Производная

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328855 писал(а):

Нарисовать график производной и график интеграла функции, заданной свободно начерченным графиком.

Не делал такого.

Otta в сообщении #1328863 писал(а):

Я тут нечаянно поняла корень Ваших проблем. С одной стороны, Вы не говорите, каким учебником пользуетесь. Ну не говорите и не говорите, не жалко. А с другой, не цитируете определение, когда с Вас это просят, полностью по Вашему источнику. Не знаю, может, Вы это как занудство воспринимаете или что. (В скобках: а как Вы воспринимаете нежелание пациента сообщать свой анамнез? Так вот это примерно то же.)

Так вот если бы этого не было, проблемы бы тоже решились существенно быстрее, потому что не было бы путаницы.

У меня 3 источника:
1. Википедия
2. Письменный "Конспект лекций по высшей математике"
3. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления"
То, что тут советовали, я скачал, но пока не начал использовать.
Нежелание пациента сообщать анамнез я воспринимаю как то, что он не хочет полностью сотрудничать, играть роль "правильного" пациента.

Otta в сообщении #1328863 писал(а):

Нет, в данном случае Вы неверно понимаете. Прежде чем давать таблетку, надо знать, что собираешься лечить.

Ну, такой вариант тоже отличный.

[Otta]

Solaris86 в сообщении #1328865 писал(а):

Нежелание пациента сообщать анамнез я воспринимаю как то, что он не хочет полностью сотрудничать, играть роль "правильного" пациента.

Воот. А если бы Вы слушались врачей :), уже бы давно выяснился источник Ваших проблем. Потому что в Письменном, в частности, не дано общее определение о-маленького. Там дано определение другого понятия. Не "о-маленького" вообще. А бесконечно малой более высокого порядка. Это понятие более узкое и да, оно тогда предполагает первые два требования, естественно. Обозначил Письменный его так же.

Почему так? А потому что ему только этот случай нужен, вот и вся причина. Чисто прагматический подход.

[Solaris86]

vpb в сообщении #1328864 писал(а):

ТС, а Вы небось, когда Фихтенгольца (трехтомник в виду имеется) десять раз начинали и через две страницы бросали, с самого начала начинали, с теории вещественных чисел, т.е. со Введения ? А вы попробуйте его пропустить и почитать главу 1, про пределы последовательностей. Авось поможет...

Да, всегда с самого начала читал.

vpb в сообщении #1328864 писал(а):

А еще можете как нибудь, чисто так для отдыха души, почитать С.Бобров, Волшебный двурог.
Я вчера первый раз в жизни заглянул (в детстве не читал), и мне понравилось...

Будет время - гляну.

vpb в сообщении #1328864 писал(а):

Да, и еще: я Вашим жизненным устремлениям в известной степени сочувствую, но это, что называется, другая история...

Спасибо за сочувствие! 3 года назад я вообще помыслить не мог, что пойду на второе высшее учиться, когда мне говорили ,что ,мол, не хочу ли я пойти на второе высшее, я отнекивался и говорил, мол, да ну, нафиг мне то надо... Но постепенно начал приходить к тому, что мне это надо, что без этого я не ощущаю полную реализацию, теряю интерес к работе... От своей сути не уйти.

[Otta]

Solaris86
Я сильно надеюсь, что Вы осилили мой предыдущий пост и поняли, что я там хотела сказать.
Но должна быть какая-то польза от наших сегодняшних упражнений.

Давайте посмотрим на то, что Вы сами же написали:
Вы согласились, что при $x\to 0$ верно:

Solaris86 в сообщении #1328848 писал(а):

1) $x^3 = o(x)$,

Solaris86 в сообщении #1328848 писал(а):

3) $\sin^2 x= o(x)$,

Я думаю, Вы сможете написать еще много функций, которые являются $o(x)$ при $x\to 0$. Потренируйтесь сами. Кроме $o(x)$ для определения дифференцируемости ничего не нужно, хотя, повторюсь, вообще-то о-маленькие бывают очень разные и от чего попало. Но мы это трогать не будем.

Так вот: у Вас уже минимум две функции (три!), являющиеся $o(x)$, поэтому это обозначение любого представителя набора функций, стремящихся к нулю быстрее, чем $x$. Поэтому писать $x^2=o(x)$, $x\to 0$, можно, подразумевая при этом ровно то, что $x^2$ принадлежит этому набору, то есть стремится к нулю быстрее, чем $x$. Точно так же можно писать $x^3 = o(x)$ и т.д., подразумевая то же самое. И много чего еще. Зачем так делают? Когда вид функции сам по себе не важен, а важно только подчеркнуть именно это ее свойство, что она стремится к нулю быстрее, чем $x$.

