Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

VAL в сообщении #1337554 писал(а):

прочие треугольники никто не исследовал

А жаль!
Я рассчитывал, что кто-нибудь из конкурсантов рассмотрит такую ситуацию.
Дан разносторонний треугольник $ABC$. На сторонах $BC, AC$ и $AB$ соответственно выбраны точки $A_1, B_1, C_1$, отличные от вершин, так что треугольники $AB_1C_1, BA_1C_1$ и $CA_1B_1$ равновелики, а треугольник $A_1B_1C_1$ подобен исходному.
Возникает естественный вопрос: сколькими способами можно это сделать.
А у тех, кто познакомился с опубликованными решениями ММ231, по-видимому, возник и гипотетический ответ

[VAL]

===========ММ232===============

ММ232 (6 баллов)

Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение $x^3+y^3=z^3-i$ для каждого $i \in \{1, 2, 4\}$ ?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля...
Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

Решение

Привожу решения Евгения Гужавина, Василия Дзюбенко и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

При поиске бесконечных серий конкурсанты разделились на две команды. Одна исповедовала подход: "Будем искать решение в виде...". Другая: "Найдем перебором несколько решений и поищем закономерность". Правда, была еще и третья группа: "Очевидно, что имеется бесконечно много решений вида...". Но я подозреваю, что представители этой группы, на самом деле, латентные участники одной из двух первых.
А вот при доказательстве отсутствия решений для $i=4$ все были единодушны.

Для меня было неожиданным, что сразу несколько конкурсантов неправильно истолковали комментарий, приведенный после условия.
Я полагал, что это более чем прозрачный намек на историю, когда Пьеру де Ферма не хватило полей "Арифметики" Диофанта, чтобы изложить доказательство (впрочем, конечно же, "доказательство") Великой теоремы своего имени.
Но, то ли участники не вспомнили про эту историю, то ли стали искать двойное дно и намек на теорию полей, которого не было.

Некоторые конкурсанты для доказательства бесконечности множества решений придумали не серии, представленные в приведенных решениях, а их подсерии. Например, вместо тройки $\left(9n^3-1, 9n^4-3n, 9n^4\right)$ приводилась тройка $\left(3^{3k-1}, 3^{4k-2}-3^k, 3^{4k-2}\right)$.
Несколько иначе обстоит дело с серией, приведенной Владиславом Франком для случая $i-2$. Убедившись, что равенство $(6t^3 + 36t^2 + 72t + 49)^3 - 2 = (6t^3 + 36t^2 + 72t + 47)^3 + (6t^2 + 6t + 24)^3$ не является верным, я уже кровожадно потирал руки и думал, скольких баллов лишить Владислава. Но в этот момент заметил, при замене последнего слагаемого на $(6t^2 + 24t + 24)^3$ получается та же серия, что и у остальных конкурсантов. Надо только вместо $t$ подставить $t-2$.
В итоге ведущему не удалось оттяпать баллы ни у кого из участников.
Но и добавлять баллы я тоже не стал. Поскольку обобщения и аналоги задачи для случаев $i=-1, i=a^3, i=2a^3, i=4+9k$ тривиальны, а более интересные вопросы:
разрешимо ли уравнение при $i=3$?
исчерпываются ли все решения для $i=2$ тройками $\left(6n^2, 6n^3-1, 6n^3+1\right)$ (с возможной перестановкой первых двух чисел)?
входят ли решения для $i=1$, не описываемые серией $\left(9n^3-1, 9n^4-3n, 9n^4\right)$, в какие-то другие серии или являются спорадическими?
остались без ответов.

Награды

За решение задачи ММ232 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Евгений Гужавин - 6;
Анатолий Казмерчук - 6;
Юрий Варламов - 6;
Владимир Чубанов - 6;
Валентина Колыбасова - 6;
Виктор Филимоненков - 6;
Василий Дзюбенко - 6;
Владислав Франк - 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

[grizzly]

VAL в сообщении #1339312 писал(а):

входят ли решения для $i=1$, не описываемые серией $\left(9n^3-1, 9n^4-3n, 9n^4\right)$, в какие-то другие серии или являются спорадическими?

