Шарики, связанные невесомой пружиной

[wrest]

Rusit8800
Ну ещё мог бы посоветовать вам писать подробней: что обозначают буквы, почему так можно записать и т.п. Это много писанины, но возможно на этом этапе вы будете видеть что не так.
Ну типа в это задаче - сначала четко описываете систему отсчета, затем записываете закон Гука, затем следствие из него применительно к выбранной СО, затем законы Ньютона, следствия из них и т.п. Плюс, конечно, нужен постоянный контроль размерности, на нем вы тоже сразу видите что не так. Кстати размерности ведь есть и у дифференциалов и у производных. Плюс, надо всегда подставлять характерные значения (нули, бесконечности) при которых решение очевидно. Об этом всем вам напоминают тут в форуме, но вы все равно хотите закидать задачи шапками как тира «я крутой и тут почти все ясно кроме одной малости», а оказывается нет, не ясно...

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1316030 писал(а):

И к чему вообще было это уравнение

Есть два пути решения этой задачи.

1. Сразу использовать начальные условия, записать как движется центр масс. Перейти в систему ц.м. и там решить задачу на колебательное движение. Это уравнение - часть этого пути.

2. Записать три уравнения (два из них - дифференциальные второго порядка). Вывести (!) из них третий закон Ньютона, ЗСИ (для данного случая) и уравнение движения центра масс А по дороге решить "колебательную часть" задачи. В общем решении будет четыре константы интегрирования вот их надо будет связать с начальными условиями. ИМХО, это нисколько не сложнее.

[EUgeneUS]

Rusit8800

(про задачки не по зубам)

То, что Вы берете задачки сильно выше текущего уровня - не есть хорошо. Тратится больше времени, чем при "поступательном движении". Это уважаемый Pphantom верно ответил.
Но еще хуже - бросать. ИМХО, если взялись, надо догрызать этот гранит, ящитаю

Если Вы не потеряли интерес к этой задаче, то ответьте на вопросы в теме, там есть хорошие, на понимание. Например такой:

wrest в сообщении #1315984 писал(а):

Rusit8800
Если пружину длиной $l$ с коэффициентом жесткости $k$ порезать на две части длинами $l_1+l_2=l$, чему будут равны коэффициенты $k_1$ и $k_2$ получившихся пружин?

А пока покажу, как легко делается вот это:

EUgeneUS в сообщении #1316039 писал(а):

Записать три уравнения (два из них - дифференциальные второго порядка). Вывести (!) из них третий закон Ньютона, ЗСИ (для данного случая) и уравнение движения центра масс

Возьмем два уравнения из трех, которые Вы написали с самого начала, но вместо дифференциалов будем обозначать производную по времени точками (вторую - двумя точками).

$m_1\ddot{x_1} = -kx_0$ (1)
$m_2\ddot{x_2} = kx_0$ (2)

$x_0$, как уже договорились - это изменение длины пружины, оно малое, настолько, что закон Гука выполняется, но не бесконечно малое. Положительное - сжатие, отрицательное - растяжение.

Заметим, что в (1) и (2) в правой части стоит тоже самое, но с другим знаком, тогда можно записать:
$m_1\ddot{x_1} = -m_2\ddot{x_2}$
Оппс! А это не что иное, как третий закон Ньютона: шарики действуют друг на друга силами равными по величине и обратными по направлению.
Перенесем всё влево и проинтегрируем один раз по времени:
$m_1\dot{x_1} + m_2\dot{x_2} = \operatorname{const} = A$ (3)
Справа Слева волшебным образом сложился полный импульс системы, а слева справа - константа. Закон сохранения импульса. Конечно, он должен выполнятся - внешних сил-то нету. Сразу определили одну константу интегрирования: $A=P_0$ - полный, суммарный импульс системы (так как случай одномерный сразу пишем в проекциях на ось).
Разделим на суммарную массу и проинтегрируем (3) еще раз по времени:
$\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1+m_2} = \frac{P_0 t} {m_1 + m_2} + B$
Справа Слева не что иное как координата центра масс $x_c(t) = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1+m_2}$
Слева Справа - скорость центра масс умноженная на время и еще какая-то константа. Смысл этой константы очевиден - положение центра масс в начальный момент времени: $B = x_c(0)$.
Тогда сразу можно написать уравнение движения центра масс:
$x_c(t) = \frac{P_0 t}{m_1+m_2} + x_c(0)$
для Ваших начальных условий:
$P_0 = m_1 v_1$
$x_c(0) = \frac{m_1 x_1(0) + m_2 x_2(0)}{m_1+m_2}$
Итого:
$x_c(t) = \frac{m_1 v_1 t}{m_1+m_2} + \frac{m_1 x_1(0) + m_2 x_2(0)}{m_1+m_2}$
Всё тоже самое Вы получили пользуясь ЗСИ, что не удивительно.

Для анализа колебательного движения из (1) и (2) нужно сделать одно уравнение, избавившись от $x_1$ $x_2$ в пользу $x_0$, понадобится третье уравнение.
Легким движением руки получится уравнение гармонических колебаний с частотой, которая проходит все проверки, которые предлагались выше.

[wrest]

(О 'решении' дифференциального уравнения гармонических колебаний)

realeugene в сообщении #1316010 писал(а):

Дифференцируем предлагаемое решение, подставляем во второй закон Ньютона и, опа, сошлось! Значит, угаданное решение правильное.

