Sla_sh писал(а):
А абсурд состоит в том, что ход мыслей вроде правильный - действительно можно построить такую дробь, которой нет в множестве. Но вот пример такой дроби я придумать не могу. Такие дела
Так ведь "нормальные" математики всё за вас уже придумали (и "продумали")!
Предположим, что нам удалось каким-то образом пронумеровать все действительные числа нашего множ-ва
R.
Докажем что это предположение неверно.
Для этого достаточно построить хотя бы одно незанумерованное число.
Сначала, напишем нуль и поставим после него запятую. Потом возьмем число, получившее номер один и посмотрим на его первый десятичный знак после запятой. Если эта цифра отлична от 1, то в числе, которое мы пишем, поставим после запятой 1, а если эта цифра равна 1, то поставим после запятой цифру 2. Затем перейдем к числу, получившему второй номер, и посмотрим на его вторую цифру после запятой. Снова произведем замену цифр.
Точно так же будем действовать и дальше, обращая каждый раз внимание лишь на n-ую цифру числа, получившего n-ный номер. В рез-те мы выпишем некоторое число, не получившее номера: от числа с номером 1 оно отличается в первом десятичном знаке, от числа с номером 2 - во втором знаке, ..., от числа с номером n - в n-ом десятичном знаке и т.д.
Для наглядности предположим, что первые пять занумерованных чисел выглядят так:
5, 27364...
- 3, 31226...
7,94461...
0, 62419...
9,78289...
Тогда число, не получившее номера, будет начинаться со следующих десятичных знаков
0,12121...
Разумеется, мы могли бы получить ещё много чисел, которых нет в нашем списке.
Мы могли бы заменять все цифры кроме 2, на 2, а цифру 2 на 7 или выбрать какое-нибудь другое правило.
А теперь посмотрим на это с другой стороны...На каждом шаге нашей процедуры мы заменяем цифру n-го разряда числа получившего номер n , добиваясь отличия.
Но, поскольку по самому принципу построения бесконечной десятичной дроби в каждом десятичном разряде её будут чередоваться цифры 0 . . . 9, мы просто
будем передвигаться по нашему списку, не создавая "нового числа".
Например, на первом шаге мы переходим к подмнож-ву уже занумерованных нами ( по предположению!) чисел вида 0,1... .
После второго шага переходим к подмножеству десятичных дробей вида 0,12... и т.д.
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей,
"новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке! На стр.3 я достаточно подробно объяснил причину появления этого "абсурда" - применение "по умолчанию" двойных стандартов к понятию "элемент множ-ва".
Когда первоначально "пересчитывали" элементы, то бесконечные десятичные дроби считали единым и неделимым элементом (= применили абстракцию актуальной бесконечности). А когда решили поискать неохваченное списком "новое" число, то ничтоже сумняшеся, стали каждый элемент рассматривать состоящим из бесконечного количества "элементов второго уровня".
Вот такие вот дела...
Как видите, перенесение опыта обращения с конечными множествами на бесконечность требует некоторой осторожности. Особенно для актуальной бесконечности, когда абстрагируются от принципиальной невозможности завершить бесконечное число актов "построений" или "проверок"...
P.S. Напоминаю ещё раз для "профессионалов" и "нормальных" математиков: из всего сказанного выше относительно логических ошибок в разбираемом док-ве вовсе не следует счетность континуума, как бы некоторым этого ни хотелось ... ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
В качестве наглядного примера применения "двойных стандартов" приведу одно доказательство неэквивалентности мощностей всего множ-ва натуральных чисел и подмнож-ва четных чисел, принадлежащее перу одного профессионального философа.Натур-е числа он группирует попарно таким образом, что в одну пару попадает одно нечетное и одно следующее за ним четное число:
(1,2)-- (3,4)-- (5,6) ... (2n-1,2n) ...
2----4----6---...----2n ...
Далее философ пишет:
<<Убедившись, что подобная группировка ничем не противоречит канторовской идее взаимно однозначного соответствия (пары натур-х чисел, понимаемых как элементы, самостоятельные единицы ряда, однозначно противопоставляются отдельным четным числам в потенциально бесконечных последов-тях), констатируем, что множ-во четных чисел равномощно множ-ву пар натуральных чисел, содержащих -каждая- одно нечетное и следующее за ним четное число.
Делается такой вывод:
а) независимо от длины и характера послед-ти на каждую двойку натур-х чисел, входящих в пару, приходится только одно четное число, т.е.(1=1): 1=2 на каждом шаге последовательности;
б) никакой поэлементной "эквивалентности" и "равномощности" рассматриваемых множеств не наблюдается.>>
_____________________________________
Невооруженным глазом видно, что в этом "доказательстве" нарушается закон логического тождества. Сначала 1-1 соответствие устанавливается между "парой" и четным числом. А потом вдруг поменяли "правила игры" и "пару" как единый неделимый(!) элемент рассматривают уже как "двойку чисел" - в итоге получается, что четных чисел как бы "в два раза меньше" чем всех чисел!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
г-н Someone Вс Июл 20, 2008 02:58:54 писал(а):
...
В вашем сообщении столько ляпов, непростительных для "профессионала", что подробный их разбор и разъяснения отнимут уйму времени и уведут далеко от обсуждаемого здесь вопроса.
Тем более, что вы по-прежнему совершенно не хотите вникать в аргументы оппонентов и, как всегда, "не можете" найти ничего "существенного" ни у кого, кроме как в написанном самим собой ...