Как узнали размерность пространства, в котором мы живём?

[Pphantom]

Andrey_Kireew в сообщении #1324368 писал(а):

Всего лишь предложил способ, как его можно обнаружить, и всего то. И заметьте, несмотря на всё недовольство некоторых участников, никто до сих пор так и не смог прямо указать, почему этот способ непригоден для этой цели в принципе.

Кхм... вообще-то выше это сделали как минимум три участника.

[Andrey_Kireew]

Представляете, нашел не состыковку (идея на то и идея, что нуждается в проработке).

Нужно просто брать матрицу квадратов евклидовых расстояний. Всё работает как часы! Ошибки округления тут не причём.
Igor_Dmitriev в Вашей программе просто не нужно извлекать корень из суммы квадратов.
(разумеется, двойное центрирование выполнять необходимо).

Я проверил на этом "контрпримере", что здесь представлен. Ранг получается точно равен двум. Младшее сингулярное число точно равно нулю. Добавил к единицам 0.001 (чтобы средняя точка немного вышла из плоскости) ранг уже получается равен трём.

Но в реальных измерениях, из за погрешностей, всё равно, вместо ранга, придётся использовать число статистически значимых собственных чисел.

[Walker_XXI]

Igor_Dmitriev в сообщении #1324190 писал(а):

Один из ответов мог бы содержать в себе, например, места во Вселенной, которые "подозреваются" в том, что они, будучи трёхмерными, расположены из-за своего искривления на самом деле в 50-100 измерениях, подобно "одномерной" нитке в "трёхмерном" клубке.

Ещё раз простите, но не вижу почти никакой связи с Вашим вопросом:

Igor_Dmitriev в сообщении #1324158 писал(а):

я про то, почему вообще наш мир не является бесконечномерным, пусть и с очень маленькими измерениями высших порядков.

Во-первых, насколько мне известно, нет таких мест во Вселенной. Во-вторых, даже если бы и были, разве это хоть как-то отвечает на вопрос, почему наш мир не является бесконечномерным?

Igor_Dmitriev в сообщении #1324249 писал(а):

но должна же она быть частью четырёхмерного пространства, а оно в свою очередь ... частью бесконечномерного, нет?

Нет. Почему Вселенная должна соответствовать каким-то Вашим личным (ни чем не обоснованным) представлениям?

Igor_Dmitriev в сообщении #1324252 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1324251 писал(а):

конкретно из квадрата в знаменателе

Так круги на воде почти двумерны, хотя находятся в трёхмерном мире.

Вы немного не поняли. Если бы гравитация была аналогом "почти двумерных кругов в трёхмерном мире", закон Всемирного тяготения не мог бы быть записан в нынешнем виде. С другой стороны, круги на воде не могут быть адекватно описаны без привлечения третьего измерения. В нашем же мире ничто не говорит о том, что известные явления проще и естественнее будут описаны в предположении наличия дополнительных некомпактифицированных измерений. Наоборот, их привлечение создаёт трудности.

-- 04.07.2018, 17:04 --

Andrey_Kireew в сообщении #1324372 писал(а):

Нужно просто брать матрицу квадратов евклидовых расстояний. Всё работает как часы!

Неужели Вы вправду думаете, что являетесь первопроходцем в теории размерности метрических пространств, что до Вас никому в голову не приходила идея проверить размерность нашего пространства на опыте?

-- 04.07.2018, 17:05 --

Andrey_Kireew в сообщении #1324195 писал(а):

Ну и Red_Herring привёл вполне весомые основания. Но это всего лишь обоснования, а не доказательства.

Ну, вообще говоря, физика - экспериментальная наука. Тут не может быть чисто логический доказательств, не завязанных на практику, не содержащих оговорок типа "при условии, что мы пренебрегаем тем-то и тем-то, а вот такая гипотеза окажется верной".

Andrey_Kireew в сообщении #1324195 писал(а):

Хотя, насколько мне известно, в мире элементарных частиц $N\ne 3$.

