Бесконечность и пара вопросов о ней

[Captious]

AD писал(а):

Если вы считаете их "вполне четкими" - пожалуйста, выпишите здесь перевод на какой-нибудь понятный язык, например, в терминах ZFC.

Именно потому, что "четчее" и понятнее, чем есть у Кантора не бывает, я считаю, что никакого дополнительного "перевода" не требуется!
Любой смышленый в математике десятиклассник легко с этим справится и даже сможет привести конкретные примеры!
Не говоря уж о студентах различных высших учебных заведений...
Не так ли, г-н AD?
Никто не мешает вам продемонстрировать народу свои глубокие познания аксиоматики ZFC. Вы же этого хотите? С интересом Вас послушаю...

[Someone]

Captious писал(а):

Именно потому, что "четчее" и понятнее, чем есть у Кантора не бывает, я считаю, что никакого дополнительного "перевода" не требуется!
Любой смышленый в математике десятиклассник легко с этим справится и даже сможет привести конкретные примеры!

Раз это так просто - продемонстрируйте. А мы поаплодируем. А возвращать вопрос тому, кто его задал, неспортивно. Сильно смахивает на капитуляцию.

Канторовская версия теории множеств "погорела" именно на таких "самоочевидных" и "вполне чётких" вещах.

[RIP]

Captious писал(а):

AD писал(а):

Если вы считаете их "вполне четкими" - пожалуйста, выпишите здесь перевод на какой-нибудь понятный язык, например, в терминах ZFC.

Именно потому, что "четчее" и понятнее, чем есть у Кантора не бывает, я считаю, что никакого дополнительного "перевода" не требуется!
Любой смышленый в математике десятиклассник легко с этим справится и даже сможет привести конкретные примеры!
Не говоря уж о студентах различных высших учебных заведений...

Выходит, я тоже ничего не смыслю в математике. Потому что тоже считаю эти "определения" "бессмысленным размахиванием руками" (это ещё мягко сказано).

[ewert]

Someone писал(а):

Канторовская версия теории множеств "погорела" именно на таких "самоочевидных" и "вполне чётких" вещах.

Кстати, а на чём таком она там погорела? я в этом вовсе не спец, но, как вспоминается, Гильберт, Рассел и прочие т.т. всего лишь навели некоторый достаточно очевидный порядок в категоризации

[Someone]

На парадоксе Рассела.

[ewert]

так вот он как раз и прояснил, что нельзя отождествлять включение как элемент с включением как подмножество. И -- не более того; Кантор от этого ничуть не пострадал.

Хотя. Этот парадокс проявил и ещё один принципиальный момент: любое множество определено лишь постольку, поскольку задан критерий, отличающий его элементы от всех ему чуждых. Для "множества всех множеств" такого критерия не существует в принципе -- стал быть, и само это множество бессмысленно.

[Someone]

Бр-р-р...

[ewert]

Извините.

[Someone]

Извините, совершенно непроизвольная реакция. Меня Ваше высказывание сильно удивило, а тут жена срочно позвала отрезать "хвостики" у черешни.

Кантор не путал, конечно, подмножества с элементами. В современных аксиоматических системах обычно принимается аксиома регулярности, запрещающая множеству быть своим элементом, но, мне кажется, не из-за парадокса Рассела: если противоречие можно построить без аксиомы регулярности, то его тем более можно будет построить с этой аксиомой, поскольку дополнительная аксиома - это дополнительное средство построения.
Парадоксы в теории множеств возникают в основном из-за возможности построения слишком больших множеств. У Кантора возможности построения множеств были совершенно ничем не ограничены ("само собой разумеется", что любая совокупность любых объектов может быть объявлена множеством). Это и привело к парадоксам.

[Алексей К.]

Someone писал(а):

..., а тут жена срочно позвала отрезать "хвостики" у черешни.

Может отрывать? Или, если отрезать --- то у смородины?

[Captious]

Someone писал(а):

Раз это так просто - продемонстрируйте. А мы поаплодируем.

Что продемонстрировать-то надо?
Как формализовать содержательные канторовские определения П.Б. и А.Б.? Ну и ну... :
Видимо, вы как и премудрый г-н AD, сами не понимаете о чём просите...
Страстно желающим продемонстрировать свои "познания" предлагаю для начала дать аксиоматическое определение известного всем натурального ряда чисел...

