы только что построили, порядковый номер, а затем грозно помашет вам указательным пальцем и скажет, что вы заблуждаетесь - эта дробь присутствует в данном счетном множестве.

А абсурд состоит в том, что ход мыслей вроде правильный - действительно можно построить такую дробь, которой нет в множестве. Но вот пример такой дроби я придумать не могу)
такие дела

[TOTAL]

Sla_sh писал(а):

В то же время, мой алгоритм присвоит этой дроби, которую вы только что построили, порядковый номер, а затем грозно помашет вам указательным пальцем и скажет, что вы заблуждаетесь - эта дробь присутствует в данном счетном множестве.

Эта дробь не присутствует в счетном множестве.
Вы занимаетесь присваиванием номеров объектам по мере их поступления, заранее предполагая, что их счетное число.
Вот если Вы, грозно и вдоволь намахавшись пальцами, укажете для каждого действительного числа (ещё до того, как его Вам предъявили) свой номер (правило получения этого номера), то сосчитаете все действительные числа. Слабо?

[Sla_sh]

TOTAL писал(а):

Sla_sh писал(а):

В то же время, мой алгоритм присвоит этой дроби, которую вы только что построили, порядковый номер, а затем грозно помашет вам указательным пальцем и скажет, что вы заблуждаетесь - эта дробь присутствует в данном счетном множестве.

Эта дробь не присутствует в счетном множестве.
Вы занимаетесь присваиванием номеров объектам по мере их поступления, заранее предполагая, что их счетное число.
Вот если Вы, грозно и вдоволь намахавшись пальцами, укажете для каждого действительного числа (ещё до того, как его Вам предъявили) свой номер (правило получения этого номера), то сосчитаете все действительные числа. Слабо?

Чего-то не понимаю. Я ж в первом сообщении этой темы как раз таки указал правило получения номера действительного числа.
То есть, устанавливалось взаимно однозначное соответствие между числами натурального ряда и действительными числами на полуинтервале [0;1)

Алгоритм этот не работал для бесконечных дробей. То есть, например, число 1/3 не получало номер.
Однако, в приведенном Колмогоровым доказательстве рассматривается счетное множество дробей и доказывается, что на участке [0;1) существуют числа, которые не входят в это счетное множество.

Я вижу, что для конечных дробей невозможно найти число, которое не получило бы порядковый номер в данной схеме. Также не вижу оснований полагать, что ситуация изменится и в бесконечности.

[TOTAL]

Sla_sh писал(а):

Однако, в приведенном Колмогоровым доказательстве рассматривается счетное множество дробей и доказывается, что на участке [0;1) существуют числа, которые не входят в это счетное множество.

Можно за Вас порадоваться, поняли, что не пересчитать действительные числа?

[Captious]

Sla_sh писал(а):

А абсурд состоит в том, что ход мыслей вроде правильный - действительно можно построить такую дробь, которой нет в множестве. Но вот пример такой дроби я придумать не могу. Такие дела

Так ведь "нормальные" математики всё за вас уже придумали (и "продумали")!
Предположим, что нам удалось каким-то образом пронумеровать все действительные числа нашего множ-ва R.
Докажем что это предположение неверно.
Для этого достаточно построить хотя бы одно незанумерованное число.
Сначала, напишем нуль и поставим после него запятую. Потом возьмем число, получившее номер один и посмотрим на его первый десятичный знак после запятой. Если эта цифра отлична от 1, то в числе, которое мы пишем, поставим после запятой 1, а если эта цифра равна 1, то поставим после запятой цифру 2. Затем перейдем к числу, получившему второй номер, и посмотрим на его вторую цифру после запятой. Снова произведем замену цифр. Точно так же будем действовать и дальше, обращая каждый раз внимание лишь на n-ую цифру числа, получившего n-ный номер.
В рез-те мы выпишем некоторое число, не получившее номера: от числа с номером 1 оно отличается в первом десятичном знаке, от числа с номером 2 - во втором знаке, ..., от числа с номером n - в n-ом десятичном знаке и т.д.
Для наглядности предположим, что первые пять занумерованных чисел выглядят так:
5, 27364...
- 3, 31226...
7,94461...
0, 62419...
9,78289...
Тогда число, не получившее номера, будет начинаться со следующих десятичных знаков
0,12121...
Разумеется, мы могли бы получить ещё много чисел, которых нет в нашем списке.
Мы могли бы заменять все цифры кроме 2, на 2, а цифру 2 на 7 или выбрать какое-нибудь другое правило.

