Бесконечность и пара вопросов о ней

[AD]

Yarkin писал(а):

Предложений у меня нет.

Жесть ...

[Someone]

ewert писал(а):

Someone писал(а):

Например, определив понятие равномощных множеств, мы можем захотеть составить множество $X$, содержащее (хотя бы) по одному множеству каждой мощности (в качестве эталона, так сказать).

Ну вот я наивно спрашиваю: что есть эта конструкция, как не применение аксиомы выбора (самой по себе практически сомнительной) к всё тому же "множеству всех множеств"? -- ничего удивительного, кто возникает противоречие.

Да зачем здесь аксиома выбора. Просто постулируем, что существует некое множество $X$ такое, что любое множество равномощно одному из элементов множества $X$. И элементы множества $X$ будем называть кардиналами. Кстати, если не называть совокупность всех кардиналов множеством и не обращаться с этой совокупностью как с множеством, то никаких противоречий не возникнет.

Что касается аксиомы выбора, то её "сомнительность" - дело вкуса. Нужно только не забывать, что совсем уж без аксиомы выбора не будет математического анализа. От него останутся жалкие огрызки. От всего, что на нём базируется - тоже. Так что какую-то ограниченную форму аксиомы выбора всё равно нужно иметь. Вероятно, счётной аксиомы выбора или аксиомы зависимого выбора хватит. Можно даже с аксиомой детерминированности побаловаться, только то, что с аксиомой выбора доказывается просто и понятно, с аксиомой детерминированности доказывается через одно место, о котором в приличном обществе не говорят. Хотя существует мнение, что аксиома детерминированности - это рай для анализа: счётная аксиома выбора оказывается верной, полная аксиома выбора - нет, и вдобавок все множества на числовой прямой измеримы.

Вообще, аксиома выбора сильно регуляризует и упрощает теорию множеств. В топологии без неё тоже не обойтись, так как многие очень важные топологические теоремы без аксиомы выбора могут оказаться неверными (например, теорема о непустоте произведения непустых множеств, или теорема о компактности тихоновского произведения компактных пространств).

[ewert]

Someone писал(а):

Да зачем здесь аксиома выбора. Просто постулируем, что существует некое множество $X$ такое, что любое множество равномощно одному из элементов множества $X$. И элементы множества $X$ будем называть кардиналами. Кстати, если не называть совокупность всех кардиналов множеством и не обращаться с этой совокупностью как с множеством, то никаких противоречий не возникнет.

А почему нельзя называть совокупность кардиналов множеством?
И что означают слова "постулируем, что существует..." -- на каком основании постулируем? На мой взгляд -- означают ровно одно: что мы изначально рассматриваем множество всех множеств, факторизуем его по отношению равномощности и объявляем кардиналами соответствующие классы эквивалентности. Ну коль скоро понятие множества всех множеств изначально бессмыссленно, то и конструкция заведомо некорректна. А то самое пресловутое множество $X$ получается уже на основе этой конструкции -- именно по аксиоме выбора.

[Someone]

ewert писал(а):

А почему нельзя называть совокупность кардиналов множеством?

Я же показал, что это приводит к противоречию. А рассматривать мы можем любые совокупности, хотя бы и совокупность всех множеств. Только не называть это множеством и не применять к этой совокупности конструкции, применимые для множеств. Потому что аксиомы говорят о возможности применения тех или иных конструкций к множествам, а не к произвольным совокупностям.

Но если это Вас интересует, лучше взять книгу по теории множеств и поразбираться.

ewert писал(а):

И что означают слова "постулируем, что существует..."

Примем дополнительную аксиому. В данном случае эта аксиома приводит к противоречию, поэтому принимать её нельзя. А вообще, в отличие от арифметики Пеано, на неполноту теории множеств натыкаешься то и дело, и использование дополнительных аксиом - обычное дело.

[ewert]

Someone писал(а):

Примем дополнительную аксиому.

Вот.
Сперва было:

Someone писал(а):

Например, определив понятие равномощных множеств, мы можем захотеть составить множество , содержащее (хотя бы) по одному множеству каждой мощности

А теперь оказалось, что нам просто от балды захотелось сочинить новую аксиому. А потом удивляемся, чего это ничего не выходит.

[Someone]

Нет, Вы не правы. Новую аксиому я предложил ввести только потому, что Вы зачем-то заговорили об аксиоме выбора. Новая аксиома позволила бы обойтись без аксиомы выбора, если бы требуемое множество вообще могло существовать в теории множеств. Совершенно неважно, каким способом мы пытаемся заполучить в своё распоряжение множество кардиналов. Оно не существует в любом случае.