Но нельзя писать $o(x)=x^2$, или $x^3$, неважно, что еще, потому что что конкретно спряталось в этом домике под названием $o(x)$, мы не знаем. Там может быть и первое, и второе, и что угодно еще.

----

Никаких двух смыслов у о-малых нет.

---

Когда в определении пишут $\ldots+o(h)$, это означает, что в этом месте добавляется какой-то представитель этого набора, какая-то функция, в каждом конкретном случае совершенно конкретная, но заранее мы не знаем какая, нам даже не надо знать, нам от нее надо ровно одно: чтобы она стремилась к нулю быстрее, чем $h$. И именно эту информацию и сообщает запись последнего слагаемого.

[Solaris86]

Otta в сообщении #1328869 писал(а):

Воот. А если бы Вы слушались врачей :), уже бы давно выяснился источник Ваших проблем. Потому что в Письменном, в частности, не дано общее определение о-маленького. Там дано определение другого понятия. Не "о-маленького" вообще. А бесконечно малой более высокого порядка. Это понятие более узкое и да, оно тогда предполагает первые два требования, естественно. Обозначил Письменный его так же.

Почему так? А потому что ему только этот случай нужен, вот и вся причина. Чисто прагматический подход.

Нам еще на учебе говорили, что с Письменным надо быть аккуратнее, там много ошибок и неточностей. Но зато там дан минимум, который надо знать, есть на что ориентироваться.

Otta в сообщении #1328871 писал(а):

Я думаю, Вы сможете написать еще много функций, которые являются $o(x)$ при $x\to 0$. Потренируйтесь сами. Кроме $o(x)$ для определения дифференцируемости ничего не нужно, хотя, повторюсь, вообще-то о-маленькие бывают очень разные и от чего попало. Но мы это трогать не будем.

Так вот: у Вас уже минимум две функции (три!), являющиеся $o(x)$, поэтому это обозначение любого представителя набора функций, стремящихся к нулю быстрее, чем $x$. Поэтому писать $x^2=o(x)$, $x\to 0$, можно, подразумевая при этом ровно то, что $x^2$ принадлежит этому набору, то есть стремится к нулю быстрее, чем $x$. Точно так же можно писать $x^3 = o(x)$ и т.д., подразумевая то же самое. И много чего еще. Зачем так делают? Когда вид функции сам по себе не важен, а важно только подчеркнуть именно это ее свойство, что она стремится к нулю быстрее, чем $x$.

Это понятно.

Otta в сообщении #1328871 писал(а):

Но нельзя писать $o(x)=x^2$, или $x^3$, неважно, что еще, потому что что конкретно спряталось в этом домике под названием $o(x)$, мы не знаем. Там может быть и первое, и второе, и что угодно еще.

А вот это непонятно всё равно.

Munin в сообщении #1326470 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1326464

писал(а):
Так вот почему эту нелинейную часть приращения не обозначить просто другой функцией, например, $g(\Delta x)$
Пожалуйста, обозначайте.

$o(x)=x^2$ я могу записать как $g(x)=x^2$, подразумевая при этом что это есть обычная функция в её понимании, но в такой записи не отображается то самое необходимое для дифференцируемости свойство, которое даёт обозначение $o(x)$. Ведь нелинейная часть приращения - это же функция, разве нет?

[Munin]

Solaris86
Смотрите, когда вы берёте производную от $f_1(x)=x^2,$ то приращение можно представить в виде

$f_1(x_0+h)=(x_0+h)^2=x_0^2+2x_0h+h^2=f_1(x_0)+A_1 h+g_1(h),$

и у вас $g_1(h)=h^2.$

Когда вы берёте производную от $f_2(x)=\sin x,$ то приращение можно представить в виде

$\begin{aligned}&f_2(x_0+h)=\sin(x_0+h)=\sin x_0\cos h+\cos x_0\sin h= \\ &=\sin x_0+(\cos x_0)h+\sin x_0(\cos h-1)+\cos x_0(\sin h-h)=f_2(x_0)+A_2 h+g_2(h),\end{aligned}$

и у вас $g_2(h)=\sin x_0(\cos h-1)+\cos x_0(\sin h-h).$

(Упражнение. Проверьте, что $\lim\limits_{h \to 0}\tfrac{g_2(h)}{h}=0.$)

И так далее. На любую функцию, от которой вы берёте производную, будет своя $g(h).$ Они будут разные.