К сожалению, пока это лишь математические теории, которым не удалось выйти на уровень физических. А в Стандартной модели пространственных измерений 3.

-- 04.07.2018, 17:08 --

Igor_Dmitriev в сообщении #1324252 писал(а):

Правильно я понимаю, что просто для опытных данных и теории удобны именно такие допущения, но доказательств или убедительных свидетельств того, что мир не бесконечномерен ( и мы существуем именно в трёхмерном пространстве с небольшим числом крошечных измерений, а не в трёхмерной проекции ), нет?

Неправильно. Проводя аналогию с вложением двумерных объектов в трёхмерное пространство, Вы забываете, что с одной стороны, они всё-таки трёхмерны и в двумерии полностью адекватно не описываются, а с другой - есть нечто, удерживающее "квазидвумерную" систему на двумерной поверхности. Соответственно, предположив наличие дополнительных измерений, нужно описать, что удерживает наш мир в трёхмерии, не давая ему выйти за пределы. А это привлечение новых сущностей, необходимости в которых пока нет.

Если какие-то допущения "удобны" и для теории и для практики (прекрасно согласуются с последней и позволяют создать эффективную и простую первую), а другие допущения - неудобны и не дают адекватной теории, то может быть первые допущения ближе к истине? Нет?

[Andrey_Kireew]

Pphantom в сообщении #1324370 писал(а):

... вообще-то выше это сделали как минимум три участника.

Да вы указывали на необходимость оценки погрешностей, и я не могу с этим не согласится, как впрочем сразу же написал

Andrey_Kireew в сообщении #1324243 писал(а):

... как это сделать - вопрос отдельный, но думаю решаемая проблема ...

может существующие средства измерений и не позволят это сделать, но это не фундаментальное ограничение.

Про остальных двух, если я конечно правильно понял про кого Вы, так ничего они не опровергли. Их аргументы, либо вообще не соответствуют действительности (как в начале - о изотропии реликтового излучения), либо имеют весьма опосредованное отношение к проблеме, либо не выдерживают критики (как про матрицу). Численная модель то сейчас работает 1 в 1, это может проверить любой, даже коды здесь представлены.

Есть, конечно, и ещё один вариант. Мне давно указали на причину моих заблуждений, но я в силу своей ограниченности даже не в состоянии этого понять. Если это так, то уж извините.

-- 04.07.2018, 17:18 --

Walker_XXI я так представьте не думаю, обо всём об этом написано в литературе, давным давно. Но находятся сомневающиеся в элементарных вещах, проверяют, ставят численный эксперимент ... Ничего кроме пользы в этом я не вижу, как ни как зарядка для ума.

[Dmitriy40]

Munin в сообщении #1324349 писал(а):

Такие теории давно построены: классическая теория поля (например, электродинамика)

Спасибо, тут похоже я что-то не понимаю, вроде бы там речь лишь про пространство состояний (которое бесконечномерное для поля), а не про обыденные пространственные измерения. Ещё и вот поэтому засомневался в правильном понимании Ваших слов:

Walker_XXI в сообщении #1324377 писал(а):

А в Стандартной модели пространственных измерений 3.

Walker_XXI в сообщении #1324364 писал(а):

Какой именно физической теории (их в физике не одна)?

Подразумевалось новой. Но если такие уже построены, то хоть назвать. Как выше сделано. Любое фиксированное число размерностей понятно (хотя бы очень-очень приближённо) по каким критериям выбирать, а вот с бесконечномерным непонятно совсем.

Walker_XXI в сообщении #1324364 писал(а):

Как раз с объяснением ненаблюдаемости проблем нет. Дополнительные измерения очень даже хорошо наблюдаемы в виде разнообразия свойств элементарных частиц,

Не, ну это не интересно, про "ландшафт" теории струн (или М-теории, я их путаю) и связи топологии сворачивания со свойствами частиц слышали многие (и я в том числе), это не совсем то (недостаточно, придётся же объяснять почему именно и только так свернулись, а не иначе, да и вообще хоть как-то свернулись).