Для небольших решений это известно, наверное. Но вообще, для каких-то можно найти полиномиальные серии (и я не думаю, что это можно сделать методом "наблюдения закономерностей"), а для других нет. Например:

$${\mathrm If} \qquad \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 63 & 104 & -68\\ 64 & 104 & -67\\ 80 & 131 & -85 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad n\in \mathbb Z, \qquad {\mathrm Then} \qquad a_n^3+b_n^3=c_n^3+(-1)^n. $$

И это на передовой современной математики, пусть даже нашёл эти решения ещё Рамануджан (до матричного вида он свои решения не упростил). Отрицательные $n$ в этой формуле меня сильно впечатлили.

[VAL]

У нас юбилей!
Мои поздравления юбиляру!!!

Кто в курсе - о чем это я?

[zmerch]

Спасибо

[VAL]

grizzly в сообщении #1339343 писал(а):

Для небольших решений это известно, наверное. Но вообще, для каких-то можно найти полиномиальные серии (и я не думаю, что это можно сделать методом "наблюдения закономерностей"), а для других нет. Например:

$${\mathrm If} \qquad \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 63 & 104 & -68\\ 64 & 104 & -67\\ 80 & 131 & -85 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad n\in \mathbb Z, \qquad {\mathrm Then} \qquad a_n^3+b_n^3=c_n^3+(-1)^n. $$

И это на передовой современной математики, пусть даже нашёл эти решения ещё Рамануджан (до матричного вида он свои решения не упростил). Отрицательные $n$ в этой формуле меня сильно впечатлили.

Замечательно!
А что же Вы не включили эту красоту в Ваше решение? Я бы Вам парочку призовых баллов накинул. Ну или Рамануджану

А как это строится?

-- 16 сен 2018, 14:28 --

zmerch в сообщении #1339351 писал(а):

Спасибо

Ну, что Вы в курсе, я не сомневался

[fiviol]

Анатолий 1000 набрал?
Поздравляю!

-- 16.09.2018, 16:33 --

Анатолий 1000 набрал?
Поздравляю!

[grizzly]

VAL в сообщении #1339353 писал(а):

А как это строится?

Логику построения проследить можно, но как догадаться до такого? Я лучше дам ссылку на статью.

VAL в сообщении #1339353 писал(а):

А что же Вы не включили эту красоту в Ваше решение?

Если бы были отдельные баллы за "эстетику" решений, я бы включил. А так нечестно Оригинальные формулы Рамануджана выглядят не так впечатляюще и уже упоминались на форуме: (чистая магия).

[VAL]

fiviol в сообщении #1339355 писал(а):

Анатолий 1000 набрал?
Поздравляю!

-- 16.09.2018, 16:33 --

Анатолий 1000 набрал?
Поздравляю!

Что, уже две тысячи?! Быстро!

-- 16 сен 2018, 14:48 --

grizzly в сообщении #1339356 писал(а):

VAL в сообщении #1339353 писал(а):

А как это строится?

Логику построения проследить можно, но как догадаться до такого? Я лучше дам ссылку на статью.

Спасибо!

Цитата:

VAL в сообщении #1339353 писал(а):

А что же Вы не включили эту красоту в Ваше решение?

Если бы были отдельные баллы за "эстетику" решений, я бы включил. А так нечестно Оригинальные формулы Рамануджана выглядят не так впечатляюще и уже упоминались на форуме: (чистая магия).

В общем, как обычно, все уже украдено придумано до нас

Впрочем, конечно же не все. Но, почему-то, все самое красивое.

[VAL]

Решил опубликовать сугубо промежуточную таблицу, а то после следующей задачки уже не так красиво будет.

