Как узнали размерность пространства, в котором мы живём?

[Dmitriy40]

Igor_Dmitriev в сообщении #1324249 писал(а):

Вселенная трёхмерна, судя по имеющимся опытным данным, но должна же она быть частью четырёхмерного пространства, а оно в свою очередь ... частью бесконечномерного, нет?

Нет, не должна, почему бы вдруг. Вы снова просто повторяете тезис о бесконечном усложнении строения Вселенной, никак его не обосновывая, так не пойдёт, таки обоснуйте почему единственным возможным вариантом Вы считаете лишь бесконечномерную вселенную.

Если вопрос о количестве измерений в существующих теориях, то больше просто не нужно (ещё и с этими-то куча проблем объяснить их ненаблюдаемость). Не нужно для описаний наблюдаемых фактов и опытов.
Если вопрос "почему у Вселенной именно столько измерений", то это вопрос философский и к физике и физическим теориям отношения не имеет. Так есть и физика это описывает. В рамках точности существующих приборов и опытов. Плюс есть подозрения что в почти любом другом случае (с другим количеством макроскопических измерений) жизнь в нашем понимании невозможна (а значит и нас тоже не может быть).

Igor_Dmitriev в сообщении #1324252 писал(а):

доказательств или убедительных свидетельств того, что мир не бесконечномерен нет?

Как там за пределами точности измерений нашими приборами мы разумеется не знаем. Пока не знаем. Но разумно предположить что ровно так же, как и где мы это знаем точно (т.е. на макроскопических масштабах, от атома до миллиардов световых лет). Пока не получим фактов против такого предположения. Фактов, а не фантазий.

[Andrey_Kireew]

Igor_Dmitriev в сообщении #1324249 писал(а):

Почему матрица расстояний должна быть линейно зависимой?

И ещё: сколько бы размерность плоскости не измеряли, она будет отличатся от $2$, если есть неровности и если приборы для измерения или их части выходят за плоскость ( луч света соединит 2 точки изогнутой плоскости, выйдя из неё, а муравей проплозёт по ней ).

Вы правильно поняли идею. На плоскости для таких измерений нужно 4 точки, 3 опорные, равноудалённые (им всегда будет соответствовать плоскость) и одна тестовая точка. Если ранг матрицы расстояний в данном случае $rank(R)=2$, то пространство 2-х мерной. Это получится на абсолютно ровной плоскости. Если же будут шероховатости, то это сразу же проявится.

В 3-х мерном случае аналогично.

[Dmitriy40]

Andrey_Kireew в сообщении #1324255 писал(а):

Это получится на абсолютно ровной плоскости.

Стесняюсь спросить, а каков ранг матрицы расстояний будет на поверхности идеального тора (бублика) с ненулевыми радиусами и без самопересечений? Тоже ровно два или нет?

И в догонку ещё вопрос, каков ранг такой матрицы?

$$ \begin{bmatrix} 0 & \sqrt3 & \sqrt3 & 1 \\ \sqrt3 & 0 & \sqrt3 & 1 \\ \sqrt3 & \sqrt3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

У меня почему-то получается 4, хотя это матрица расстояний плоского треугольника с центральной точкой и ранг должен быть равен двум по Вашим словам ... В чём я ошибся?

[Igor_Dmitriev]

Dmitriy40 в сообщении #1324254 писал(а):

обоснуйте почему единственным возможным вариантом Вы считаете лишь бесконечномерную вселенную

Раз хотя бы в теории допустили ещё несколько измерений, то должны "найтись" и остальные. В нашем же мире нет двумерных и одномерных частиц, лишь объекты, напоминающие их.
Бесконечномерная вселенная более симметрична. Линейные размеры измерений могут составлять, например, абсолютно сходящийся ряд.

-- 04.07.2018, 00:39 --

Andrey_Kireew в сообщении #1324255 писал(а):

Если ранг матрицы расстояний в данном случае $rank(R)=2$, то пространство 2-х мерной. Это получится на абсолютно ровной плоскости. Если же будут шероховатости, то это сразу же проявится.

В 3-х мерном случае аналогично.

Объясните, что не так в этом коде, у меня, как я и ожидал, получается $4$, а не $2$

Используется синтаксис Matlab M

clear all;
clc;

N = 4;
x = rand( 1, N );
y = rand( 1, N );
a = zeros( N, N );

for i = 1 : N
    for j = i + 1 : N
        a( i, j ) = sqrt( ( x( i ) - x( j ) ) .^ 2 + ( y( i ) - y( j ) ) .^ 2 );
        a( j, i ) = a( i, j );
    end;
end;

[ V, L ] = eig( a );
fprintf( 'rank( a ): %d \n', rank( a ) );

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1324209 писал(а):

Рекомендую посмотреть книгу Сурдина из этого сообщения, дальше там в теме про неё есть и аннотация и отзывы.

Книга - сборник. Авторство соответствующего раздела - не Сурдина. Обсуждение Сурдина в этом плане некорректно.