[Captious]

Someone писал(а):

Ну, то есть, наговорили, наговорили, а потом в кусты. .

А чего такого я успел "наговорить, наговорить..." ?
Всёго лишь привел сверхкраткую цитатку из Кантора. Всё только начинается, батенька... Сразу предупреждаю, что я и дальше буду обращать внимание на содержательную сторону вопроса и "формулки" писать только лишь тогда, когда они действительно помогают раскрыть суть дела...

Someone писал(а):

Если уж Вы заговорили об аксиоматизации натурального ряда, то аксиоматизация пусть и не полная, но, по крайней мере, достаточная в подавляющем большинстве случаев, хорошо известна. В отличие от понятий "актуальной бесконечности" и "потенциальной бесконечности", без которых математика прекрасно обходится.

Чушь несусветную про якобы отсутствующие в математике А.Б. и П.Б. комментировать не имеет смысла, а вот насчет "хорошо известной аксиоматики", вероятнее всего, вы полностью солидарны с г-ном AD

AD писал(а):

Итак, читаете про аксиомы Пеано, потом про аксиоматики ZFC и NBG, формально-аксиоматически описывающие теорию множеств, потом приходите, и даёте в рамках ZFC определения ваших понятий. Чего нет в ZFC и GNB - нет в математике.

Понятно, понятно... Примерно такой вот "ответ" и ожидался!
Невооруженным глазом видно, что вопросы основания математики пока ещё не входят в сферу ваших интересов.
Настоятельно советую ознакомиться со статьёй В. А. Успенского «Семь размышлений на темы философии математики».
Ссылок на эту статью найдете много. Например можете заглянуть на
http://a-bugaev.chat.ru/uspensky.html
http://a-bugaev.chat.ru/zip/uspensky.zip

Someone писал(а):

Ознакомился. Ничего особо нового в ней нет. Эта статья не математическая, а околофилософская. Обсуждайте её с философами, они любят такие разговоры.

Прям не знаю, что делать: смеятся или плакать...
Статья видите ли "не математическая" ...
Конечно, "ничего особо нового" в ней нет, поскольку автор (известный математик) философски осмысливает некоторые довольно "старые" вопросы математики...
А может быть всё гораздо проще - не доросли вы ещё, батенька, до таких статей? Ась? С какого перепугу вы вдруг решили, что я собираюсь здесь с вами(!) обсуждать эту статью?
А что скажет по этому поводу г-н AD?

AD писал(а):

Скажу, что наличие подобных статей не избавляет вас от необходимости давать определения.

Вот я и привел вам (всем) определения Г.Кантора...

AD писал(а):

Читал давно, даже вроде бы где-то тут обсуждалось на форуме. Если вы говорите, что "в математике есть", а определить не можете, значит, вы гоните.

Судя по тому, что вы на полном серьезе считаете аксиомы Пеано "определением" Натурального ряда, то невооруженным глазом видно, что статьи В.А. Успенского вы не читали, а если и "читали", то ни бельмеса не поняли.

AD писал(а):

Да, для меня математика начинается с ZFC, а для кого-то раньше - с логики. А для большинства - позже, с арифметики. То есть вы признаете, что, скажем, в ZFC таких понятий нет?

Каких "ТАКИХ понятий" нет в аксиоматике ZFC( и не только в ней) ???
Вы вообще-то способны говорить конкретно и определенно?
Нет понятий о П.Б. и А.Б.? Так что ли?
Я вот никак не пойму: г-н AD "косит под дурачка" или на самом деле такой "простой"? В математике полным-полно так называемых "неопределяемых" понятий( см. "читанную давно" статью В.А. Успенского).
С таким же успехом можно требовать "строгих математических определений" множества, точки, прямой,..., и т.д. и т.п.
И после этого, премудрый г-н будет меня уверять, что он что-то где-то там читал и даже "обсуждал" на каком-то форуме...

AD писал(а):

Вот Yarkin тоже так любит - сначала заявляет какую-нибудь чушь типа "в математике нет определения числа" (несколько раз тыкали его носом в действующее определение - безрезультатно),...

Век живи - век учись!..
Не хочется мне что-то пребывать в невежестве - тыкните и меня, плиз, в "действующее определение ЧИСЛА"!