А теперь посмотрим на это с другой стороны...
На каждом шаге нашей процедуры мы заменяем цифру n-го разряда числа получившего номер n , добиваясь отличия.
Но, поскольку по самому принципу построения бесконечной десятичной дроби в каждом десятичном разряде её будут чередоваться цифры 0 . . . 9, мы просто
будем передвигаться по нашему списку, не создавая "нового числа".
Например, на первом шаге мы переходим к подмнож-ву уже занумерованных нами ( по предположению!) чисел вида 0,1... .
После второго шага переходим к подмножеству десятичных дробей вида 0,12... и т.д.
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей,
"новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!
На стр.3 я достаточно подробно объяснил причину появления этого "абсурда" - применение "по умолчанию" двойных стандартов к понятию "элемент множ-ва".
Когда первоначально "пересчитывали" элементы, то бесконечные десятичные дроби считали единым и неделимым элементом (= применили абстракцию актуальной бесконечности). А когда решили поискать неохваченное списком "новое" число, то ничтоже сумняшеся, стали каждый элемент рассматривать состоящим из бесконечного количества "элементов второго уровня".
Вот такие вот дела...
Как видите, перенесение опыта обращения с конечными множествами на бесконечность требует некоторой осторожности. Особенно для актуальной бесконечности, когда абстрагируются от принципиальной невозможности завершить бесконечное число актов "построений" или "проверок"...
P.S. Напоминаю ещё раз для "профессионалов" и "нормальных" математиков: из всего сказанного выше относительно логических ошибок в разбираемом док-ве вовсе не следует счетность континуума, как бы некоторым этого ни хотелось ...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
В качестве наглядного примера применения "двойных стандартов" приведу одно доказательство неэквивалентности мощностей всего множ-ва натуральных чисел и подмнож-ва четных чисел, принадлежащее перу одного профессионального философа.
Натур-е числа он группирует попарно таким образом, что в одну пару попадает одно нечетное и одно следующее за ним четное число:
(1,2)-- (3,4)-- (5,6) ... (2n-1,2n) ...
2----4----6---...----2n ...
Далее философ пишет:
<<Убедившись, что подобная группировка ничем не противоречит канторовской идее взаимно однозначного соответствия (пары натур-х чисел, понимаемых как элементы, самостоятельные единицы ряда, однозначно противопоставляются отдельным четным числам в потенциально бесконечных последов-тях), констатируем, что множ-во четных чисел равномощно множ-ву пар натуральных чисел, содержащих -каждая- одно нечетное и следующее за ним четное число.
Делается такой вывод:
а) независимо от длины и характера послед-ти на каждую двойку натур-х чисел, входящих в пару, приходится только одно четное число, т.е.(1=1): 1=2 на каждом шаге последовательности;
б) никакой поэлементной "эквивалентности" и "равномощности" рассматриваемых множеств не наблюдается.>>
_____________________________________
Невооруженным глазом видно, что в этом "доказательстве" нарушается закон логического тождества. Сначала 1-1 соответствие устанавливается между "парой" и четным числом. А потом вдруг поменяли "правила игры" и "пару" как единый неделимый(!) элемент рассматривают уже как "двойку чисел" - в итоге получается, что четных чисел как бы "в два раза меньше" чем всех чисел!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

г-н Someone Вс Июл 20, 2008 02:58:54 писал(а):

...

В вашем сообщении столько ляпов, непростительных для "профессионала", что подробный их разбор и разъяснения отнимут уйму времени и уведут далеко от обсуждаемого здесь вопроса.
Тем более, что вы по-прежнему совершенно не хотите вникать в аргументы оппонентов и, как всегда, "не можете" найти ничего "существенного" ни у кого, кроме как в написанном самим собой ...

[PAV]

Sla_sh, Вы пронумеровали рациональные числа, представимые в виде $\frac{n}{10^k}$. А больше ничего и не сделано.

Добавлено спустя 1 минуту 6 секунд:

Sla_sh писал(а):

Также не вижу оснований полагать, что ситуация изменится и в бесконечности.

Я не понимаю, что Вы имеете в виду этой фразой.

[Brukvalub]

Captious писал(а):

А теперь посмотрим на это с другой стороны...
На каждом шаге нашей процедуры мы заменяем цифру n-го разряда числа получившего номер n , добиваясь отличия.
Но, поскольку по самому принципу построения бесконечной десятичной дроби в каждом десятичном разряде её будут чередоваться цифры 0 . . . 9, мы просто
будем передвигаться по нашему списку, не создавая "нового числа".
Например, на первом шаге мы переходим к подмнож-ву уже занумерованных нами ( по предположению!) чисел вида 0,1... .
После второго шага переходим к подмножеству десятичных дробей вида 0,12... и т.д.
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей,
"новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!

