Шарики, связанные невесомой пружиной

[Rusit8800]

Решил исследовать движение такой системы шариков:

Моя задача: найти положение 1 и 2 шариков в любой момент времени - $\[{x_1}(t)\]$ и $\[{x_2}(t)\]$
Я записал систему уравнений

$$\[\left\{ \begin{gathered} {m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = - kd{x_0} \hfill \\ {m_2}\frac{{{d^2}{x_2}}}{{d{t^2}}} = kd{x_0} \hfill \\ d{x_0} + d{x_1} + d{x_2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

где $d{x_0}$ - растяжение пружины.
Избавляясь от $d{x_0}$ получим:

$$\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = k(d{x_1} + d{x_2}) \hfill \\ {m_2}\frac{{{d^2}{x_2}}}{{d{t^2}}} = - k(d{x_1} + d{x_2}) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = \frac{{{d^2}{x_2}}}{{{d^2}{x_1}}} \hfill \\ {m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = k(d{x_1} + d{x_2}) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} d{x_1}\sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} = d{x_2} \hfill \\ {m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = kd{x_1}\left( {1 + \sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Уравнение

$$\[{m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = k\left( {1 + \sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} } \right)d{x_1}\]$$

Maple не решает.

[Walker_XXI]

Rusit8800, у Вас типичная ошибка: в одно уравнение пишете слагаемые с конечными и бесконечно малыми величинами (дифференциалами). Это совсем недавно обсуждалось в теме topic126516.html .

[Pphantom]

Rusit8800 в сообщении #1315845 писал(а):

Я записал систему уравнений

$$\[\left\{ \begin{gathered} {m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = - kd{x_0} \hfill \\ {m_2}\frac{{{d^2}{x_2}}}{{d{t^2}}} = kd{x_0} \hfill \\ d{x_0} + d{x_1} + d{x_2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

А зачем сюда вставлены дифференциалы в таких количествах? В последнем уравнении это еще допустимо (хотя и не нужно), а в первых двух просто некорректно.

-- 29.05.2018, 13:34 --

Rusit8800 в сообщении #1315845 писал(а):

Уравнение

$$\[{m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = k\left( {1 + \sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} } \right)d{x_1}\]$$

Maple не решает.

Это надо было хорошо постараться. А без Maple?

[Rusit8800]

Я, кажется, понял, надо так :

$$\[\begin{gathered} {m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = - k{x_0} \hfill \\ {m_2}\frac{{{d^2}{x_2}}}{{d{t^2}}} = k{x_0} \hfill \\ {x_0} + {x_1} + {x_2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

-- 29.05.2018, 14:00 --

Maple выдает что-то громадное:

$$\[{x_1}(t) = {C_1}\sin \left( {\sqrt {\frac{k}{{{m_1}}}\left( {1 + \sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} } \right)} t} \right) + {C_2}\cos \left( {\sqrt {\frac{k}{{{m_1}}}\left( {1 + \sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} } \right)} t} \right)\]$$

Я так понял, это выражение подходит и для $x_2(t)$, просто надо подобрать коэффициенты.

[EUgeneUS]

Третье уравнение неверное. Если $x_1=x_2$, тогда $x_0=0$, очевидно. А у Вас не так.

Проверка ответа:
1. если одну из масс устремить к бесконечности, то должен получиться гармонический осциллятор с частотой $\omega _0^{2}=k/m$, где $m$ - другая масса.
2. отсюда, массы в ответ должны входить симметрично.

У Вас не так

[Pphantom]

Rusit8800 в сообщении #1315855 писал(а):

Я, кажется, понял, надо так :

$$\[\begin{gathered} {m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{d{t^2}}} = - k{x_0} \hfill \\ {m_2}\frac{{{d^2}{x_2}}}{{d{t^2}}} = k{x_0} \hfill \\ {x_0} + {x_1} + {x_2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Почти. Осталось разобраться со знаками (подумайте, каким будет растяжение, если координаты шариков $x_1$ и $x_2$ совпадут). Кстати, Вы сознательно предполагаете, что в недеформированном состоянии у пружины нулевая длина, или это тоже случайно получилось?

Rusit8800 в сообщении #1315855 писал(а):

Maple выдает что-то громадное:

Ну да, нечто в таком роде (с точностью до вида коэффициента).

[Walker_XXI]

EUgeneUS в сообщении #1315857 писал(а):

Если $x_1=x_2$, тогда $x_0=0$, очевидно. А у Вас не так.

Если $x_0$ стоит в з-не Гука, то это удлинение пружины, а не расстояние между центрами шариков. Но $x_0+x_1+x_2=0$ в любом случае неверно.

