Бесконечность и пара вопросов о ней

[TOTAL]

Yarkin писал(а):

Для любого натурального $n > 0$ не существует никакого треугольника c длинами сторон $x^n, y^n, z^n$, удовлетворяющих соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}$$

Yarkin писал(а):

TOTAL писал(а):

Yarkin, приведите пример существующего треугольника.

Пожалуйста. Треугольник с длинами сторон $a=3, b=4, c=5$, но к соотношению $a^2+b^2=c^2$ это никакого отношения не имеет.

Как видно, согласно квантовой теории относительности и полной неопределённости Yarkin'а, треугольники существуют, но лишь на строго определенных орбитах. Исчезновение треугольника с одной орбиты и появление его на другой орбите сопровожнается испусканием/поглащением кванта площади и иногда углового элемента.

[Captious]

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~```

Someone писал(а):

...
всё-таки приведите "для убедительности" математические определения актуальной и потенциальной бесконечности. Не философские.

Даже смеяться уже не хочется над вашими "разводиловками на математические темы"... Ладно, так уж и быть, напишу я эксклюзивно для ВАС определение А.Б. и П.Б. на языке множеств, но с одним условием - сначала вы приведете мне в качестве эталона математическое(!) определение понятия "множество"...
Должен же я, наконец, услышать внятное определение того, что есть "истинно математическое определение" из уст "профессионала"?

Someone писал(а):

Или хотя бы внятные примеры того, как в математике используются эти понятия (как в той статье Успенского: "ноль, один, два, три, четыре, пять и т. д.— всё это натуральные числа").

А в чём проблема? В "той" статье В.А. Успенского полным-полно внятных примеров. Но, по всей видимости, не для всех мутьматиков они понятны...

Someone писал(а):

Определения Кантора - не математические.

Это исключительно ваши "промблемы", г-н Someone...

[Yarkin]

AD писал(а):

Просто существует и всё. И ~10000 участникам этого форума это и так понятно. А если одному не понятно - чтож, семеро одного не ждут.

Исторический факт ллюбой новизны.

PAV писал(а):

Этот вопрос я больше не обсуждаю.

Я этот вопрос не поднимал, поскольку мне это запрещеною

AD писал(а):

Я тоже уверен, что называю их числами. Если бы я еще не был уверен, как я их называю ...

Это мои трудности.

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

TOTAL писал(а):

Как видно, согласно квантовой теории относительности и полной неопределённости Yarkin'а, треугольники существуют, но лишь на строго определенных орбитах. Исчезновение треугольника с одной орбиты и появление его на другой орбите сопровожнается испусканием/поглащением кванта площади и иногда углового элемента.

Чтобы меня опровергнуть, такого поверхностного Вашего рассуждения недостаточно. Познакомтесь с теоремой существования треугольника внимательно и убедитесь, что пифагоровы тройки использовать для приведенного соотношения нельзя.

[Someone]

Captious писал(а):

Ладно, так уж и быть, напишу я эксклюзивно для ВАС определение А.Б. и П.Б. на языке множеств, но с одним условием - сначала вы приведете мне в качестве эталона математическое(!) определение понятия "множество"...

В чём проблема? Берём формализованную теорию множеств (ZFC, например). Множествами называются объекты этой теории, то есть, любые объекты, удовлетворяющие аксиомам ZFC.

Кстати, других определений в математике, в конечном счёте, нет.

Я понимаю, что Вам очень нравятся рассуждения Успенского о невозможности определения натурального числа, Натурального Ряда (с большой буквы), натуральных рядов (с маленькой буквы) и т.п.. Это всё ерунда. Я уважаю Успенского как математика, но философствующий математик - это не математик. Он изложил своё мнение, но оно не более весомо, чем чьё-либо ещё - по той простой причине, что, покидая область математики, он уходит от того, что хорошо знает и в чём хорошо разбирается, и оказывается в положении дилетанта.

Прежде всего, математика не занимается изучением реального мира. Она занимается построением и изучением математических моделей (более или менее формализованных структур) логическими средствами. И все определения относятся к этим моделям.

В природе не существует ни натуральных чисел, ни Натурального Ряда (с большой буквы), ни натуральных рядов (с маленькой буквы), ни множеств. Поэтому требование дать исчерпывающее формальное определение чему-то несуществующему выглядит совершенно вздорным. Рассуждения о том, как формируются у человека представления о натуральных числах и о натуральном ряде, относятся скорее к психологии, чем к философии, и уж совершенно никак не относятся к математике.