Так ведь строящееся число с самого начала уже было в нашем списке - ведь мы занумеровали все числа.
Так что дальше нет смысла рассуждать - к противоречию мы все равно не придем!!!
Вот это талантище, наш "батенька"!!!! Просто глыба ума, "матерый математище".
Теперь-то и я, бывший нормальный математик, начинаю верить не только в счетность множества действительных чисел, но и в принципиальную невозможность доказательств "от противного".
Ведь как в них можно прийти к противоречию, если мы предполагаем, что выполняется отрицание доказываемого?
Нет, "батенька", раз уж предположили, что отрицание выполняется, то оно выполняется, и нечего потом финтить, хвостиком вилять...Выполняется отрицание, и точка! УР--РА!

[Narn]

Sla_sh писал(а):

Я вижу, что для конечных дробей невозможно найти число, которое не получило бы порядковый номер в данной схеме. Также не вижу оснований полагать, что ситуация изменится и в бесконечности.

Любое конечное числовое множество ограничено. Не вижу оснований думать, что ситуация изменится для бесконечности. Конечное множество не может быть равномощно своему подмножеству. Не вижу оснований думать, что четных чисел столько е, сколько натуральных, $n \mapsto 2n$-не биекция.

И вообще, человек может прожить любое число лет (если можно прожить $n$ лет, то почему бы не прожить и $n+1$?). Не вижу оснований сомневаться в бессмертии человека.

В том то и дело, что в бесконечности очень многое меняется. Аддитивные функции множеств не обязаны быть счетно-аддитивными, кольца - сигма-кольцами и т.д.

[Sla_sh]

Цитата:

Можно за Вас порадоваться, поняли, что не пересчитать действительные числа?

Ну, как вам сказать. Я ж выше вроде бы писал, что согласен с тем, что мой алгоритм не сможет сосчитать все действительные числа.
Но не в этом суть - я ж там привел доказательство Колмогорова и просил объяснить его мне, ибо я там вижу абсурдные умозаключения.

А насчет действительных чисел - видимо, действительно сосчитать их пока нельзя, раз алгоритм их подсчета никто не предложил до сих пор)

Цитата:

А теперь посмотрим на это с другой стороны...
На каждом шаге нашей процедуры мы заменяем цифру n-го разряда числа получившего номер n , добиваясь отличия.
Но, поскольку по самому принципу построения бесконечной десятичной дроби в каждом десятичном разряде её будут чередоваться цифры 0 . . . 9, мы просто
будем передвигаться по нашему списку, не создавая "нового числа".
Например, на первом шаге мы переходим к подмнож-ву уже занумерованных нами ( по предположению!) чисел вида 0,1... .
После второго шага переходим к подмножеству десятичных дробей вида 0,12... и т.д.
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей,
"новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!
На стр.3 я достаточно подробно объяснил причину появления этого "абсурда" - применение "по умолчанию" двойных стандартов к понятию "элемент множ-ва".
Когда первоначально "пересчитывали" элементы, то бесконечные десятичные дроби считали единым и неделимым элементом (= применили абстракцию актуальной бесконечности). А когда решили поискать неохваченное списком "новое" число, то ничтоже сумняшеся, стали каждый элемент рассматривать состоящим из бесконечного количества "элементов второго уровня". Smile
Вот такие вот дела... Wink

Так точно. Именно то, о чем я говорил.
Аж приятно, что я не одинок)

Цитата:

Sla_sh, Вы пронумеровали рациональные числа, представимые в виде $\frac{n}{10^k}$. А больше ничего и не сделано.

Ну да. А разве в доказательстве Колмогорова используются не рациональные числа, представимые в таком виде?

Цитата:

Цитата:

Также не вижу оснований полагать, что ситуация изменится и в бесконечности.

Я не понимаю, что Вы имеете в виду этой фразой.

Гм. Имелось в виду, что при приведенном доказательстве невозможно привести пример конечного числа (то есть, содержащего конечное количество цифр), которое не принадлежит рассматриваемому в доказательстве множеству.

Соответственно, я предположил, что доказательство сводится к тому, что такие числа появляются в бесконечности (то есть, в данном случае это числа, содержащие бесконечное количество цифр)

Добавлено спустя 15 минут 7 секунд:

Narn писал(а):

Sla_sh писал(а):

Я вижу, что для конечных дробей невозможно найти число, которое не получило бы порядковый номер в данной схеме. Также не вижу оснований полагать, что ситуация изменится и в бесконечности.

Любое конечное числовое множество ограничено. Не вижу оснований думать, что ситуация изменится для бесконечности. Конечное множество не может быть равномощно своему подмножеству. Не вижу оснований думать, что четных чисел столько е, сколько натуральных, $n \mapsto 2n$-не биекция.