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Yarkin писал(а):

Вот и надо разобраться, когда мы имеем дело с моделями, а когда с их изображениями.

Да кто ж вам мешает? Разбирайтесь! Изображение тоже можно считать моделью изображаемого-отражаемого...
Кто тут говорил, что Yarkin знает о бесконечности всё? Ась?
Да из него ни одного слова( по делу) не вытянешь! Молчит как партизан...
Вы, г-н Yarkin, определились бы, наконец, принципиально: вы "ЗА" или "ПРОТИВ"?

[Someone]

Captious писал(а):

Настоятельно советую ознакомиться со статьёй В. А. Успенского «Семь размышлений на темы философии математики».

Ознакомился. Ничего особо нового в ней нет. Эта статья не математическая, а околофилософская. Обсуждайте её с философами, они любят такие разговоры.

[AD]

Captious писал(а):

А что скажет по этому поводу г-н AD? Wink

Скажу, что наличие подобных статей не избавляет вас от необходимости давать определения. Читал давно, даже вроде бы где-то тут обсуждалось на форуме. Если вы говорите, что "в математике есть", а определить не можете, значит, вы гоните. Да, для меня математика начинается с ZFC, а для кого-то раньше - с логики. А для большинства - позже, с арифметики. То есть вы признаете, что, скажем, в ZFC таких понятий нет?

Добавлено спустя 27 минут 26 секунд:

Вот Yarkin тоже так любит - сначала заявляет какую-нибудь чушь типа "в математике нет определения числа" (несколько раз тыкали его носом в действующее определение - безрезультатно), а потом заявляет что-то типа "следовательно, я могу вообще ничего не определять", и оставляет без определения ключевые понятия в своем основном утверждении.

[Yarkin]

AD писал(а):

Жесть

С ней и оставайтесь.

Captious писал(а):

Да кто ж вам мешает? Разбирайтесь! Изображение тоже можно считать моделью изображаемого-отражаемого...

Ошибаетесь, если думаете, что математики отличают модели от их изображений.

Captious писал(а):

Кто тут говорил, что Yarkin знает о бесконечности всё? Ась?

AD это писал в насмешку - в смысле что я в этом ни гу-гу.

Captious писал(а):

Вы, г-н Yarkin, определились бы, наконец, принципиально: вы "ЗА" или "ПРОТИВ"?

Что Вы имеете в виду под "ЗА" и "ПРОТИВ"?

AD писал(а):

несколько раз тыкали его носом в действующее определение - безрезультатно

Ни разу этого не было. Одни разговоры.

[Captious]

Yarkin писал(а):

Ошибаетесь, если думаете, что математики отличают модели от их изображений.

"Их" - это надо понимать изображения самих моделей?
Т.е. вы говорите о том, что "модели" надо отличать от "изображения моделей"?
Ну, и разъяснили бы народу, в чём по-вашему суть этого "прикола"...

Yarkin писал(а):

Что Вы имеете в виду под "ЗА" и "ПРОТИВ"?

Да хоть что-нибудь конкретное и содержательное!
Например, вы ПРОТИВ или ЗА то, что понятие "бесконечность"
относится к т.наз. "неопределяемым" понятиям и его невозможно формализовать никаким набором аксиом ?
Вообще, батенька, мне уже порядком надоело читать ваши "афоризмы" и угадывать, что у вас было на уме...
Краткость, конечно, сестра таланта, но не до такой же степени...

[PAV]

Captious писал(а):

Ну, и разъяснили бы народу, в чём по-вашему суть этого "прикола"...

Yarkin уже разъяснял это в нескольких своих темах в данном разделе. Можете ознакомиться. Узнаете много интересного для себя, например, что не существует треугольника со сторонами 3,4 и 5... Много интересного про числа. Но здесь это заводить не надо, потому как оффтопик.

[AD]

Yarkin писал(а):

AD это писал в насмешку - в смысле что я в этом ни гу-гу.

Не писал я этого.

Captious писал(а):

Нет понятий о П.Б. и А.Б.? Так что ли? Confused

Да. Ни о чем другом я с вами и не говорил.

Captious писал(а):

Не хочется мне что-то пребывать в невежестве - тыкните и меня, плиз, в "действующее определение ЧИСЛА"!

Captious писал(а):

С таким же успехом можно требовать "строгих математических определений" множества, точки, прямой,..., и т.д. и т.п.

