Rusit8800(про задачки не по зубам)
То, что Вы берете задачки сильно выше текущего уровня - не есть хорошо. Тратится больше времени, чем при "поступательном движении". Это уважаемый
Pphantom верно ответил.
Но еще хуже - бросать. ИМХО, если взялись, надо догрызать этот гранит, ящитаю

Если Вы не потеряли интерес к этой задаче, то ответьте на вопросы в теме, там есть хорошие, на понимание. Например такой:
Rusit8800
Если пружину длиной

с коэффициентом жесткости

порезать на две части длинами

, чему будут равны коэффициенты

и

получившихся пружин?
А пока покажу, как легко делается вот это:
Записать три уравнения (два из них - дифференциальные второго порядка). Вывести (!) из них третий закон Ньютона, ЗСИ (для данного случая) и уравнение движения центра масс
Возьмем два уравнения из трех, которые Вы написали с самого начала, но вместо дифференциалов будем обозначать производную по времени точками (вторую - двумя точками).

(1)

(2)

, как уже договорились - это изменение длины пружины, оно малое, настолько, что закон Гука выполняется, но
не бесконечно малое. Положительное - сжатие, отрицательное - растяжение.
Заметим, что в (1) и (2) в правой части стоит тоже самое, но с другим знаком, тогда можно записать:

Оппс! А это не что иное, как третий закон Ньютона: шарики действуют друг на друга силами равными по величине и обратными по направлению.
Перенесем всё влево и проинтегрируем один раз по времени:

(3)
Справа Слева волшебным образом сложился полный импульс системы, а
слева справа - константа. Закон сохранения импульса. Конечно, он должен выполнятся - внешних сил-то нету. Сразу определили одну константу интегрирования:

- полный, суммарный импульс системы (так как случай одномерный сразу пишем в проекциях на ось).
Разделим на суммарную массу и проинтегрируем (3) еще раз по времени:
Справа Слева не что иное как координата центра масс
Слева Справа - скорость центра масс умноженная на время и еще какая-то константа. Смысл этой константы очевиден - положение центра масс в начальный момент времени:

.
Тогда сразу можно написать уравнение движения центра масс:

для Ваших начальных условий:


Итого:

Всё тоже самое Вы получили пользуясь ЗСИ, что не удивительно.
Для анализа колебательного движения из (1) и (2) нужно сделать одно уравнение, избавившись от

в пользу

, понадобится третье уравнение.
Легким движением руки получится уравнение гармонических колебаний с частотой, которая проходит все проверки, которые предлагались выше.