И вообще, человек может прожить любое число лет (если можно прожить $n$ лет, то почему бы не прожить и $n+1$?). Не вижу оснований сомневаться в бессмертии человека.

Это все из серии:
- видишь суслика?
- нет, не вижу
- а он есть...

Вот вы не видите оснований думать, что ситуация изменится для бесконечности, поэтому считаете, что $n \mapsto 2n$-не биекция.

А основания, судя по всему есть. Прям как суслики. Признаюсь честно, мне сложно объяснить причины изменения ситуации для бесконечности. Я, скорее, ещё со школы привык соглашаться с тем, что для бесконечности ситуация меняется, потому что умные дяди и тети говорили мне, что это так.
Это примерно также, как с интегралом было. Спросил в школе что такое dx, сказали, что оно там должно быть и все тут. Такие дела.

Я это к тому, что когда я говорил, что не вижу оснований, я их правда не видел. То есть, я принципиально не понимаю почему и как в такой ситуации можно утверждать, что в бесконечности мы найдем число, которого нет в нашем множестве...такие дела...

[Brukvalub]

Sla_sh писал(а):

То есть, я принципиально не понимаю почему и как в такой ситуации можно утверждать, что в бесконечности мы найдем число, которого нет в нашем множестве...такие дела...

А мы ничего "в бесконечности" и не ищем. Мы предполагаем, что все действительные числа удалось занумеровать, после чего, пользуясь моделью действительных чисел "бесконечные десятичные дроби" указываем, как построить в такой модели каждую цифру такого числа, которое не получит номера. Если в этой модели указан алгоритм получения каждой цифры числа, то и само число считается в такой модели заданным. Например, я не могу выписать в этой модели всех десятичных знаков числа \[\sqrt 2 \, но я знаю правило, согласно которому я могу выписать любую требуемую цифру в десятичной записи этого числа, поэтому данное число корректно задано в модели "бесконечные десятичные дроби".

[PAV]

Brukvalub писал(а):

Мы предполагаем, что все действительные числа удалось занумеровать,

Поскольку это предположение у отдельных посетителей форума приводит к ряду довольно странных умозаключений, то можно его и не делать. Нам задан (фиксирован) какой-то список занумерованных вещественных чисел, и мы, пользуясь данной моделью, доказываем существование такого вещественного числа, которое в этом списке отсутствует.

[Sla_sh]

Цитата:

А мы ничего "в бесконечности" и не ищем. Мы предполагаем, что все действительные числа удалось занумеровать, после чего, пользуясь моделью действительных чисел "бесконечные десятичные дроби" указываем, как построить в такой модели каждую цифру такого числа, которое не получит номера.

Вот ну никак не рифмуется, товарищ.
В бесконечности, говорите, ничего не ищем, а модель у вас называется "БЕСКОНЕЧНЫЕ десятичные дроби".

Смотрим дальше:

Цитата:

Если в этой модели указан алгоритм получения каждой цифры числа, то и само число считается в такой модели заданным.

Допустим.

Так вот, алгоритм получения чисел, относящихся ко множеству действительных чисел, которое рассматривается в доказательстве Колмогорова идентичен алгоритму получения числа, которое вроде как, к этому же самому множеству не относится.

Более понятным языком ситуацию смог описать товарищ Captious:

Captious писал(а):

А теперь посмотрим на это с другой стороны...
На каждом шаге нашей процедуры мы заменяем цифру n-го разряда числа получившего номер n , добиваясь отличия.
.....
из всего сказанного выше относительно логических ошибок в разбираемом док-ве вовсе не следует счетность континуума, как бы некоторым этого ни хотелось ... Laughing

Суть в том, что число, которое не должно относиться к множеству чисел, согласно доказательству относится к этому множеству согласно алгоритму построения чисел множества....такие дела

Добавлено спустя 5 минут 5 секунд:

PAV писал(а):

Поскольку это предположение у отдельных посетителей форума приводит к ряду довольно странных умозаключений, то можно его и не делать. Нам задан (фиксирован) какой-то список занумерованных вещественных чисел, и мы, пользуясь данной моделью, доказываем существование такого вещественного числа, которое в этом списке отсутствует.

Так, товарищ, давайте по-другому.
Вот я в первом сообщении этой темы привел алгоритм, по которому можно построить любое число из множества, рассматриваемого в доказательстве.

Вы же утверждаете, что существует число, которое можно построить по приведенному в доказательстве алгоритму, но это же число невозможно получить с помощью моего алгоритма. Я правильно понимаю?