Dmitriy40 в сообщении #1324209 писал(а):

послушать пару лекций того же Сурдина по астрономии и космологии

Если нужны более серьёзные лекции по космологии, то также рекомендуются лекции Сергея Попова и Олега Верходанова. Последний - узкий специалист именно по затронутому вопросу.

[Dmitriy40]

Igor_Dmitriev в сообщении #1324262 писал(а):

Раз хотя бы в теории допустили ещё несколько измерений, то должны "найтись" и остальные.

Скорее их можно точно так же "допустить" в теории. В этом смысле вопрос правомерен, да. Ответа я не знаю, подозреваю именно с ровно бесконечностью вылезут странные эффекты типа бесконечных наблюдаемых величин (энергии, импульса, массы, и т.д.), что очевидно абсурд и противоречит фактам.
Ну и снова повторю, пока это за гранью наших возможностей, обнаружить факты за или против такого. А бритва Оккама требует ограничиться минимально возможным количеством, что явно меньше бесконечности, да ещё и корректно обосновать даже их.

А так вопрос о возможности построения такой бесконечномерной теории интересен. Подождём может кто из физиков заглянет ...

-- 04.07.2018, 01:56 --

Igor_Dmitriev в сообщении #1324262 писал(а):

Объясните, что не так в этом коде, у меня, как я и ожидал, получается $4$, а не $2$

А диагональ обнулять не надо ли? Впрочем на ранг это не повлияет кажется. Я вот тоже не понимаю почему ранг матрицы расстояний двухмерного пространства как ни считаю получается 4 вместо двух.

-- 04.07.2018, 01:57 --

Munin в сообщении #1324264 писал(а):

Последний - узкий специалист именно по затронутому вопросу.

Спасибо, тоже послушаю, хоть рекомендация и не мне.

[Munin]

Andrey_Kireew в сообщении #1324228 писал(а):

научнопопулярная литература не является авторитетным источником

Зато она понятна таким спрашивающим, которые не разбираются в предмете. Там авторитетные источники цитируются, и на них приводятся ссылки.

Сами авторитетные источники тоже далеко не секрет. Берём статьи Wikipedia по миссиям WMAP и Planck, и получаем ссылки на их результаты:
arXiv:1212.5225 [astro-ph.CO] Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Final Maps and Results
"Planck Publications: Planck 2015 Results"- сборник из 28 статей.

-- 04.07.2018 02:05:28 --

Munin в сообщении #1324264 писал(а):

Последний - узкий специалист именно по затронутому вопросу.

В смысле, по анизотропии реликта.

[Andrey_Kireew]

Тому есть 2 причины, 1 - чисто техническая - нужно убрать постоянную составляющую.
для этого используется процедура двойного центрирования:

Используется синтаксис Matlab M

ms=sum(a)/N;
mm=sum(ms)/N;
L=ones(N,1)*ms;
b=L+L'-mm;
ac=a-b;
 

(это нужно потому, что N мерное пространство задаётся с помощью минимум N+1 точек).

Вторая причина в том, что ранг матрицы должен значимо не отличаться от 2, т.е. только 2 старшие собственные числа должны значимо отличаться от нуля, остальные - статистически не значимы. Чтобы это проверить - есть специальные статистические критерии.
Почему не получается точно даже при численном эксперименте? - видимо погрешности округления. В натурном эксперименте к ним прибавятся ещё и погрешности измерений. (Наверное Вам теперь понятно, почему 4-е измерение попросту можно и не заметить).

Не углубляясь в статистику, можно построить график распределения сингулярных чисел

Используется синтаксис Matlab M

[u s v]=svd(ac);
sd=diad(s);
plot(sd);
 

на этом графике 2 старших собственных числа будут отличаться от всех остальных, чем больше наблюдений Вы возьмёте, тем больше будут эти различия. Если Вы возьмёте 3 независимые координаты, то будет 3 старших собственных числа, резко выделяющиеся на фоне остальных, и т.д.

Нужно так же учитывать, так как у Вас координаты случайные, то все точки в теории могут лечь на прямую линию даже в 4-х мерном пространстве, но от этого оно одномерным не станет. Чтобы этого избежать, 4 объекта желательно зафиксировать так, чтобы они точно не лежали в одной плоскости, а образовывали что то близкое к тетраэдру, и сделать несколько измерений, для разных положений 5-го объекта.

[Pphantom]

Andrey_Kireew в сообщении #1324232 писал(а):

и давно Вы в курсе? минут 20 назад Вы писали о его изотропии

Все зависит от масштабов. Для $\Delta T/T > 10^{-3}$ изотропия есть, для $\Delta T/T \sim 10^{-3}$ она есть и дипольная, для $\Delta T/T \lesssim 10^{-5}$ она есть и содержит информацию о том, что интересует ТС.