Pphantom в сообщении #1315858 писал(а):

Вы сознательно предполагаете, что в недеформированном состоянии у пружины нулевая длина, или это тоже случайно получилось?

Судя по чертежу, в недеформированном состоянии у пружины длина $l$ (это пренебрегая размерами шариков).

[Rusit8800]

Последнее уравнение поправил : $x_1+x_0-x_2=0$
В итоге получил:

$$\[\begin{gathered} {x_1}(t) = {C_1}\sin \left( {\sqrt {\frac{k}{{{m_1}}}\left( {1 - \sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} } \right)} t} \right) + {C_2}\cos \left( {\sqrt {\frac{k}{{{m_1}}}\left( {1 - \sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} } \right)} t} \right) \hfill \\ {x_2}(t) = {C_1}\sin \left( {\sqrt {\frac{k}{{{m_2}}}\left( {1 - \sqrt {\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}} } \right)} t} \right) + {C_2}\cos \left( {\sqrt {\frac{k}{{{m_2}}}\left( {1 - \sqrt {\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}} } \right)} t} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

[Pphantom]

Walker_XXI в сообщении #1315860 писал(а):

Судя по чертежу, в недеформированном состоянии у пружины длина $l$ (это пренебрегая размерами шариков).

Судя по чертежу - да. А судя по тому, что пишет Rusit8800 - нет.

[realeugene]

А теперь подумайте, соответствуют ли найденные вами выражения ожидаемой физике? Сохраняется ли начальные энергия и импульс в вашей системе?
И лучше такие задачи считать без Мапла, пользуясь только законами Ньютона и известным решением для одного грузика на пружинке.

[Walker_XXI]

Pphantom в сообщении #1315864 писал(а):

Судя по чертежу - да. А судя по тому, что пишет Rusit8800 - нет.

Очевидно, Вы правы:

Rusit8800 в сообщении #1315862 писал(а):

Последнее уравнение поправил : $x_1+x_0-x_2=0$

Rusit8800, в соответствии с этим уравнением $x_0$ - длина пружины. Но разве в з-не Гука стоит длина? В первом сообщении Вы правильно писали об изменении длины (только обозначили и описали неверно - она не бесконечно малая, а вполне конечная величина). Кроме того неплохо бы систему уравнений дополнить начальными условиями.

[Rusit8800]

Уж сколько раз перерешиваю задачу, а ответ нормальный не получается.
Пришел к выводу, что все-таки $dx_0=dx_1-dx_2$. Если пружина сжимается, то $dx_0$ положительна, а если растягивается, то отрицательна. Дифференциалы там не случайно стоят, ведь равенство для координат $x_0=x_1-x_2$ неверно.

-- 29.05.2018, 16:01 --

Может задачу как-то проще можно решить? Меня уже замучили эти дифуры.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1315887 писал(а):

Уж сколько раз перерешиваю задачу, а ответ нормальный не получается.

Начните с описания, что у вас обозначает каждая буква.

-- 29.05.2018, 16:04 --

Rusit8800 в сообщении #1315887 писал(а):

Может задачу как-то проще можно решить?

Да. Эта задача совершенно школьная.
1. Вспомните для начала, что такое центр масс?
2. Как движется центр масс замкнутой механической системы? Если не знаете - выведите сами из закона сохранения импульса для ваших двух грузиков.

[Walker_XXI]

Rusit8800 в сообщении #1315887 писал(а):

Пришел к выводу, что все-таки $dx_0=dx_1-dx_2$

А со знаками как? У Вас получается, что при увеличении $x_2$ пружина сжимается?
И ещё. В уравнение для силы упругости надо не дифференциал подставлять, а реальное и совсем не бесконечно малое изменение длины пружины. С этим как поступите?

[EUgeneUS]

Rusit8800
Чтобы уж совсем скучное не обсуждать, скажу, как учесть длину пружины.
1. Записываем координату левого шарика $x_1$
2. Считаем координату правого: добавляем длину не растянутой пружины $l$, и учитываем её изменение длины $x_0$. Глядя на знаки в первых двух уравнениях, понимаем, что под $x_0$ Вы понимаете сжатие (а не растяжение)
3. пишем в виде формулы: $x_2 = x_1 + l - x_0$
Вот и всё.

А теперь более интересное. Проверяем ответы.

1. Пусть никаких колебаний нет, а система летит в голубые дали прямолинейно и равномерно. Очевидно, что тогда $x_2 = x_1 + l = At + B$, и это является решением системы. Но из Вашего с Марпл ответа нельзя сложить слово "счастье".
2. Пусть $m_1=m_2$, и центр масс покоится. Тогда из соображений симметрии частота колебаний будет $\omega _0^{2}=2k/m$, и опять у Вас с Марпл не складывается.