Производная

[Munin]

По сути, дальше матанализ строится так:
- из понятий множеств и кванторов, формулируется понятие функции;
- из множеств, кванторов и функций формулируется понятие предела функции в точке (числа считаем уже известными);
- из функций и пределов можно сформулировать, наконец, производную.

Это всё аккуратно и последовательно изложено во всех учебниках матанализа. А у меня как-то уже руки опускаются, глядя на то, насколько длинная дорога впереди.

[wrest]

Solaris86
Хорошо, с простыми задачками разобрались, вы небезнадежны. :)

Вернемся к дифференциалу и производной.
Насчет дифференциала вам понятно уже?

Давайте сюда то определение производной, которое вам известно.

[Munin]

wrest
Какой дифференциал, вы о чём говорите, с ума сошли?

Все 12 страниц вы мешали разговаривать с человеком, но сейчас просто в чистом виде вредительствуете.

[wrest]

(Munin)

Munin в сообщении #1328665 писал(а):

Все 12 страниц вы мешали разговаривать с человеком

Чтобы вам точно не мешали, вы можете завести переписку в личке. Заодно не будете мешать тут.

[upgrade]

(wrest)

wrest в сообщении #1328510 писал(а):

Ну ничего, когда (если) доберемся до эпсилон-дельты

Переход к эпсилон дельте (и работы с дифференциалами) без устранения пробелов в части понимания множеств и понимания истоков решений таких неравенств скорее всего невозможен, собственно проблема непонимания дифференцирования (по крайней мере моя по сию пору по всей видимости) лежит именно там - в множествах и операциях с ними, хотя с эпсилон дельтой в свое время перерешал кучу задач, включая доказательства теорем.

[Munin]

upgrade
У вас тоже проблема непонимания дифференцирования?

[upgrade]

Munin в сообщении #1328681 писал(а):

У вас тоже проблема непонимания дифференцирования?

Есть такое дело. Обнаружилась в тщетных попытках с помощью дифуров описать простенькое движение, затем начал лезь "с конца книжки в начало" а там ... пустота .

[wrest]

(upgrade)

upgrade в сообщении #1328675 писал(а):

собственно проблема непонимания дифференцирования (по крайней мере моя по сию пору по всей видимости) лежит именно там - в множествах и операциях с ними, хотя с эпсилон дельтой в свое время перерешал кучу задач

На мой скромный взгляд, множества в самом начале матанического приключения нужны в основном для выведения рациональных чисел из натуральных и вещественных из рациональных. То что обсуждалось тут ранее ("необходимо", "достаточно", "необходимо и достаточно", "если - то", "тогда и только тогда") -- по-мойму становится ясным еще в школе при изучении планиметрии и доказательств там.
Вам наверное лучше завести свою тему и обозначить там то, чего вы не понимаете. Заодно расскажете как у вас дела со множествами, а также и с импликацией :)

[Solaris86]

wrest в сообщении #1328658 писал(а):

Вернемся к дифференциалу и производной.
Насчет дифференциала вам понятно уже?

Давайте сюда то определение производной, которое вам известно.

Вот вопрос, с которого началась эта ветка.

Solaris86 в сообщении #1325446 писал(а):

Цитата из Википедии:
Пусть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ определена функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$. Производной функции называется такое число ${\displaystyle A}$, что функцию в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ можно представить в виде ${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}$, если ${\displaystyle A}$ существует.
Пример: пусть$f(x) = x^2, x_0 = 2, h = 1, A = f'(x) = 2x$
Тогда
$f(x_0 + h) = f(2+1) = (2+1)^2 = 9 = f(x_0) + Ah + o(h) = f(x_0) + f'(x_0)h + o(h) = $ $2^2 + 2\cdot2\cdot1+ o(h) = 8 + o(h) \Rightarrow o(h) = 9-8 = 1$
Вот и вопрос: я не понимаю, что такое о-функция от конкретного числа и как её вычислять.

Теперь я сам могу на него ответить.
У o-функции 2 смысла:
1. Это функция в обычном понимании этого слова. В этом значении она ничем не отличается от всех остальных функций и её можно спокойно вычислять, подставляя вместо $h$ конкретные значения. В этом смысле o-функция может записываться и так: $o(h)=h^2$, и так: $h^2=o(h)$
2. Это обозначения тот факта, что при стремлении $h$ к 0 эта $o(h)$ убывает быстрее, чем убывает $h$, т.е. б.м.ф. o(h) является б.м.ф. более высшего порядка малости, чем б.м.ф. $h$ и благодаря этому можно вычислять дифференциал, т.к. при устремлении к 0 из формулы приращения функции "исчезает" нелинейная часть приращения. В этом смысле o-функция может записываться только так: $h^2=o(h)$, поскольку запись $o(h)=h^2$ не отражает этого второго смысла o-функции.