Текущее положение лидирующей группы марафонцев
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|c|} \hline Участники \ \ Туры$\to$ &1-12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&\Sigma\\ \hline 1. А.Казмерчук &257&61&45&54&53&51&73&79&69&82&85&79&12&{\it 1000}\\ \hline 2. О.Полубасов &268&-&-&-&64&56&83&97&73&79&87&80&-&887\\ \hline 3. В.Филимоненков &294&22&-&48&55&46&71&53&62&23&36&53&9&771\\ \hline 4. С.Половинкин &80&57&64&56&58&41&74&60&63&36&2&-&-&591\\ \hline 5. В.Франк &385&-&26&-&-&-&-&-&-&-&69&37&10&527\\ \hline 6. А.Волошин &137&61&47&52&54&50&76&3&-&-&-&-&-&480\\ \hline 7. Н.Дерюгин &100&21&20&19&43&18&54&21&4&-&-&-&-&300\\ \hline 8. Д.Пашуткин &41&16&48&43&24&3&-&45&54&-&25&-&-&293\\ \hline 9. E.Гужавин &-&4&34&9&9&21&34&17&-&18&-&39&12&177\\ \hline 10. В. Колыбасова &-&-&-&-&-&-&-&10&57&17&-&54&10&148\\ \hline \end{tabular}

[VAL]

===========ММ233===============

ММ233 (5 баллов)
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне

При каких значениях параметра $a$ множество точек плоскости, задаваемых системой

$$\begin{cases} (x - a + 1)^2 + (y - 3)^2 \le 80, \\ (x - 3)^2 + (y - 4a + 1)^2 \le 20a^2, \\ |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| = 230 - 2a\end{case}$$

является кругом?

Решение

Привожу решения Юрия Варламова и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

Валентина Колыбасова прислала симпатичную анимацию в качестве иллюстрации к решению. Но опубликовать ее не позволяет здешний движок. Замечу, что сам ведущий неоднократно прибегал к такому способу самоконтроля. В том числе, и при составлении этой задачки.

Согласен с теми, кому задача показалась достаточно рутинной. Причем (см. подзаголовок) заранее согласен. По-видимому, иногда моя работа в качестве эксперта ЕГЭ вторгается в мою деятельность в качестве ведущего Марафона.
Однако отсутствие каких-то нестандартных шагов в решении не сделало задачу совсем уж легкой. До верного ответа добрались не все. Но разным причинам (один просчитался, а другой поленился) Владислав Франк и Владимир Чубанов потеряли (разные) куски решения. Я долго думал, какой из грехов хуже. Но так и не определился, что видно по присужденным баллам. В каждом из случаев штраф был невелик, поскольку участники продемонстрировали "потенциально верные" решения.
Ответ Василия Дзюбенко также отличается от канонического. Но по иной причине. Василий прямо указал, что считает точку кругом нулевого радиуса. Я не стал с этим спорить, тем более, что, будучи последовательным, Василий включил в ответ не только случай $a=0$, но и случаи, когда меньший круг лежит внутри большего и касается полосы внешним образом.
А вот самый юный участник Марафона начал с фальстарта. Верно определив круги и полосу, он запутался в их взаимном расположении. Такое решение я оценил в один балл (в полном соответствии с критериями ЕГЭ).


Награды

За решение задачи ММ233 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Евгений Гужавин - 5;
Анатолий Казмерчук - 5;
Юрий Варламов - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Виктор Филимоненков - 5;
Василий Дзюбенко - 5;
Владимир Чубанов - 4;
Владислав Франк - 4.
Лев Песин - 1.

Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла

[kotenok gav]

VAL в сообщении #1340865 писал(а):

А вот самый юный участник Марафона начал с фальстарта. Верно определив круги и полосу, он запутался в их взаимном расположении. Такое решение я оценил в один балл (в полном соответствии с критериями ЕГЭ).

А потом я забыл про решение... Может, проведете когда-нибудь тур вашей зимой? А то занятость.

[VAL]

kotenok gav в сообщении #1340870 писал(а):

Может, проведете когда-нибудь тур вашей зимой? А то занятость.

Вы не поверите, но у меня тоже занятость... Пока еще.
Так что, следующий тур пройдет осенью 2019 года. А дальше я не загадываю.

Но кое-что для Вашего удобства я, пожалуй, могу сделать. У меня уже есть 3 задачки для следующего конкурса. К зиме (нашей), надеюсь, появится еще парочка. Могу выслать их Вам в ЛС, чтобы Вы могли подумать над ними Вашим летом.

[Ariadna H]

Анимация к задаче ММ233: https://youtu.be/jjO9Oa9_TRk

[kotenok gav]

VAL в сообщении #1340876 писал(а):

Могу выслать их Вам в ЛС, чтобы Вы могли подумать над ними Вашим летом.

Хорошо, спасибо.