Уже тыкнул. И в число, и в множество. Вы после этого долго ржали, но ясно, что и не попробовали почитать. Что поделать, если вы не хотите слышать ответы. Точка - слово, для разнообразия заменяющее слово "элемент [множества]". Прямая - это вообще слишком просто, это множество точек, задаваемое уравнением прямой.

Captious писал(а):

Например, вы ПРОТИВ или ЗА то, что понятие "бесконечность"
относится к т.наз. "неопределяемым" понятиям и его невозможно формализовать никаким набором аксиом ?

Понимаю, что вопрос был не ко мне, но еще раз повторю: "бесконечности" в разных разделах математики разные, и друг к другу отношения не имеют. Уточняйте, о которой идет речь. "Бесконечность вообще" - не просто неопределяемое понятие, а вообще пустой звук (что, впрочем, одно и то же).
_________________

Короче, влом продолжать этот разговор ни о чём.

[Captious]

AD писал(а):

Captious писал(а):

Каких "ТАКИХ понятий" нет в аксиоматике ZFC( и не только в ней) ???
Вы вообще-то способны говорить конкретно и определенно?
Нет понятий о П.Б. и А.Б.? Так что ли?

Да. Ни о чем другом я с вами и не говорил.

Запутались вы, в своем "словотворчестве, AD, запутались...
То вы об "определения", то о "понятиях"...
Понятия о "бесконечности" конечно же есть.
Далее вы сами же подтверждаете это:

AD, ничтоже сумняшеся писал(а):

... еще раз повторю: "бесконечности" в разных разделах математики разные, и друг к другу отношения не имеют.

Вот-вот...
Только вопреки вашим "тезисам" общее у всех этих "конкретных бесконечностей" есть, что и отражено в определениях Кантора( см.стр.4)

AD писал(а):

"Бесконечность вообще" - не просто неопределяемое понятие, а вообще пустой звук (что, впрочем, одно и то же).

А это прямая цитата из моих постов...
У меня вообще создалось впечатление, что вы, г-н студиозус, как тетерев на току - слушаете только себя любимого... Меня просвещать насчет "бесконечностей вообще" не требуется...

AD писал(а):

Captious писал(а):

С таким же успехом можно требовать "строгих математических определений" множества, точки, прямой,..., и т.д. и т.п.

Уже тыкнул. И в число, и в множество.

С. По-моему, это вам просто показалось...Наверняка хотели, но у вас не получилось...

Вы после этого долго ржали, но ясно, что и не попробовали почитать. Что поделать,
если вы не хотите слышать ответы.

С. Я уж теперь не знаю - продолжать ли мне "ржать" или начать плакать от ваших "разводиловок" ... Насчет якобы "действующего определения "числа вообще" та же история, что и с "бесконечностью вообще" - подумайте на досуге над этим вопросом....

Точка - слово, для разнообразия заменяющее слово "элемент [множества]". Прямая - это вообще слишком просто, это множество точек, задаваемое уравнением прямой.

Детский лепет и чушь несусветная!
Ну, о чём с вами можно дискутировать после этого?
Меня интересует место математики в системе наук, а вас, судя по всему, больше волнует, какое место в математике занимаете лично вы...

[Someone]

Captious писал(а):

Меня интересует место математики в системе наук

Да нет. Вас интересует поболтать с умным видом о том, чего Вы не понимаете.

Captious писал(а):

Только вопреки вашим "тезисам" общее у всех этих "конкретных бесконечностей" есть, что и отражено в определениях Кантора

Нет у этих "бесконечностей" ничего общего, и "определения" Кантора, на которые Вы всё время ссылаетесь, никакого отношения к математике не имеют и ничего не определяют. Это типичные псевдофилософские "определения". Я их, кстати, встречал в курсе философии. Выглядят они очень "умно", но, ещё раз повторюсь, к математике отношения не имеют. В математике встречаются термины "бесконечность", "бесконечный" и т.п., но их значение в каждом конкретном случае определяется по-своему. В частности, бесконечности, встречающиеся в теории пределов, не имеют никакого отношения к бесконечным множествам и отличаются от чисел только тем, что для них нельзя определить арифметические операции, бесконечно удалённая прямая на проективной плоскости вообще ничем не отличается от всех остальных и нужна только для наглядного изображения, бесконечно большая функция во всей области определения принимает только конечные значения, и т.д.. Никакой единой или универсальной бесконечности в математике нет. Ни актуальной, ни потенциальной. Уж поверьте профессионалу.