(Круги на воде)

Не стал сразу усложнять комментариями пример, но вполне можно представить себе и строго двухмерные круги на поверхности воды - тупо звуковые волны в приповерхностном слое, продольные (вдоль границы сред), что там с ними будет в формулах поленился анализировать, понимания спрашивающего это явно не добавит, если ещё и сам не запутаюсь.

[Andrey_Kireew]

Walker_XXI в сообщении #1324377 писал(а):

Неужели Вы вправду думаете ... что до Вас никому в голову не приходила идея проверить размерность нашего пространства на опыте?

Возможно Вы просто не читали всю ветку, по поводу этого именно так и есть. Я об этом прямо сообщил. Вернее, думаю, что кто то и проверял наверное, но но не разу не сталкивался с такими примерами. А очень хотелось бы познакомиться с ними, пусть даже и смехотворными, мне всё равно будет очень интересно. Если Вы владеете такой информацией, или знаете где её можно посмотреть, то пожалуйста сообщите. Буду благодарен. А то это вопрос сидит у меня в голове уже не один год.

[amon]

Andrey_Kireew в сообщении #1324372 писал(а):

Нужно просто брать матрицу квадратов евклидовых расстояний. Всё работает как часы!

А-а. Не работает

[Igor_Dmitriev]

amon в сообщении #1324335 писал(а):

Не удержался

Это всё-таки форум, а не заседание по утверждению трилионного проекта, с такими заявлениями, как ваше, у людей пропадёт желание отвечать и высказывать мысли.

-- 04.07.2018, 16:06 --

Munin в сообщении #1324349 писал(а):

Такие теории давно построены: классическая теория поля (например, электродинамика), квантовая механика.

я немного изучал ЭД и QM
в каких именно разделах говорится о бесконечномерном пространстве?

[Andrey_Kireew]

amon ну как Вам не стыдно, я уж было начал всё перепроверять ...
В квадрат возвели, а двойного центрирования не сделали. Вот код, попробуйте

Используется синтаксис Matlab M

ms=sum(a)/N; // средние по столбцам
mm=sum(ms)/N; // среднее по матрице
L=ones(N,1)*ms;
b=L+L'-mm;
ac=a-b;
 

[Igor_Dmitriev]

Вот код, здесь всё выполняется, как и пишет Andrey_Kireew
При замене строчки $2D$ на строчку $3D$ ранг действительно меняется.
Andrey_Kireew, я не понял смысл процедуры центрирования.

Используется синтаксис Matlab M

clear all;
clc;

N = 4;

x = rand( 1, N );
y = rand( 1, N );
% z = rand( 1, N );   % 3D
z = zeros( 1, N );   % 2D

a = zeros( N, N );

for i = 1 : N
    for j = i + 1 : N
        a( i, j ) = ( x( i ) - x( j ) ) .^ 2 + ( y( i ) - y( j ) ) .^ 2 + ( z( i ) - z( j ) ) .^ 2;
        a( j, i ) = a( i, j );
    end;
end;

ms=sum(a)/N;
mm=sum(ms)/N;
L=ones(N,1)*ms;
b=L+L'-mm;
ac=a-b;

[ V, L ] = eig( ac );
fprintf( 'rank( ac ): %d \n', rank( ac ) );
fprintf( '\n\n Labmda: \n' );
fprintf( '\n %3.3f \n', diag( L ) );

% rank( ac ): 2 


% Labmda:

% -0.680

% -0.305 

% -0.000 

%  0.000

 

[Dmitriy40]

Andrey_Kireew в сообщении #1324388 писал(а):

А очень хотелось бы познакомиться с ними, пусть даже и смехотворными, мне всё равно будет очень интересно.

