Captious писал(а):
Ладно, так уж и быть, напишу я эксклюзивно для ВАС определение А.Б. и П.Б. на языке множеств, но с одним условием - сначала вы приведете мне в качестве эталона математическое(!) определение понятия "множество"...
В чём проблема? Берём формализованную теорию множеств (ZFC, например). Множествами называются объекты этой теории, то есть, любые объекты, удовлетворяющие аксиомам ZFC.
Кстати, других определений в математике, в конечном счёте, нет.
Я понимаю, что Вам очень нравятся рассуждения Успенского о невозможности определения натурального числа, Натурального Ряда (с большой буквы), натуральных рядов (с маленькой буквы) и т.п.. Это всё ерунда. Я уважаю Успенского как математика, но философствующий математик - это не математик. Он изложил своё мнение, но оно не более весомо, чем чьё-либо ещё - по той простой причине, что, покидая область математики, он уходит от того, что хорошо знает и в чём хорошо разбирается, и оказывается в положении дилетанта.
Прежде всего, математика не занимается изучением реального мира. Она занимается построением и изучением математических моделей (более или менее формализованных структур) логическими средствами. И все определения относятся к этим моделям.
В природе не существует ни натуральных чисел, ни Натурального Ряда (с большой буквы), ни натуральных рядов (с маленькой буквы), ни множеств. Поэтому требование дать исчерпывающее формальное определение чему-то несуществующему выглядит совершенно вздорным. Рассуждения о том, как формируются у человека представления о натуральных числах и о натуральном ряде, относятся скорее к психологии, чем к философии, и уж совершенно никак не относятся к математике.
Натуральные числа и натуральный ряд - это математическая модель счёта отдельных предметов. Весь опыт человечества в этом отношении исчерпывается манипуляциями со сравнительно небольшими числами. Аксиоматика Пеано с лихвой покрывает этот опыт, а если её недостаточно - можно взять ZFC, в которой натуральные числа и натуральный ряд определены более "конкретно". То, что пишет по этому поводу Успенский, к делу отношения не имеет. Не играет совершенно никакой роли то, что эта аксиоматика не определяет натуральные числа и натуральный ряд однозначно. Во-первых, всё, что мы можем доказать, никак не зависит от того, что "конкретно" представляют собой натуральные числа. Во-вторых, как раз эта неоднозначность позволяет применять одну и ту же математическую модель не только в каком-то одном конкретном случае, а в различных ситуациях.
Теперь я жду, когда Вы дадите математические определения потенциальной бесконечности и актуальной бесконечности. Или хотя бы приведёте примеры применения этих понятий в математике. Требуется не заявление типа "вот эта бесконечность - потенциальная, а эта - актуальная", а ситуация, когда для доказательства математической теоремы прямо используются эти понятия. Под их собственными именами. Или пусть даже под другими, но тогда будьте любезны объяснить, почему это именно то, о чём Вы говорите.