Дык ведь оно именно так и "решается". Решающий задаёт себе вопрос "у какой функции вторая производная может быть пропорциональна самой функции взятой с обратным знаком?". Внезапно решающему приходит озарение что ведь $(\sin(x))''=-\sin(x)$, да к тому же еще более внезапно $(\sin(kx))''=-k^2\sin(kx)$. Да и косинус тоже подходит. Может, конечно, озарение приходит и не внезапно, а решающий подставляет всякие разные функции и наконец натыкается на синус\косинус. Еще он по дороге подставляет $e^x$ и обламывается, ибо знак получается не тот $(e^{kx})''=k^2e^{kx}$ хотя счастье и было близко. Потом-то когда-нибудь он узнает, что квадрат может быть отрицательным числом, но это потом...

То есть никакого собственно "решения" в смысле вычисления искомой функции-то и нет, есть именно проверка "а поищем-ка решение в таком-то виде. опа, сошлось!". А дальше у решающего спросят или он сам у себя "ну хорошо, вот синус внезапно подошел, а может еще чего подойдет?" И что тогда? Школьник станет поминать задачу Коши?

Так что я полагаю, что задачу о двух грузах и пружине надо решать "классически", сведя к задаче с одним грузом на пружине, решение которой хорошечно известно, и не путать тут физику с математикой.

[warlock66613]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1316232 писал(а):

Потом-то когда-нибудь он узнает, что квадрат может быть отрицательным числом, но это потом...

Стоит заметить, что комплексные числа всегда и везде изучаются до дифференциальных уравнений. Даже при самостоятельном изучении школьником сложно представить, чтобы дифуравнения школьнику были по силам, а комплексных чисел он ещё не касался.

[wrest]

(Курица или яйцо)

warlock66613 в сообщении #1316255 писал(а):

Стоит заметить, что комплексные числа всегда и везде изучаются до дифференциальных уравнений.

Возможно, но в 3-томнике Фихтенгольца тема "Простейшие дифференциальные уравнения" находится в 10-й главе, а тема "Элементарные функции комплексной переменной"-- в 12-й главе.

[EUgeneUS]

(конечно, яйцо)

Теория эволюции дала однозначный ответ на этот древний вопрос
Возвращаясь к школьникам, нужно определить про каких школьников идет речь.
Если о средних, то и вопрос пустой.
А если о школьниках, которые выступают на физических олимпиадах уровня района или города, то, имхо, обязательны:
1. Представления о производной.
2. Представление об интегрировании. Различие между неопределенным и определенным интегралом.
3. Представление о дифференциальных уравнениях, как минимум, знание общего решения типовых дифуров:
а) $\dot{x} = A x$
б) $\ddot{x} = A x$
в) $\ddot{x} = - A x$
4. Что касается комплексных чисел, то достаточно знания, что такие есть. И если букву $i$ возвести в квадрат, то получится число $-1$

Если же говорим о школьниках, которые выступают на физических олимпиадах уровня всероса и международных, то они и уравнение Бине знают, только не знают, что оно так называется, инфа 100%

[Walker_XXI]

(О знаке изменения длины)

EUgeneUS в сообщении #1316195 писал(а):

$x_0$, как уже договорились - это изменение длины пружины... Положительное - сжатие, отрицательное - растяжение.

Вопрос, конечно, не принципиальный, главное, что договорённость явно прописана. Но чисто в методическом плане лучше договориться, что положительное изменение длины - это её (длины) увеличение, т.е. растяжение. Это лучше согласуется с интуитивными представлениями об изменении величины.

Ну и совсем не принципиально, но также не лишено смысла: в нашем детстве (когда мы ещё не знали о существовании оператора Лапласа) изменение физической величины обозначали префиксом $\Delta$. Т.е. в этой задаче, глядя на чертёж, где длина пружины обозначена как $l$, её изменение я обозначил бы как $\Delta l$.

[DimaM]

(warlock66613)

warlock66613 в сообщении #1316255 писал(а):

Стоит заметить, что комплексные числа всегда и везде изучаются до дифференциальных уравнений. Даже при самостоятельном изучении школьником сложно представить, чтобы дифуравнения школьнику были по силам, а комплексных чисел он ещё не касался.

Если бы так!
Дифуры в физике плотно начинаются в десятом классе (или даже в девятом), а до комплексных чисел математики доходят дай бог к середине одиннадцатого. Приходится комплексные числа давать в курсе физики с "физическим" уровнем строгости.

[EUgeneUS]

Walker_XXI

(о знаках и дельтах)

Ваши замечания справедливы, поэтому требуется некоторое объяснение.

1. Про знаки. Меня подкупило, что ТС сразу в первом посте правильно написал два уравнения, хотя и с противоестественным выбором знаков. Решил к этому месту не придираться, так как на решение не влияет, при наличии соответствующих договоренностей.

2. Про дельту. Её не только с оператором Лапласа можно спутать. Есть мощный, но школьный по уровню строгости, метод решения задач: пишем уравнения в конечных приращениях, а потом устремляем их к нулю, получая какой-нибудь простой дифур. Так минут за 10-15 школьник может вывести формулу Циолковского, например.
А конечные приращения обозначаются: $\Delta x, \Delta y, \Delta etc$.
ТС, видимо, с этим методом знаком, но не близко: все время путается какую дельту можно устремлять к нулю, переходя к бесконечно малым, а какую нельзя. Поэтому использовать дельты сознательно избегал.

[fred1996]

EUgeneUS

(Оффтоп)

формулу Циолковского школьники выводили еще до рождения Циолковского