Натуральные числа и натуральный ряд - это математическая модель счёта отдельных предметов. Весь опыт человечества в этом отношении исчерпывается манипуляциями со сравнительно небольшими числами. Аксиоматика Пеано с лихвой покрывает этот опыт, а если её недостаточно - можно взять ZFC, в которой натуральные числа и натуральный ряд определены более "конкретно". То, что пишет по этому поводу Успенский, к делу отношения не имеет. Не играет совершенно никакой роли то, что эта аксиоматика не определяет натуральные числа и натуральный ряд однозначно. Во-первых, всё, что мы можем доказать, никак не зависит от того, что "конкретно" представляют собой натуральные числа. Во-вторых, как раз эта неоднозначность позволяет применять одну и ту же математическую модель не только в каком-то одном конкретном случае, а в различных ситуациях.

Теперь я жду, когда Вы дадите математические определения потенциальной бесконечности и актуальной бесконечности. Или хотя бы приведёте примеры применения этих понятий в математике. Требуется не заявление типа "вот эта бесконечность - потенциальная, а эта - актуальная", а ситуация, когда для доказательства математической теоремы прямо используются эти понятия. Под их собственными именами. Или пусть даже под другими, но тогда будьте любезны объяснить, почему это именно то, о чём Вы говорите.

[Captious]

Someone писал(а):

...Берём формализованную теорию множеств (ZFC, например). Множествами называются объекты этой теории, то есть, любые объекты, удовлетворяющие аксиомам ZFC.
Кстати, других определений в математике, в конечном счёте, нет.

Мда...
Ну, о чём можно с вами говорить всёрьёз, г-н Someone?

А после чтения детского лепета с вашим "вольным пересказом" первой части статьи В.А. Успенского ( смысл которой так и остался для вас "вещью в себе" ), могу только ещё раз напомнить, что обсуждение её не входит в мои планы.
Тем более с вами, г-н "профессионал"...

[Someone]

Другими словами, сказать что-нибудь по существу Вы не можете. Впрочем, это не новость.

[PAV]

PAV:

Captious,
Someone ответил на Ваш вопрос. Теперь извольте ответить на его вопрос, а также прекратите хамство и наезды на участников. В противном случае их прекращу я.

[Captious]

Странное у некоторых модераторов понятие об "этике и хамстве", но как говорят, против лома нет приема...
Поэтому, не обращая больше никакого внимание на постоянные выпады некоторых активных "старожилов" форума, считающих себя вправе не только безнаказанно нести любую чушь, но и нагло требовать обстоятельных и подробных разъяснений при отсутствии малейшего желания пошевелить своими "батонами" , продолжим наше "частное расследование" некоторых аспектов использования понятия о "бесконечности" в математике...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Итак, как мы выяснили (см. стр.5), в случае бесконечных множеств принцип «часть не равна целому» нарушается из-за того, что операции выделения части из целого множества и «пересчета» элементов бесконечных множеств дают разный результат. Отсутствующий последний элемент бесконечного множества является неким «неисчерпаемым резервом», из которого добываются недостающие номера(=имена) при установлении эквивалентности множеств.
Принцип «часть равна целому» может быть положен в основу формального определения бесконечного множ-ва, но любая формальная аксиоматическая система принципиально не может охватить всё содержание понятия "бесконечность". В своей статье «Семь размышлений на темы философии математики» В.А. Успенский весьма убедительно продемонстрировал это на примере Натурального ряда, который традиционно приводится в качестве примера потенциальной бесконечности самой "малой мощности": из любого бесконечного множества можно извлечь счетное множество так, что оставшееся множ-во будет эквивалентно исходному.
В Ин-те появились заметки об изобретении Я.Д. Сергеева, профессора Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, так называемого "Компьютера бесконечности" . Сообщается, что профессор предлагает принцип счёта "часть всегда меньше целого", используемый при работе с конечными числами и наблюдаемый в окружающем нас мире, распространить как на бесконечно большие, так и на бесконечно малые величины, что приводит, в частности, к результатам вида $\infty$+1 > $\infty$.
При этом проблема бесконечности рассматривается с позиций, отличающихся от известных традиционных подходов Кантора, Робинсона и Конвея.
Насколько новы идеи профессора покажет время.
Продолжение следует...

[PAV]

PAV:

Продолжения не будет. Я предупреждал. Тема закрыта. Начнете новую на эту же тему - будет бан.