Т.е. пример с законами Кеплера и движением планет Вас не устраивает? А собственно почему, ведь это именно так желаемый Вами эксперимент по определению размерности пространства (по крайней мере в скольких измерениях действует гравитация)?
Несколько лет назад видел научную статью с проверкой трёхмерности гравитации (не уходит ли она в 4-й пространственное измерение) в лабораторных условиях, там и оценка сверху была разумеется, но быстро найти не получается, найду - допишу ссылку. Возможно эта:

Иванов на Астронете про трёхмерность гравитации писал(а):

N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.Dvali, Phys.Lett.B429:263-272,1998 e-Print Archive: http://xxx.itep.ru/abs/hep-ph/9803315 - новые измерения на миллиметровом масштабе и эффекты квантовой гравитации в тэвном диапазоне.

[amon]

Andrey_Kireew в сообщении #1324395 писал(а):

В квадрат возвели, а двойного центрирования не сделали.

И горсть земли с могилы повесившейся девушки не добавил. То, что Вы пытаетесь изобрести, давно украдено изобретено до нас. Называется эта штука матрица Грама, и равна она матрице скалярных произведений $(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j).$ Ранг такой матрицы действительно равен размерности пространства. Из Вашей матрицы матрица Грама получается с помощью таких манипуляций:
$R_{ij}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=r_i^2+r_j^2-2(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j)$
значит, если из $R_{ij}$ вычесть $r_i^2+r_j^2$ и дописать на диагональ минус двойки, то с точностью до множителя получится матрица Грама. В этом, видимо, и заключается сакральный смысл Вашего "двойного центрирования".

[Walker_XXI]

Andrey_Kireew в сообщении #1324388 писал(а):

Walker_XXI в сообщении #1324377 писал(а):

Неужели Вы вправду думаете ... что до Вас никому в голову не приходила идея проверить размерность нашего пространства на опыте?

Возможно Вы просто не читали всю ветку, по поводу этого именно так и есть. Я об этом прямо сообщил. Вернее, думаю, что кто то и проверял наверное, но но не разу не сталкивался с такими примерами. А очень хотелось бы познакомиться с ними, пусть даже и смехотворными, мне всё равно будет очень интересно. Если Вы владеете такой информацией, или знаете где её можно посмотреть, то пожалуйста сообщите. Буду благодарен. А то это вопрос сидит у меня в голове уже не один год.

Почитайте, как работают системы позиционирования (GPS, ГЛОНАСС). Мне кажется, там лишние размерности (как раз по Вашей схеме проверки линейной зависимости) выплыли бы в полный рост

А вот ещё заметка по теме: http://www.astronet.ru/db/msg/1174218
А ещё есть по теме книжка Головко Н.В. - Философские вопросы научных представлений о пространстве и времени (2006, Новосибирский государственный университет)[Учебно-методическое пособие].

P.S. Ветку читал полностью.

[Andrey_Kireew]

amon наконец то разгадали! поздравляю, хоть теперь может успокоитесь

-- 04.07.2018, 20:22 --

Igor_Dmitriev по поводу смысла двойного центрирования (к стати - термин общепринятый, это всё не мои выдумки) уже ответили. Хотелось бы добавить - это всё корректно только для Евклидова пространства. Но есть методы, позволяющие работать и с произвольной метрикой (ссылок привести не могу, в силу разных причин, считайте что это просто слухи).

-- 04.07.2018, 20:27 --

Walker_XXI сейчас посмотрю что Вы тут представили, в большой надежде, что этого раньше ещё не видел ... По поводу систем позиционирования - в этом есть определённый смысл, возможно даже и обнаружили бы. А возможно нет. Нигде нет информации, что проводились какие то эксперименты именно с этой целью. До сих пор я ничего кроме разговоров не увидел. Надеюсь сейчас увижу ...

[пианист]

(Оффтоп)

Цитата:

Вокруг стеклянного плафона под потолком обессиленно мотались три мухи — должно быть, первые мухи в этом году. Время от времени он вдруг принимались остервенело кидаться из стороны в сторону, и спросонок мне пришла в голову гениальная идея, что мухи, наверное, стараются выскочить из плоскости, через них проходящей, и я посочувствовал этому безнадежному занятию