Andrey_Kireew в сообщении #1324232 писал(а):

А по поводу Сурдина. Уважение в массах ещё не даёт авторитета в науке. Вам это наверное трудно переварить, но кандидат наук и 100 статей - это посредственный учёный, каких много. Это я о том, что лишь одно его имя не может быть обоснованием чего бы то ни было. А книга, на которую Вы сослались, путь она даже и ужасно интересная - не является научным трудом (и в эти 100 видимо не входит), не буду Вам объяснять почему - всё равно не поймёте. На счёт лекций - не знаю, не смотрел. Сослались бы на его статью - был бы другой разговор совсем, или на монографию, может у него они и есть.

Вообще-то Сурдин действительно хороший популяризатор, и в данном случае популярное изложение очевидно уместнее (по крайней мере для ТС, хотя, полагаю, не только), хотя желаемые ссылки тоже уже привели.

Andrey_Kireew в сообщении #1324243 писал(а):

Для этого необходимо измерить расстояния от удалённого спутника земли до 4-х обсерваторий, примерно равно удалённо расположенных на её поверхности (как это сделать - вопрос отдельный, но думаю решаемая проблема).

Осталось оценить точность полученного результата.

[amon]

Andrey_Kireew в сообщении #1324255 писал(а):

На плоскости для таких измерений нужно 4 точки, 3 опорные, равноудалённые (им всегда будет соответствовать плоскость) и одна тестовая точка. Если ранг матрицы расстояний в данном случае $rank(R)=2$, то пространство 2-х мерной. Это получится на абсолютно ровной плоскости.

Не удержался. Есть Hausdorff dimension, Lebesgue dimension, а вот теперь мы узнали про Andrey_Kireew dimension. Уважаемый Andrey_Kireew, Вам привели контрпример, показывающий, что то, что Вы написали - полная пурга. Dmitriy40 не поленился выписать Вашу "матрицу расстояний" (кстати, этот термин уже занят, и означает совсем другое) для равностороннего треугольника со стороной $\sqrt{3}.$:

$$ \begin{bmatrix} 0 & \sqrt3 & \sqrt3 & 1 \\ \sqrt3 & 0 & \sqrt3 & 1 \\ \sqrt3 & \sqrt3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Собственные значения этой матрицы имеют примерно равные по модулю значения. Так что Ваша смелая гипотеза ни как не подтверждается.

[Dmitriy40]

Может быть кто-нибудь из физиков прокомментирует возможность построения физической теории с именно бесконечным количеством пространственных измерений (ясно что как-то свёрнутых) и нет ли в ней принципиальных/неустранимых проблем? Интересно же.

[Munin]

Такие теории давно построены: классическая теория поля (например, электродинамика), квантовая механика.

[Andrey_Kireew]

amon в сообщении #1324335 писал(а):

а вот теперь мы узнали про Andrey_Kireew dimension

Вот именно. Я с самого начала сообщил, что это мои представления.

И прежде чем бросаться такими фразами, как "пурга" и т.п., не плохо бы Вам прочитать моё предыдущее сообщение, в котором сказано, что нужно использовать центрированную матрицу расстояний, как это сделать, и почему. Ранг центрированной матрицы расстояний в теории строго равен размерности пространства отображения. Вот поэтому и нет никакого смыла приводить контрпримеры.

И не надо упрекать меня в том, что не предупредил о необходимости центрирования. Никто не предполагал, что это вызовет такой ажиотаж, Igor_Dmitriev задал вопрос по этому поводу, и я ему дал исчерпывающий ответ, читать который вы видимо считаете выше своего достоинства.

А по поводу того, что термин "матрица расстояний" занят и я не имею права его использовать - обоснуйте почему? Если элементы этой матрицы суть расстояния в самом прямом их понимании.

[Walker_XXI]

Dmitriy40 в сообщении #1324340 писал(а):

Может быть кто-нибудь из физиков прокомментирует возможность построения физической теории с именно бесконечным количеством пространственных измерений (ясно что как-то свёрнутых) и нет ли в ней принципиальных/неустранимых проблем? Интересно же.

Какой именно физической теории (их в физике не одна)? Например, в теории струн есть критические размерности, которые диктуются сокращением аномалий.

(Оффтоп)

Кстати, ранее Вы писали:

Dmitriy40 в сообщении #1324254 писал(а):

Если вопрос о количестве измерений в существующих теориях, то больше просто не нужно (ещё и с этими-то куча проблем объяснить их ненаблюдаемость).

Как раз с объяснением ненаблюдаемости проблем нет. Дополнительные измерения очень даже хорошо наблюдаемы в виде разнообразия свойств элементарных частиц, а отличие их "свойств" от свойств трёх обычных пространственных измерений вполне естественно вытекает из лагранжиана теории. Проблемы с согласованием спектра состояний теории и реально наблюдаемых состояний частиц.

[Andrey_Kireew]

Pphantom всё же я думаю идеи имеют права на жизнь. Я же не заявляю, что открыл 4-е измерение. Всего лишь предложил способ, как его можно обнаружить, и всего то. И заметьте, несмотря на всё недовольство некоторых участников, никто до сих пор так и не смог прямо указать, почему этот способ непригоден для этой цели в принципе.
Если кто то мне на это укажет - я буду только рад.