А обозначение $o(h)$ (это не функция!!! это обозначение!!!) позволяет наплевать на все эти различия. Только для этого его и используют. Можно обойтись без него, и каждый раз говорить про разные $g(x).$

[upgrade]

Для $f_3(x)=x^3,$

$f_3(x_0+h)=(x_0+h)^3=x_0^3+3x_0^2h+(..h^{>1}..)$

$(x_0+h)^3-x_0^3=3x_0^2h+(..h^{(>1)}..)$

$\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h^1}=3x_0^2+\frac{(..h^{(>1)}..)}{h^1}$

В $\frac{(..h^{(>1)}..)}{h^1}$ если $h$ начнем уменьшать, то числитель становится меньше быстрее чем знаменатель.
Т.о. $h$ в знаменателе не обязательно должен иметь первую степень, важно чтобы скорость уменьшения знаменателя была меньше скорости уменьшения числителя и тогда это можно обозначить как $o(h)$.
Это так, или дифференциал надо обнаруживать только с первой степенью $h$ в многочлене (можно ж делить на $h^2$ например, если нет $h$)?

[Munin]

upgrade в сообщении #1328896 писал(а):

$f_3(x_0+h)=(x_0+h)^3=x_0^3+3x_0^2h+(..h^{>1}..)$

Нет, извините, без срезания углов. Выпишите полностью.

Смотрите для примера $g_2(h),$ она не имеет вид многочлена, и в ней вообще не понятно по виду, какие там "степени" $h$ в неё входят.

upgrade в сообщении #1328896 писал(а):

Это так, или дифференциал надо обнаруживать только с первой степенью $h$ в многочлене?

Дифференциал обнаруживают не в многочлене, а для функции. Там всегда $h$ только в первой степени.

(Продвинутое замечание)

Бывает "второй дифференциал", в котором можно найти $h^2,$ но это не то же самое, что просто дифференциал.

[upgrade]

Munin в сообщении #1328909 писал(а):

Нет, извините, без срезания углов. Выпишите полностью.

$f_3(x_0+h)=(x_0+h)^3=x_0^3+3x_0^2h+(3x_0h^2+h^3)$

$\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h}=3x_0^2+(3x_0h+h^2)$

при неограниченном уменьшении $h$ вес первого слагаемого в сумме ($3x_0^2$ )неограниченно растет.

[Munin]

Относительный вес.

Ещё возьмите $f_4(x)=e^x,\quad f_5(x)=\ln x.$

[wrest]

upgrade (и Solaris86)

Попробуйте представить приращение функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в виде $\Delta f(x_0,\Delta x)=A(x_0)\cdot \Delta x + o(\Delta x)$ в точке $x_0=0$. Это у вас не получится, но мне кажется будет полезно увидеть, что не всегда приращения даже "хороших" функций (а эта функция определена и непрерывна для всех вещественных аргументов и к её графику можно провести касательную в любой точке) "можно представить в виде..." - разберитесь почему в этом случае нельзя.

[upgrade]

wrest в сообщении #1328920 писал(а):

Попробуйте представить приращение функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в виде $\Delta f(x_0,\Delta x)=A(x_0)\cdot \Delta x + o(\Delta x)$ в точке $x_0=0$.

Я не пойму, зачем это. В некотором выражении ищется отдельно дифференциал и отдельно о-малое чтобы увидеть, что относительным весом о-малого можно пренебречь, и использовать только дифференциал, причем выражение это - производная функции в точке.
До экстремумов, в которых обнаруживается то о чем вы пишите еще далековато, еще о-малое отдельно и дифференциал отдельно найти не получается в полной мере.

[Munin]

А разве у $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в нуле экстремум?

[upgrade]

Нет. Там поведение "не такое", а хоть бы с "таким" определиться. Можно же с ним определиться без сравнения с поведением приращений в нуле?

[Munin]

Чтобы с чем-то определиться, надо посмотреть на его границы, где оно заканчивается, и начинается что-то другое. Вот вам и предлагают посмотреть на случай, где приращение в нуле есть, вроде всё подходит... однако что-то не так. Что именно?