Someone писал(а):

А возвращать вопрос тому, кто его задал, неспортивно. Сильно смахивает на капитуляцию.

А я и не собираюсь с кем-либо "воевать" или участвовать в "спортивных состязаниях по математике"...

[Someone]

Алексей К. писал(а):

Someone писал(а):

..., а тут жена срочно позвала отрезать "хвостики" у черешни.

Может отрывать? Или, если отрезать --- то у смородины?

Нет. Если отрывать, то из неё косточка выдирается, остаётся одна "шкурка", а жена хочет эту черешню в морозильнике заморозить. Но, слава Богу, закончили.

ewert, ещё раз прошу прощения за свою реакцию. Вы производите впечатление квалифицированного математика, но от теории множеств Вы как-то оказались очень далеки.

Парадоксы в "наивной" теории множеств связаны в первую очередь с возможностью неограниченного образования множеств, и аксиома регулярности сама по себе от них не спасает.
Например, определив понятие равномощных множеств, мы можем захотеть составить множество $X$, содержащее (хотя бы) по одному множеству каждой мощности (в качестве эталона, так сказать). Предположение о возможности существования такого множества сразу приводит к противоречию, несмотря на отсутствие множеств, являющихся своими элементами: поскольку для любого множества $A$ выполняется неравенство $\left|2^A\right|>|A|$, то множество $Y=\bigcup\{2^A:A\in X\}$ имеет мощность бóльшую, чем любое множество $A\in X$ (здесь $2^A$ обозначает множество подмножеств множества $A$).

Добавлено спустя 16 минут 15 секунд:

Captious писал(а):

А я и не собираюсь с кем-либо "воевать" или участвовать в "спортивных состязаниях по математике"...

Ну, то есть, наговорили, наговорили, а потом в кусты.

Captious писал(а):

Что продемонстрировать-то надо?
Как формализовать содержательные канторовские определения П.Б. и А.Б.?

А чем они "содержательные"? По-моему, математически вполне бессмысленные. Да от Вас и не требуется полностью определять содержание этих понятий, определите хотя бы частично. Если уж Вы заговорили об аксиоматизации натурального ряда, то аксиоматизация пусть и не полная, но, по крайней мере, достаточная в подавляющем большинстве случаев, хорошо известна. В отличие от понятий "актуальной бесконечности" и "потенциальной бесконечности", без которых математика прекрасно обходится.

[AD]

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Раз это так просто - продемонстрируйте. А мы поаплодируем.

Что продемонстрировать-то надо?
Как формализовать содержательные канторовские определения П.Б. и А.Б.? Ну и ну... :
Видимо, вы как и премудрый г-н AD, сами не понимаете о чём просите...
Страстно желающим продемонстрировать свои "познания" предлагаю для начала дать аксиоматическое определение известного всем натурального ряда чисел...

Captious, к некоторым после таких фраз приклеивают ярлык "неуч". Поводов вас считать исключением не вижу.

Итак, читаете про аксиомы Пеано, потом про аксиоматики ZFC и NBG, формально-аксиоматически описывающие теорию множеств, потом приходите, и даёте в рамках ZFC определения ваших понятий. Чего нет в ZFC и GNB - нет в математике.

[ewert]

Someone писал(а):

ewert, ещё раз прошу прощения за свою реакцию. Вы производите впечатление квалифицированного математика, но от теории множеств Вы как-то оказались очень далеки.

А я и не скрываю -- сразу же сказал, что не спец.

Someone писал(а):

Например, определив понятие равномощных множеств, мы можем захотеть составить множество $X$, содержащее (хотя бы) по одному множеству каждой мощности (в качестве эталона, так сказать).

Ну вот я наивно спрашиваю: что есть эта конструкция, как не применение аксиомы выбора (самой по себе практически сомнительной) к всё тому же "множеству всех множеств"? -- ничего удивительного, кто возникает противоречие.

[Yarkin]

AD писал(а):

ваше последнее и предпоследнее предложения как-то относятся к предпредпоследнему и к приведенной цитате? Кто там есть кто?

Предложений у меня нет. Есть высказывание.

Captious писал(а):

Можно сказать что это есть математическая модель, которая как и все матмодели получается в результате абстрагирования, идеализации и формализации свойств и отношений реальных объектов .

Вот и надо разобраться, когда мы имеем дело с моделями, а когда с их изображениями.