В этом я разобрался, но вот по ходу того, как я разбирался тут, выявилось много других пробелов, поэтому пока буду их восполнять, прежде чем перейду к производным, дифференциалам, интегралам и ДУ.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1328799 писал(а):

т.е. б.м.ф. o(h) является б.м.ф. более высшего порядка малости, чем б.м.ф. $h$ и благодаря этому можно вычислять дифференциал,

Бесконечно малых функций не бывает, бывают бесконечно малые величины.
Дифференциал можно вычислять вне зависимости от величины о-малого, дифференциал может быть и меньше и больше его. Я приводил пример когда дифференциал всегда меньше о-малого -- например на вершине параболы он просто ноль.

Solaris86 в сообщении #1328799 писал(а):

поэтому пока буду их восполнять,

Удачи!

[mihaild]

wrest в сообщении #1328812 писал(а):

Бесконечно малых функций не бывает, бывают бесконечно малые величины.

Определение величины в студию.

Зорич в Математический анализ, часть 1, страница 132 писал(а):

Функцию $f: E \to \mathbb{R}$ принято называть бесконечно малой при $E \ni x \to a$, если $\lim\limits_{E \ni x \to a} f(x) = 0$.

Solaris86 в сообщении #1328799 писал(а):

У o-функции 2 смысла:

Нет. Выражение $o(h)$ можно считать либо вообще не имеющим смысла, либо, если очень хочется, задающим множество функций.
Запись $f = o(g)$ имеет отдельный смысл, отличающийся от обычного равенства.

О-обозначения непосредственного отношения к дифференцированию не имеют (они нужны далеко не только в нем, но и в нем не необходимы).

[wrest]

mihaild в сообщении #1328815 писал(а):

Функцию $f: E \to \mathbb{R}$ принято называть бесконечно малой

Зорич прав, а я нет.
Не смог найти у Фихтенгольца бесконечно малых функций, только величины, вот и подумал что...

[vpb]

Solaris86
Вам выше советовали книжку Зельдовича. Позволю себе настоятельно присоединиться к этому совету. Это не учебник матана, однако из него Вы будете лучше понимать, что такое дифференцирование-интегрирование, а не вычислять чисто механически (кажется, Вы выше на такое дело жаловались). Может быть, когда-нибудь и до настоящего учебника дело дойдет.

[Solaris86]

mihaild в сообщении #1328815 писал(а):

Нет. Выражение $o(h)$ можно считать либо вообще не имеющим смысла, либо, если очень хочется, задающим множество функций.
Запись $f = o(g)$ имеет отдельный смысл, отличающийся от обычного равенства.

О-обозначения непосредственного отношения к дифференцированию не имеют (они нужны далеко не только в нем, но и в нем не необходимы).

Это просто немыслимо!!! Я только, думал, что разобрался, а тут опять выясняется, что неверно понял... Вы пишете, что я понял неправильно, но при этом конкретики в ответе нет, написаны общие фразы, которые меня никак не приближают к пониманию это несчастной о-функции... Ну, граждане, сжальтесь что ли: если я что-то неверно понял, ну напишите чуть более конкретно, что не так и с примерами, чтобы было ясно и понятно это всё... Общие фразы они мне вообще ничего не дают, только множество новых вопросов... И дикую злость, что 2 НЕДЕЛИ (!!!) потрачено, а понимания этой о-функции до сих пор нет...

-- 25.07.2018, 22:18 --

vpb в сообщении #1328817 писал(а):

Вам выше советовали книжку Зельдовича.

Спасибо. Начну изучать.

[Otta]

Solaris86 в сообщении #1328822 писал(а):

Это просто немыслимо!!! Я только, думал, что разобрался, а тут опять выясняется, что неверно понял...

Потому что не надо всем сразу заниматься, это действительно немыслимо. С Вас еще на первых страницах просили определение о-маленького. И где оно до сих пор?
Приведите определение $f = o(g)$ при $x\to a$.

-- 26.07.2018, 00:28 --

Это во-первых.
Во-вторых, вопрос: чего Вы хотите? Уметь считать производные? Для этого не нужно определение.

Да, и в-третьих вопрос: зачем Вам это вообще? Кем Вы ни планируй стать - лучшим врачом-неврологом среди инженеров-биотехников или лучшим инженером-биотехником среди врачей-неврологов, Вас знание тонкостей определения дифференцирования ни на йоту не приблизит к цели, как тут уже было замечено.
На всякий случай: последний вопрос риторический. Это констатация реальности.