===========ММ231===============ММ231 (4 балла)
На сторонах
и
египетского треугольника
выбрали точки
и
соответственно. Оказалось, что треугольники
и
равновелики. Какую часть площади
составляет площадь треугольника
при условии, что последний - прямоугольный?
РешениеПривожу решения Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука. А также набросок авторского решения.
Пусть
.
Введем обозначения как на рис. 1.
Из равновеликости треугольников
и
следует, что
Отсюда,
или
. Второе решение не подходит, т.к. при всех допустимых
(
) дает недопустимые
.
Таким образом, равенство площадей треугольников
и
равносильно тому, что точки
и
делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношениии.
Пусть теперь угол
- прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов
и
, получим
или
. Первое значение соответствует тривиальному случаю треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей
. Второй случай (именно он приведен на рис.1) приводит к отношению
.
Если вершиной прямого угла является
, то
или
. Первое значение не подходит, а второе приводит к отношению площадей
.
Наконец, если вершиной прямого угла является
, то оба значения
и
не входят в область допустимых значений.
Обсуждение Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения).
Правда, у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю, разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).
Любопытно, что некоторые участники, даже решив задачу, не заметили (или не отметили?), что равновеликость треугольников
и
равносильна тому, что точки
и
делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим "незаметным фактом", стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника
.
Как верно отмечено в приведенных решениях, оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал).
НаградыЗа решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Евгений Гужавин - 6;
Анатолий Казмерчук - 6;
Владислав Франк - 4;
Юрий Варламов - 4
Владимир Чубанов - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Виктор Филимоненков - 3;
Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла